高一下学期第一次月考数学试题

这是一份高一下学期第一次月考数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一下学期第一次月考数学试题一、选择题（本大题共12小题，5分/题，共60分）1.设,且,则（　　）A． B． C． D．2．下列函数中，最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝sinx＋(0<x<π)C．y＝4ex＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0<x<1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a4＋a5＋a6＝(　　)A．5　　　B．7　　　C．6　　　D．44．不等式>0的解集为(　　)A. B.C. D.5. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。这个问题中，甲所得为（    ）A．钱    B．钱     C．钱     D．钱6．不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)≤0表示的平面区域为(　　)7.已知等比数列的公比是，首项，前项和为，设成等差数列，若，则正整数的最大值是（  ）A. 4         B. 5          C. 14         D.15 8.在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为（     ）A．2018       B．      C．1009      D．9．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)A．2          B．4        C．6          D．8已知g(x)是R上的奇函数，当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，且f(x)＝若f(2－x2)f(x)，则实数x的取值范围是(　　)A．(－1，2)     B．(1，2)      C．(－2，－1)      D．(－2，1)11．设等差数列an  的前 n 项和为 Sn ，若 S15  0 ，S16  0 ，则 Sn取最大值时 n 的值为（  ）A．6 B．7 C．8 D．1312．若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为(　　)  A．16         B．9         C．6          D．1二、填空题（本大题共4小题，5分/题，共20分）13.若角满足，则的取值范围是________．14.用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒与所搭三角形的个数之间的关系式可以是           .15．满足的约束条件，则z＝x＋2y的最大值为_____________．16．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分10分）已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；(2)若不等式的解集为{x|x∈R，x≠}，求k的值；(3)若不等式的解集为∅，求k的取值范围．       18.（本小题满分12分）已知数列是等比数列，，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.        19.（本小题满分12分）已知不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x>4或x<1}．(1)求实数a，b的值；     (2)若0<x<1，f(x)＝＋，求f(x)的最小值．          20.（本小题满分12分）某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元．(1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．     21．（本小题满分12分）正项数列的前n项和Sn满足：(1)求数列的通项公式； (2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .         22．（本小题满分12分）设函数，，数列满足条件:对于，，且，并有关系式:，又设数列满足(且，).（1）求证数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）试问数列是否为等差数列，如果是，请写出公差，如果不是，说明理由；（3）若，记，，设数列的前项和为，数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.    高一下学期第一次月考数学试题解析一、选择题（本大题共12小题，5分/题，共60分）1.设,且,则（　　）DA． B． C． D．2．下列函数中，最小值为4的是(　　) CA．y＝x＋ B．y＝sinx＋(0<x<π)C．y＝4ex＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0<x<1)解析　注意基本不等式等号成立的条件是“a＝b”，同时考虑函数的定义域，A中x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，函数没有最小值；B中若sinx＝取到最小值4，则sin2x＝4，显然不成立．D中没有最小值．故选C.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a4＋a5＋a6＝(　　)AA．5　　　B．7　　　C．6　　　D．44．不等式>0的解集为(　　)CA. B.C. D.解　>0⇒>0⇒(x＋2)·(x－1)(x－3)>0，由数轴标根法得－2<x<1或x>3.5. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。这个问题中，甲所得为（    ）BA．钱    B．钱     C．钱     D．钱【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.6．不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)≤0表示的平面区域为(　　)解析　方法一：可转化为①或②由于(－2，0)满足②，所以排除A，C，D选项．方法二：原不等式可转化为③或④两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B.7.已知等比数列的公比是，首项，前项和为，设成等差数列，若，则正整数的最大值是（  ）AA. 4         B. 5          C. 14         D.15 【解析】 ，故选A.8.在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为（     ）CA．2018       B．      C．1009      D．解：在各项均为正数的等比数列中，若，可得，则．9．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)BA．2          B．4        C．6          D．8解析　(x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a≥1＋a＋2＝(＋1)2，当且仅当a·＝，即ax2＝y2时“＝”成立．