六年级上数学教材反思比例的认识_北师大版

这是一份六年级上数学教材反思比例的认识_北师大版，共5页。教案主要包含了在运用中加深对比例的认识等内容，欢迎下载使用。
比例的认识一、对“比例”定义的慎思  1.课堂争议。习题：张师傅加工一批零件，如果每小时做24个，5小时可以做完；如果每小时多做8个，需要几小时完成？（用比例解答）
这是学生第一次遇到用比例解答的实际问题，学生的解答：
（1）24×5÷（24＋8）=3.75（小时）
（2）解：设需要x小时完成
24﹕（24＋8）= x﹕5
X =3.75
课堂的交流：
师：同学们完成这题的时候，主要有这两种想法。下面请同学们交流为什么会这么想？
生1：我用的是第一种方法。这道题我很早就会，就是先算出零件的总数，再除以工作效率等于工作时间。
生2：我也会用第一种方法，但是题目要求用比例，所以我想这批零件的总数没变，工作效率和工作时间成反比例。在列比例的时候，等号前面两个量表示工作效率，后面两个工作时间的量我给它们交换了位置，这样算出来的得数和第一种做法的得数是一样的。
生3：既然题目要求说要用比例解答，那第一种方法显然是不合适的。
生4：我也知道是反比例关系，但书上说反比例的时候是说积相等，没有说是把其中一个比的前项和后项交换位置，所以我觉得第二种做法怪怪的。
生5：我是这样做的。（板书）
解：设需要x小时完成
24×5=（24＋8）x
生6：我有疑问。什么是比例？书上说“表示两个比相等的式子”，现在这样写，是表示两个积相等的式子，它还是比例吗？
（其他同学都表示同感）
2.学习与思考
（1）教材的描述。

从教材的定义与举例中，我就能理解学生为什么会有前面的疑问。就“比例”的形式来说，学生对它的印象就是形如“a﹕b=c﹕d”的格式。教材也从未说过反比例也是比例，可以写成“a×b=c×d”的格式，而只是结合具体的情境，指导学生如何判断。所以，当在解决问题中出现用“比例解答”时，学生头脑中能反应出来的就是“两个比相等”的格式。
（2）其它相关的解释：
①词条的解释：
“比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体的构成或者结构。”从这个角度来理解，比例是指小学数学中的“分率”、“百分比”。
“比例分为比例尺和比例两种。”
“表示两个比相等的式子叫做比例。”定义中也没有包括“反比例”。
②数学词典的解释[1]：
反比：把一个比的前项和后项颠倒位置后，得到新的比，叫做原来这个比的反比。
③课程标准中关于这部分知识的解读[2]：
正比例、反比例属于函数范畴，在第二学段引入。相关学习内容与要求：在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题；通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量；……；能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，进行交流。函数的类型与性质，与相关的方程与不等式有着密切的联系，注意揭示函数与方程及不等式的内在联系。一是使学生对数量关系的认识和理解更丰富；二是为第三学段进一步学习正比例函数和反比例函数，以及学习一般的函数知识做准备。教学中应与实际情境紧密联系，用具体的学生可以理解的方式呈现这个内容，引导学生从数量之间关系，两个量之间变化的规律的角度来理解和掌握这个内容。
二、在运用中加深对比例的认识
经历了学生解题的困惑、自己的思考与学习，结合本校学生学习数学的能力与需要，我认为，如果仅仅把比例教学止步于“判断”，本以为这样少教了会减轻学习负担，但事实上却使不少学生因为对它缺少认识而觉得神秘进而觉得不懂，因此，我觉得正确的做法应该是联系具体的问题情境，让学生感受到它独特的运用方式与价值，最终达到对它的真正理解。
1.用正比例、反比例解决的典型问题举例。
例1：小明4分钟能打字248个，照这样计算，7分钟能打字多少个？
例2：张师傅加工一批零件，如果每小时做24个，5小时可以做完；如果每小时多做8个，需要几小时完成？
这是两道学生很熟悉的实际问题，把它们放在一起对比练习，为的就是让学生能清楚正比例和反比例的不同的形式。
解：设7分钟能打字x个。 解：设需要x小时完成。
4﹕248=7﹕x 24×5=（24＋8）x
释疑：为什么例2之前用“24﹕（24＋8）= x﹕5”也能算出同样的得数？
