2023届广东省广州市高三冲刺（一）数学试题含解析

2023届广东省广州市高三冲刺（一）数学试题

一、单选题

1．设集合，，则集合＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据一元二次不等式和对数不等式的求解方法求得集合M、N，再由集合的交集运算可得选项．

【详解】解：由得，解得或，所以集合，

由得，解得，所以集合，

所以，

故选：B．

2．已知，且，其中为实数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，由条件可得，然后结合复数的运算，即可得到结果.

【详解】因为，则，

又因为，即

化简可得：，

即，解得.

故选:A

3．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.

【详解】解：因为向量，且，那么，

所以向量在向量上的投影向量为，

故选：C.

4．大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数（不为素数）能唯一地写成（其中是素数，是正整数，，将上式称为自然数的标准分解式，且的标准分解式中有个素数.从360的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（    ）

A．6 B．13 C．19 D．60

【答案】C

【分析】首先根据的标准分解式得到，然后根据这6个素数的特点进行分类讨论，最后利用分类加法计数原理即可得解．

【详解】根据的标准分解式可得，

故从2，2，2，3，3，5这6个素数中任取3个组成三位数，有下列三种情况：

①选取3个2，可以组成1个三位数；

②选取2个2后，再从3或5中选一个，可以组成个不同的三位数；

③选取1个2后，再选2个3，可以组成个不同的三位数；

④选取2，3，5，可以组成个不同的三位数．所以从120的标准分解式中任取3个素数，一共可以组成个不同的三位数.

故选：C．

5．已知，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】当，，所以后不能推前，又，所以前推后成立，所以是充分不必要条件，故选A.

6．斐波那契数列满足，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出是斐波那契数列的第（    ）项.

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025

【答案】C

【分析】利用斐波那契数列递推公式可得，再求出即可求解判断作答.

【详解】依题意，，有，

于是，而，

因此，

则，

所以是斐波那契数列的第2024项.

故选：C

7．已知圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则（    ）

A．当时，S的最大值为

B．当时，S的最大值为

C．当时，S的最大值为

D．当时，S的最大值为

【答案】D

【分析】通过将圆台补成圆锥，利用图形分和讨论即可.

【详解】如图,将圆台补成圆锥.

设圆台的母线长为,则,等腰梯形为过两母线的截面.

设，由，得,

则，

当时，，当最大，即截面为轴截面时面积最大，

则的最大值为.

当时,，当时，截面面积最大，

则的最大值为.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题的关键的是通过补图，利用三角形相似和三角形面积公式得到，然后再分和讨论即可.

8．设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据重心性质得出中点的坐标，根据直线与的右支交于两点可知点在右支内部，

将的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线的斜率与之间等式关系，

由不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线的斜率与之间等式关系，

即可得斜率的取值范围，解出即可.

【详解】设为的中点，根据重心性质可得，

因为，则，

因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，

故有，解得，

当直线斜率不存在时，的中点在轴上，

故三点不共线，不符合题意舍，

设直线斜率为，设，

所以，，

因为在双曲线上，所以，

两式相减可得：，

即，

即有成立，

即有，因为不共线，

即，即，即，

所以的离心率的取值范围为，

因为

，

因为，即，

所以，

所以.

故选：C

【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有：

（1）设出点的坐标；

（2）根据中点坐标建立等式：，；

（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形；

（4）将，及代入等式中即可得出关系.

二、多选题

9．总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和.它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数.为了了解中国人均（单位：万元）和总和生育率以及女性平均受教育年限（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据绘制了散点图，并得到经验回归方程，对应的决定系数分别为，则（    ）

A．人均GDP和女性平均受教育年限正相关

B．女性平均受教育年限和总和生育率负相关

C．

D．未来三年总和生育率将继续降低

【答案】AB

【分析】根据回归方程判断A，写出女性平均受教育年限和总和生育率的关系式，从而判断B，根据散点图的拟合效果判断C，由回归方程可预测未来趋势，但实际值不一定会持续降低，从而判断D.

【详解】由回归方程可知，人均GDP和女性平均受教育年限正相关，故A正确；

因为，可得女性平均受教育年限和总和生育率的关系式为，所以女性平均受教育年限和总和生育率负相关，故B正确；

由散点图可知，回归方程相对拟合效果更好，所以，故C错误；

根据回归方程预测，未来总和生育率预测值有可能降低，但实际值不一定会降低，故D错误.

故选:AB

10．在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，则（    ）

A．异面直线与所成角的余弦值为

B．

C．点到平面的距离为

D．平面截正方体所得的截面是五边形

【答案】ABD

【分析】根据给定的正方体建立空间直角坐标系，利用空间向量求线线角、点到平面距离判断ABC；作出截面判断D作答.

