2023届天津市北辰区高三下学期5月高考模拟考试（三模）数学试卷word版含答案

2023届天津市北辰区高三下学期5月高考模拟考试（三模）

数学

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共9小题，每小题5分，共45分。

参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么．

·如果事件A，B相互独立，那么．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知a为非零实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

4．少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．样本的众数为65  B．样本的第80百分位数为72.5

C．样本的平均值为67.5 D．该校学生中低于的学生大约为1000人

5．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

6．设，，则（    ）

A． B． C． D．

7．设、分别为双曲线（，）的左、右焦点。若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为（    ）

A． B． C． D．

8．中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破。今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（    ）

A． B． C． D．6

9．已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：

①的图象关于点对称；

②的图象关于直线对称；

③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；

⑧若方程在上有且只有两个极值点，则t的最大值为．

以上四个说法中，正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共11小题，共105分。

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10．是虚数单位，复数的虚部为________．

11．在的展开式中，的系数是________．

12．直线经过点，与圆相交截得的弦长为，则直线的方程为________．

13．有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为________；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为________．

14．在中，，，若为其重心，试用，表示为________；若为其外心，满足，且，则的最大值为________．

15．设，对任意实数x，记．若有三个零点，则实数a的取值范围是________．

三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步．

16．（本小题满分14分）

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设，．

（ⅰ）求c的值；

（ⅱ）求的值．

17．（本小题满分15分）

如图，在三棱锥中，底面，．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求点N到直线ME的距离；

（Ⅲ）在线段PA上是否存在一点H，使得直线NH与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段AH的值，若不存在，说明理由．

18．（本小题满分15分）

设是等差数列，其前n项和为（），为等比数列，公比大于1．已知，，，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设，求的前项和；

（Ⅲ）设，求证：．

19．（本小题满分15分）

已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，椭圆内一点M满足，．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）椭圆上一点P在第一象限，且满，与椭圆交于点Q，直线交的延长线于点D．若的面积为，求椭圆的标准方程．

20．（本小题满分16分）

已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求函数在点上的切线方程．（其中e为自然对数的底数）

（Ⅱ）已知关于x的方程有两个不相等的正实根，，且．

（ⅰ）求实数a的取值范围；

（ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若有最小值，求k的值．