生1：以前用方程解答，可以利用其总数不变，列成“24×5=（24＋8）x”，这其实就是反比例。但用方程还可以列成“24×5÷x=24＋8”，这个就不是反比例了。所以，用反比例列式就是方程，方程不一定是反比例。
生2：之前学习比例基本性质的时候，根据积相等的4个数，可以写出8个不同的比例式，所以“24﹕（24＋8）= x﹕5”只是其中的一个而已，其依据实际上还是“24×5=（24＋8）x”。还可以列成“24﹕x=（24＋8）﹕5”，但这样写的话，两个比值就没有具体的意义了，虽然算出来的得数也对，还是用反比例积相等列式一看就能懂。
生3：那为什么有的时候，我知道是反比，我可以用“反过来”就行了。比如“从甲地到乙地，小轿车需要4小时，大客车需要5小时，求小轿车与大客车的速度比。”我就把原来的时间比“4﹕5”换一下位置，变成“5﹕4”。
生4：你这样的想法，其实是有道理的，按照题目的条件，得到的速度比应该是“﹕”化简的时候就变成了“5﹕4”。
反思：这样一个互相质疑与解惑的过程，真实再现了学生的认识水平；通过生生互动，把相关知识有效梳理，打通了之间的联系，从而使学生从正、反比例的概念到形式以及解题的有效性方面都做了思考，有了正确的认识。
2.认识用正比例、反比例解题的好处。
（1）数量关系更简单。
例3 用吨花生可榨油吨，①现有吨花生可榨油多少吨？②如果要榨吨油需要多少吨花生？
如果用以前的方法算，这里的乘除关系容易混，但用比例来解答，只要按照一定的顺序，就很简单。
①解：设可榨油x吨。 ②解：设需要y吨花生。
﹕=﹕x ﹕= x﹕
（花生﹕油=花生﹕油） （花生﹕油=花生﹕油）
或者写成“油﹕花生=油﹕花生”、“油﹕油=花生﹕花生”等格式也都是可以的，只要注意前后项的对应或者是前后两个比的对应，数量之间的关系很清晰。
（2）单位名称多样的“统一”。
例4 用吨花生可榨油吨，现有千克花生可榨油多少千克？
解：设可榨油x千克。 
﹕=﹕x 
例5 在一张地图上量得甲地到乙地的距离是3厘米，实际距离是25千米；量得甲地到丙地的距离是7.2厘米，那么实际距离是多少千米？
解：设实际距离是x千米。
3﹕25=7.2﹕x
上面两题共同的特点是单位未统一，以往做的时候往往要统一成同一种单位然后再进行计算，但现在用比例做的时候，发现只要“相对”统一就可以了，这样就使解决问题变得更加简单。
3.疑难问题不再难。
为了降低解题的难度，现行教材上提供的都是一些相对典型的问题，对一些传统意义上认为比较难的话题都回避掉了。但其中有的问题如果用比例来解决，一点也不难；而且在那样的过程中，还可以让学生进一步体会比例解题的优点，值得尝试。
例6 百米赛跑，小明跑到终点的时候，小亮还有10米。照这样计算，小明在起跑线后10米起跑，会不会和小亮同时到达终点？为什么？
学生的想法：
①因为条件里小明比小亮提前10米到达，所以小明多跑10米后，就会一起达到。
②条件里告诉我们，小明跑100米的时候小亮跑了90米，说明小明的速度比小亮快；还可以想到“小明后退10米后，在离终点10米处，他们两个又在同一起跑线上”，所以小明还是会更快到达终点。
教师建议：你能用比例来计算出小明到达终点的时候，小亮离终点还有多少米吗？
解：设小明到终点时小亮跑了x米。
100﹕90=110﹕x
X=99
100－99=1（米）
总结方法：用比例解决实际问题的时候，首先是判断是否成比例？如果成比例，成正比例还是反比例？然后根据实际情况列出比例式。与以前用方程解决实际问题有密切联系，方程考虑如何借助一个未知量得到一个已知量；而比例则考虑的是两边结构的“对称”（比值一定或是积一定），甚至包括了单位名称的“对称”，所以，思考的时候会更加的简单。
至此，学生对用比例解决实际问题产生好感与兴趣，继续让学生尝试下面一道题：有一只钟，每小时会慢2分钟，妈妈在8点整的时候调准了时间，中午回家的时候，看到这只钟正好是12点整。此时的正确时间是几时几分？
学生的数学学习应该是一种进行中的动态的理解过程，这个过程有发生（对教材相关内容的初步学习），也有发展（在实际应用中的发现与再思考）。斯坎普[3]将理解划分为“工具性理解”和“关系性理解”。关于比例，学生最初是通过对教材的学习，仅达到了工具性理解；而由学生质疑之后引发的学习、反思、交流、补充、提升等一系列行为则把学生的理解引向了关系性理解，使他们对于比例的认识结构更趋完善，经历了再一次的建构，更新了理解体会，以适应全面深刻地掌握认知对象的要求。