【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

对于A，，，

所以异面直线与所成角的余弦值为，A正确；

对于B，，有，所以，B正确；

对于C，，设平面的法向量，

则，令，得，而，

所以点到平面的距离，C错误；

对于D，延长交的延长线于，直线交于，交的延长线于，连接交于，如图，

连接，于是五边形是平面截正方体所得的截面，D正确.

故选：ABD

11．已知曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线上，则下列结论正确的是（    ）

A．曲线关于轴对称

B．曲线上任意一点到原点的距离都不超过

C．曲线及其内部共包含了19个整点（即横、纵坐标均为整数的点）

D．点到点和点的距离之和最小为

【答案】BC

【分析】由题意得到曲线的解析式，画出图象，由图直观判断即可.

【详解】设是曲线上任意一点，由于到定点和定直线的距离之和等于4.

所以，当时，，

即，化简得：，

当时，，化简的：.

画出曲线的图象：

如图，对于A，显然图象不关于轴对称，故A错误；

，当时，解得，

点到原点的距离最大为：，故B正确；

由图可知曲线及其内部共包含了19个整点，故C正确；

如图：点到与到直线的距离之和为4，

点到点和点的距离之和最小值为：，所以选项D错误.

故选：BC.

12．已知1，，，…，，2为等差数列，记，，则（    ）

A．为常数 B．为常数

C．随着n的增大而增大 D．随着n的增大而增大

【答案】ACD

【分析】根据等差数列的求和公式可得，进而可判断AC，构造函数，进而判断的单调性，即可判断BD.

【详解】由于1，，，…，，2为等差数列，所以，

对于A，，所以A正确，

对于C，，随着n的增大而增大，故正确，

对于B, 1，，，…，，2,公差为,所以，因此，

不为常数，故B错误，

对于D,,所以，

令，则在恒成立，所以，即，(）,

因此，所以,

进而 ，

所以，故随着n的增大而增大，D正确，

故选：ACD

三、填空题

13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________.

【答案】

【分析】根据题意，求导可得，再由直线的点斜式即可得到结果.

【详解】由题意可得，，则，

由直线的点斜式可得，化简可得.

故答案为:

14．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为___________m．

【答案】

【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.

【详解】因为，，所以，，所以，

又因为，所以，，

在中，由正弦定理得，即，解得，

在中，由余弦定理得，

所以，解得．

故答案为：

15．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆有公共点，则的最小值为__________.

【答案】/

【分析】求出圆的圆心、半径，并设出动圆圆心坐标，利用两圆有公共点的条件，建立不等式求解作答.

【详解】圆：的圆心，半径，

以直线上的点为圆心，3为半径的圆与圆有公共点，则，

于是，整理得，

依题意，不等式有解，则，解得，

所以的最小值为.

故答案为：

16．已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为__________.

【答案】

【分析】将不等式等价转化，构造函数，并探讨其性质，再利用导数分类讨论的值域即可求解作答.

【详解】，

令，则，，设，则，

当时,，且等号不同时成立，则恒成立，

当时，，则恒成立，则在上单调递增，

又因为，因此存在，使得，

当时，，当时,，

所以函数在上单调递减，在,上单调递增,

又，作出函数的图像如下：

函数定义域为，求导得，

①当时，，函数的单调递减区间为，

当时，的取值集合为，而取值集合为，

因此函数在上的值域包含，

当时，的取值集合为，而取值集合为，

因此函数在上无最小值，从而函数的值域为R，即，，不合题意，

②当时，由得，由得，函数在上单调递增，在上单调递减，

，当时，的取值集合为，

而取值集合为，因此函数在上的值域包含，

此时函数的值域为，即，

当时，即当时，恒成立，符合题意，

当时，即当时，，结合图象可知，，不合题意，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.

四、解答题

17．若函数，其中.

(1)若，求；

(2)若在区间上没有零点，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据三角恒等变换公式化简函数，再代入求值即可；

（2）整体换元，结合正弦函数图象列不等式，分类求解即可.

【详解】（1）因为

，

当，所以，

所以

；

（2）由（1）知，

当时，，

要使在上无零点，

则，，

解得，

则，故，

又，

当时，，

当时，，即，

当时，舍去.

综上：的取值范围为.

18．记数列的前项和为，，______.给出下列两个条件：条件①：数列和数列均为等比数列；条件②：.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

(1)求数列的通项公式；

(2)记正项数列的前项和为，，，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选择条件①：先由为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等比数列的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案；

选择条件②：先由得出，两式做减即可得出，再验证时即可利用等比数列通项公式得出答案；

（2）通过得出，两式相减结合已知即可得出，即数列的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，将转化即可得出答案.