∴(x＋y)(＋)的最小值为(＋1)2≥9.  ∴a≥4.已知g(x)是R上的奇函数，当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，且f(x)＝若f(2－x2)f(x)，则实数x的取值范围是(　　)DA．(－1，2)     B．(1，2)      C．(－2，－1)      D．(－2，1)解析　若x>0，则－x<0，因为g(x)是R上的奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝ln(x＋1)，所以f(x)＝则函数f(x)是R上的增函数，所以当f(2－x2)>f(x)时，2－x2>x，解得－2<x<1，故选D.11．设等差数列an  的前 n 项和为 Sn ，若 S15  0 ，S16  0 ，则 Sn取最大值时 n 的值为（  ）CA．6 B．7 C．8 D．1312．若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为(　　)  CA．16         B．9         C．6          D．1解析　方法一：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)·(b－1)＝1，所以＋≥2＝2×3＝6.方法二：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)(＋)－10≥16－10＝6.方法三：因为＋＝1，所以a－1＝，所以＋＝(b－1)＋≥2＝2×3＝6.二、填空题（本大题共4小题，5分/题，共20分）13.若角满足，则的取值范围是________．14.用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒与所搭三角形的个数之间的关系式可以是           .【解析】第一个三角形用了3个火柴棒，所以，以后每增加一个三角形，就增加2个火柴棒，所以成等差数列，所以.15．满足的约束条件，则z＝x＋2y的最大值为_____________．716．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分10分）已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；(2)若不等式的解集为{x|x∈R，x≠}，求k的值；(3)若不等式的解集为∅，求k的取值范围．解析　(1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，所以(－3)＋(－2)＝，解得k＝－  ………………3分(2)因为不等式的解集为{x|x∈R，x≠}，所以解得k＝－.………………6分(3)由题意，得解得k≥.………………10分18.（本小题满分12分）已知数列是等比数列，，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）设数列的公比为，因为，所以，．因为是和的等差中项，所以．即，化简得．因为公比，所以．所以（）．………………5分（2）因为，所以．．…………6分则，①.②①－②得，，………………11分所以．………………12分19.（本小题满分12分）已知不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x>4或x<1}．(1)求实数a，b的值；     (2)若0<x<1，f(x)＝＋，求f(x)的最小值．解析　(1)因为不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x>4或x<1}，所以x2－5ax＋b＝0的两根分别为1和4，由根与系数的关系得5a＝1＋4，b＝1×4，所以a＝1，b＝4.………………4分(2)由(1)知f(x)＝＋，所以f(x)＝＋＝(＋)[x＋(1－x)]＝5＋＋，………………8分因为0<x<1，所以0<1－x<1，所以>0，>0，所以f(x)≥5＋2＝9，………………10分当且仅当＝，即x＝时等号成立．所以f(x)的最小值为9.………………12分20.（本小题满分12分）某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元．(1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．解析　(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，则其购买量为6x吨．由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)．设每天所支付的总费用为y1元，则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝＋9x＋10 809   ………………3分≥2＋10 809＝10 989，当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．所以该厂每隔10天购买一次面粉才能使平均每天所支付的总费用最少为10989元．………………6分(2)若该厂家接受此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂接受此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝＋9x＋9 729(x≥35)．………………8分令f(x)＝x＋(x≥35)，x2>x1≥35，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝.因为x2>x1≥35，所以x1－x2<0，x1·x2>100，即x1x2－100>0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以f(x)＝x＋在[35，＋∞)上为增函数．所以当x＝35时，y2有最小值，约为10 069.7.………………11分此时y2<10 989，所以该厂应该接受此优惠条件．………………12分21．（本小题满分12分）正项数列的前n项和Sn满足：(1)求数列的通项公式； (2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .【解】（1）因为数列的前项和满足：，所以当时，，即解得或，因为数列都是正项，所以；……1分因为，所以，解得或，因为都是正项，所以；………………3分当时，有，所以，解得，当时，，符合所以数列的通项公式，;………………5分（2）因为，………………8分所以数列的前项和为：，………………11分当时，有，所以，所以对于任意，数列的前项和.………………12分22．（本小题满分12分）设函数，，数列满足条件:对于，，且，并有关系式:，又设数列满足(且，).（1）求证数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）试问数列是否为等差数列，如果是，请写出公差，如果不是，说明理由；（3）若，记，，设数列的前项和为，数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.【解】（1）证明：∵，，，∴，即，，又，所以，∴是等比数列．，∴．………………3分（2）证明：∵，∴，∴∴数列是等差数列，首项为，公差为．………………6分（3）由及（1）（2）得，，，，∴，两式相减得：，∴，………………9分∴不等式为：，整理得对恒成立，令，由，因此递增，且大于0，所以递增，当时，，且，故，所以的范围是．………………12分