专题05 相似三角形中的动点问题-初中数学9年级下册同步压轴题（教师版含解析）

这是一份初中数学人教版九年级下册本册综合达标测试，文件包含专题05相似三角形中的动点问题-初中数学9年级下册同步压轴题教师版含解析docx、专题05相似三角形中的动点问题初中数学9年级下册同步压轴题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
专题05 相似三角形中的动点问题

例1．(分类讨论)如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．

(1)当时，求x的值．
(2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，AP＝cm或20cm
【解析】(1)
解：当时，AP：AB＝AQ：AC，
∵AP＝4x，AQ＝30－3x，
∴，
解得：x＝；
(2)
解：∵BA＝BC
∴，
①当△APQ∽△CQB时，有，
即：，
解得：，
∴(cm)，
②当△APQ∽△CBQ时，有，
即：，
解得：x＝5或x＝－10(舍去)，
∴PA＝4x＝20(cm)，
综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．
例2．(函数与相似)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AD⊥BC，垂足为D，F为AD中点．点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为1cm/s；点E为点P关于AD的对称点．连接PQ、FQ、EF、AE．设运动时间为t(s)(0＜t＜4)，解答下列问题：
(1)当PQ∥AE时，求t的值；
(2)设四边形AEPQ的面积为y(cm2)，试确定y与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠DFE＝∠AFQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；(2)；(3)存在，
【详解】解：(1)当时，，
，
，，
，
，
点E与点P关于AD对称，
，
，
，
，
，
即，
解得：
，
舍去，故，
(2)过点作于点，如图，

，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
由(1)可知，
，
四边形，
，
，
(3)存在，理由如下：
当时，三点共线，过点作，如图，

，
，
，
，
即，
解得，
，
F为AD中点，
，
，
，，
，
，即，
解得(舍去，)．
当时，．
【变式训练1】如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．

(1)求经过几秒后，△PCQ的面积等于？
(2)经过几秒，△PCQ与△ABC相似？
【答案】(1)经过4秒后，的面积等于
(2)经过秒或秒，与相似．
【解析】(1)
解：设经过秒后，的面积的面积等于，则，，，
，
整理得，
解得：，
，
经过4秒后，的面积等于．
(2)
解：①设经过秒后，
，
，
解得；
②设经过秒后，
，
，
解得；
经过秒或秒，与相似．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，点P的坐标为．点E是y轴上一动点，QP⊥EP交AB于点Q(保持点Q在x轴上方)，EF⊥EQ交AB于点F．

(1)当PQ⊥AB时，求OE的长．
(2)当点E在线段OB上移动时，设AQ＝n，OE＝m，求n关于m的函数表达式．
(3)点E在射线OB上移动过程中，点Q、E、F构成的三角形与△OAB相似，求出点E的纵坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，，
【解析】(1)
∵PQ⊥AB，QP⊥EP，
∴EP∥AB，
∴∠OEP＝∠OBA，∠OPE＝∠OAB，
∴△OEP∽△OBA，
∴，即，
解得．
(2)
如图1，过点Q作QN⊥OA．

∵，OB＝1，
∴AB＝3．
∴，，
在Rt△AQN中，，
．
∵，
∴．
∵QN⊥OA，QP⊥EP，
∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△QNP∽△POE，
∴，即，
整理得．
(3)
①如图2，∠EFQ＝∠ABO时．
过点E，Q分别作EM⊥FQ于点M，QN⊥OA于点N，

则有△EBM∽△ABO，
∴
设BM＝m，BE＝3m．
∵∠EBF＝∠ABO，
∴∠EFQ＝∠EBF，
∴EF＝EB＝3m．
∵EM⊥FQ，
∴BF＝2BM＝2m，
∵，
∴FQ＝9m，
∴BQ＝7m，
∴点Q的坐标为
同理可得△EOP∽△PNQ，则，即，
整理得，
解得，(不合题意，舍去)．
∴，
∴点E的纵坐标为．
②如图3，点B，F重合，∠FQE＝∠FAO时．

设BE＝m，则QN＝OE＝1－m，，
同理可得△EOP∽△PNQ，则，
即，整理得，
解得，(不合题意，舍去)．
∴，
∴点E的纵坐标为．
③如图4，∠FQE＝∠ABO时．
过点E，Q分别作EM⊥FQ于点M，QN⊥OA于点N，则有△EBM∽△ABO，

∴．设BM＝m，BE＝3m．
∵∠FQE＝∠ABO，
∴EQ＝EB＝3m
∵EM⊥FQ，
∴BQ＝2BM＝2m，
同理可得△EOP∽△PNQ，
则，即，
整理得，
解得，(不合题意，舍去)．
∴，
∴点E的纵坐标为．
综上所述，点E的纵坐标为，，
【变式训练3】如图1，已知矩形的边长，．某一时刻，动点M从点A出发，沿以的速度向点B匀速运动：同时点N从点D出发，沿方向以的速度向点A匀速运动，点N运动到点A时停止运动，运动时间为t．