【详解】（1）选条件①：

数列为等比数列，

，

即，

，且设等比数列的公比为，

，

解得或（舍），

，

选条件②：

，

，

即，

由①②两式相减得：，

即，

令中得出也符合上式，

故数列为首项，公比的等比数列，

则，

（2）由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列为首项，公比的等比数列，即，

则，，

，

，

由③④两式相减得：，

即，

数列为正项数列，

则，

则数列的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，

，

即，

数列前2n项中的全部偶数项之和为：，

则.

19．已知四棱锥的底面是棱长为2的菱形，，，若，且与平面所成的角为，为的中点，点在线段上，且平面.

(1)求；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）连接，利用线面平行的性质结合三角形重心及菱形性质求解作答.

（2）取中点，利用给定条件探求平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.

【详解】（1）连接，连接，由菱形知是中点，而为的中点，

则为的重心，有，

因为平面，平面平面，平面，因此，

所以.

（2）菱形中，由，知为等边三角形，有，又，

则，即有，取的中点，连接，则，

而，且两相交直线在平面内，于是平面，而平面，有平面平面，

在平面内过做于点，平面平面，

从而平面，是与平面所成的角，则，

因为，则，又，因此与重合，

以为坐标原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

，，

，则，，

设平面的法向量，则，令，得，

设平面的法向量，则，令，得，

于是，

所以求平面与平面夹角的余弦值为.

20．甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种．

(1)甲在每次挑战中，成功的概率都为．设X为甲在3次挑战中成功的次数，求X的分布列和数学期望；

(2)乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1．

（ⅰ）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率；

（ⅱ）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率．

【答案】(1)分布列见解析，

(2)（ⅰ）0.4；（ⅱ）0.62．

【分析】(1)由已知得，然后列出相应分布列即可.

(2)根据条件概率的计算公式，列出相应的计算公式，直接计算求解即可.

【详解】（1）由题意得，，则，其中，

则X的分布列为：

则.

（2）设事件为“乙在第i次挑战中成功”，其中．

（ⅰ）设事件B为“乙在前两次挑战中，恰好成功一次”，则，

则

．

即乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概为0.4．

（ⅱ）因为

，

且

，

所以．

即乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率为0.62．

21．已知圆，椭圆的左右焦点为，如图为圆上任意一点，过分别作椭圆两条切线切椭圆于两点.

(1)若直线的斜率为2，求直线的斜率；

(2)作于点，判断点在运动的过程中，的面积是否存在最大值，如果存在，求出最大值，如果不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，最大值为

【分析】（1）设，切线，由点在圆上并联立切线与椭圆方程，根据得到关于k的一元二次方程，应用韦达定理得，即可得直线的斜率；

（2）讨论切线斜率的存在性，求得的方程为，进而易得直线为，写出直线方程并求交点，确定椭圆轨迹方程，根据椭圆交点三角形性质求的面积最大值.

【详解】（1）设，切线，则，

由得：，

由得：，

设切线的斜率分别为，则，

又直线的斜率为2，则直线的斜率为.

（2）当切线斜率都存在时，设，

切线方程为，

由（1）得：

由点在椭圆上，得代入得：，即，

切线的方程为，

由于在切线上，则，所以直线为，

由得：直线方程为，联立直线，

解得，

由得：点轨迹方程为，且焦点恰为，

当切线斜率有一个不存在时，不妨设斜率不存在，且，

直线方程为方程为，解得，也在椭圆上，

综上，点的轨迹为椭圆，

所以，，仅当在椭圆的短轴端点时取到等号.

22．设函数，其中.

(1)讨论的单调性；

(2)若存在两个极值点，设极大值点为为的零点，求证：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导数，对分类讨论，求出的解，得出单调区间；

（2）分和两种情况讨论，时易得零点为0，直接比较可得，时，再由求解即可.

【详解】（1）由

①时，由，令，解得，

所以时，时，，

则在单调递增，在单调递减；

②时，由，

（i）时，因为，则在单调递增，

（ii）时，，解得或，

所以时，时，，

则在，上单调递增，在单调递减；

（iii）时，由，

所以时，时，，

则在，上单调递增，在单调递减；

综上：时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；

时，的单调递增区间为；

时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；

（2）根据题意结合（1）可知时，存在两个极值点，

由为的零点，则，则，故，

若，由（1）可知，则；

若，则，故，

化简得，即，

故

当且仅当，即时等号成立，

即，

故，当且仅当时取等号，

综上，恒成立.

【点睛】关键点点睛：本题解决过程，关键在于分类讨论思想的应用，求函数单调区间时，

需分类讨论才能解不等式，研究函数零点与极值点关系时，也需要分和两种情况讨论.