2023届江西省九江市高三下学期第三次高考模拟统一考试数学（文）试题含解析

  九江市2023年第三次高考模拟统一考试

数学试题（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.

第Ⅰ卷（选择题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数z满足，则（    ）

A.1 B. C.2 D.

3.已知，，，则（    ）

A. B. C. D.

4.为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织社会实践小组对某块稻田的稻穗进行调研，小组随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如下茎叶图，则每穗粒数的中位数和平均数分别是（    ）

A.174，175 B.175，175 C.175，174 D.174，174

5.已知，且，，则（    ）

A. B. C. D.

6.执行如图所示的算法框图，则输出的C的值为（    ）

A.0 B.1 C.2 D.3

7.若数列满足（q为常数，且），则称为差等比数列，其中q为公差比.已知差等比数列中，，，且公差比为2，则（    ）

A.1024 B.1022 C.2048 D.2046

8.已知椭圆的左右焦点分别为，，A，B为平面内异于，的两点.若AB的中点P在C上，且，，则（    ）

A.4 B. C.8 D.

9.已知函数的部分图像如图所示.若，则的最大值为（    ）

A.2 B. C.4 D.

10.已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（    ）

A.在上单调递减 B.在上单调递增

C.在上单调递减 D.在上单调递增

11.榫卯是一种中国传统建筑、家具的主要结构方式，它凝聚了中华文明的智慧.它利用材料本身特点自然连接，既符合力学原理，又重视实用和美观，达到了实用性和功能性的完美统一.下图是榫卯结构中的一种，当其合并在一起后，可形成一个正四棱柱.将合并后的榫卯对应拿开（如图1所示），已知榫的俯视图如图2所示，则卯的主视图为（    ）

图1  图2

A. B. C. D.

12.从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另外一个焦点.如图所示，已知双曲线（）的左右焦点分别为，，从右焦点发出的两条方向相反的光线经双曲线上两点A，B反射后，其中反射光线BC垂直于AB，反射光线AD满足，则该双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

第Ⅱ卷（非选择题90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.中，，，D为BC的中点，则______.

14.中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积为______.

15.已知函数有两个极值点，，且，则______.

16.如图，棱长为2的正方体中，P，Q为四边形内的点（包括边界），且点P到AB的距离等于到平面的距离，点Q到的距离等于到平面ABCD的距离，则的最小值为______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知数列的前n项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

18.直三棱柱中，，D为的中点，.

（1）求证：平面平面ABD；

（2）若，求三棱锥的体积.

19.2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.

（1）试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强，，则认为y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）

（2）建立y关于t的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.

20.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，A，B为E上两点，且点A的纵坐标为，F恰好是的重心.

（1）求E的方程；

（2）若，P，Q为抛物线上相异的两个动点，且，求的最小值.

21.已知函数）在处的切线斜率为.

（1）求a的值；

（2）若，，求实数m的取值范围.

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数）.以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，其中α为倾斜角，且.

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）设l与曲线C相交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率为，，求的取值范围.

23.选修4-5：不等式选讲

设a，b，c均为正数，已知函数的最小值为4.

（1）求的最小值；

（2）证明：.

九江市2023年第三次高考模拟统一考试

数学试题（文科）

一、选择题：

1.A 解析：，，，故选A.

2.B 解析：设，则，即，

，解得，，.故选B.

3.C 解析：，，，

.故选C.

4.A 解析：中位数为174，平均数为，故选A.

5.A 解析：，，，

，，

，故选A.

6.C 解析：由题意，输入，，，执行程序框图，

，，，，执行循环体；

，，，，执行循环体；

，，，，执行循环体；

，，，，执行循环体；

所以C是以3为周期的周期数列，

当时，执行循环体，，，，，结束循环体，所以输出的C的值为2.故选C.

7.D 解析：，，，，

数列是以4为首项，2为公比的等比数列，，

，

，故选D.

8.D 解析：如图所示，连接，，，，

，分别为线段AC，AD的中点，P为AB的中点，

，分别是和的中位线，，

，P在C上，，，故选D.

9.D 解析：由图可知，，，则，

，又，且在单调递减，

，，，，

又，，，

.

故的最大值为2.故选D.

10.C 解析：是奇函数，，即的图像关于点对称，又在上单调递增，在上单调递增，即在上单调递增.由可得，由图像关于直线对称可知为偶函数，

，，是周期函数，最小正周期为4，在上单调递减，故选C.

11.C

12.B  如图，连接，，由双曲线的光学性质可知，，设，则，，

由双曲线定义可知，，

，，，，

，，

，故选B.

二、填空题

13.2 解析：如图，.

14. 解析：由及正弦定理，得，

，，

，，.

15. 解析：，，是的两个零点，即是方程的两个不相等的实数根，，，是方程的两个不相等的实数根.

令，则.

当或时，；

当时，，

在和上单调递减，在上单调递增，

且当时，；当时，.

，且.

由，得，，，由，即.

16. 解析：当P，Q在线段上时，由P到AB的距离等于到平面的距离知，P到点B的距离等于到的距离，故点P在以B为焦点，为准线的抛物线上；同理，点Q在以为焦点，BC为准线的抛物线上.设这两条抛物线与的交点即分别为点，（如图1）.

则P，Q的轨迹分别为四边形内过点，且平行于AB的线段（如图2）.则的最小值即为.

如图3所示，建立平面直角坐标系，则的坐标为，，所在的抛物线方程为，，联立方程且，得，

，，即的最小值为.

图1     图2      图3

三、解答题

17.解：（1）当时，，

当时，，，即

，，

是首项为2，公差为1的等差数列

，，

综上，

（2），

记数列的前n项和为，

18.解：（1）为直三棱柱，，

又，，平面

平面，①

设，则，，

，，

，，故②

由①②，且，知平面ABD

又平面，平面平面ABD

（2）由，得，解得

的面积

由（1）知平面，三棱锥的体积

三棱锥的体积

19.附：相关系数，

回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

，，.

解：（1），

，

订单数量y与月份t的线性相关性较强

（2）

线性回归方程为

令，（万件）

即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件

20.解：（1）由已知可得，，设

F恰好是的重心，，解得

将代入，得，，解得

E的方程为

（2）设直线PQ的方程为，，，

由方程组，得

，即，且，

，

，，

，即，

，

，或

若，直线PQ过N点，不合题意，舍去，

，此时，

则

当时，有最小值为11

21.解：（1）

，，，

（2），

由，得

令，则，

，且，存在，使得当时，

，即

下面证明当时，

，且，

设，，

可知在上单调递减，在上单调递增，

，，

综上，实数m的取值范围为

22.选修4-4；坐标系与参数方程

解：（1）曲线C的普通方程为

由，

得，

即，即

（2）设，

将代入直线l方程中，得

则，

，

23.选修4-5：不等式选讲

解：（1）

，

，，，

即，当且仅当时取等号，故的最小值为

（2），，

又，同理，

，当且仅当时等号成立

即