(1)若是等腰直角三角形，则___________(直接写出结果)．
(2)是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．
(3)如图2，连接，试求的最小值．
【答案】(1)2；(2)存在，理由见解析；(3)15
【解析】(1)∵，∴若是等腰直角三角形时，只有．
根据题意可知，，则，∴，解得，故答案为：2．
(2)
∵，
∴以A、M、N为顶点的三角形与相似分为两种情况，
①当时，有，即，解得：；
②当时，有，即，解得：．
当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似；
(3)
如图，取CN中点E，作E点关于CD的对称点，连接．作M点关于BC的对称点，连接，．
根据作图可知，，
∴，∴当最小时最小，
∵，
∴的最小值为的长，即的最小值为2的长．
如图，连接并延长，交CD于点F，AB于点G．
∵作E点关于CD的对称点，∴，．
又∵E为中点，
∴，G为AB中点， ∴，．
∵作M点关于BC的对称点，
∴，∴．
在中，，
∵，∴时，最小，即．
∴．

【变式训练4】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0，﹣3)，顶点D的坐标为(1，﹣4)．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，抛物线在第四象限的图象上有一点M，求四边形ABMC面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)如图2，直线CD交x轴于点E，若点P是线段EC上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝(x﹣1)2﹣4
(2)点M坐标(，﹣)时，四边形ABMC面积的最大值
(3)存在，点P坐标为(﹣1，﹣2)或(﹣，﹣)
【解析】(1)
设抛物线的表达式为y＝a(x﹣1)2﹣4，将点C(0，﹣3)代入得：
4a﹣4＝0，解得a＝1，
∴抛物线表达式为：y＝(x﹣1)2﹣4；
(2)
连接BC，作MN∥y轴交BC于点N，交AB于点E，作CF⊥MN于点F，如图，

由(1)知，抛物线表达式为y＝(x﹣1)2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，可解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A坐标(﹣1，0)，点B坐标(3，0)，
设直线BC的表达式为y＝kx+b，将点B (3，0)，C(0，﹣3)代入得：
，
∴，
∴直线BC表达式为y＝x﹣3，
设M点(m，m2﹣2m﹣3)，则点N(m，m﹣3)，

∴S四边形ABMC＝S△ABC+S△BCM
＝S△ABC+S△CMN+S△BMN
＝+
＝
＝6+
＝
当时，即点M坐标时，四边形ABMC面积的最大值；
(3)
如图，作PQ垂直x轴，

设直线CD：y＝px+q，将点C，D分别代入得，
，
解得，
∴直线BC：y＝﹣x﹣3，
当y＝0时，解得x＝﹣3，
∴点E坐标为(﹣3，0)，
∵OE＝OC＝OB＝3，
∴∠OEC＝∠OBC＝45°，
在Rt△OBC中，
BC＝＝，
①当△BAC∽△EPO时，
，即，解得EP＝，
在Rt△EPQ中，∠OEC＝45°，
∴sin45°＝，解得PQ＝2，∴EQ＝PQ＝2，
此时点P坐标(﹣1，﹣2)；
②当△BAC∽△EOP时，
，即，解得EP＝，
在Rt△EPQ中，∠OEC＝45°，
∴sin45°＝，解得∴，
此时点P坐标；
综上所述，当点P坐标为(﹣1，﹣2)或时，点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．
课后训练
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点 的坐标是，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段OC运动，连接OB，连接PQ与线段OB相交于点D，两点同时出发，当点Q到达点O时，P，Q同时停止运动，设运动时间为．

(1)_____________，_____________(请用含的代数式表示)

(2)当时，求的值．
(3)在P，Q运动的过程中，将矩形AOCB沿PQ折叠，点A，点O的对应点分别是点E，点F．
①当点F恰好落在线段OB上时，直接写出此时的t值．
②连接PF，连接OF，当时，直接写出此时点F的坐标．
【答案】(1)t，6-2t；(2) ；(3)①； ②
【详解】解：(1)根据题意得：AP=t，CQ=2t，
∵矩形ABCO的顶点 的坐标是，
∴OC=AB=6，
∴OQ=6-2t；
(2)∵四边形ABCO是矩形，
∴AB∥OC，即BP∥OQ，
∴ ，
∵，
∴ ，即 ，
∵AP=t，
∴BP=6-t，
∴ ，
解得： ；
(3)①如图，过点P作PM⊥OC于点M，则OM=AP=t，

∵将矩形AOCB沿PQ折叠，点A，点O的对应点分别是点E，点F．
∴PQ⊥OB，即∠ODQ=90°，
∴∠DOQ+∠OQD=90°，
在矩形AOCB中，顶点 的坐标是，
∠OCB=90°，AB∥OC，OC⊥OA，AB⊥OA，BC=OA=4，
∴∠DOQ+∠OBC=90°，PM=AO=4，
∴∠OBC=∠OQD，
∵PM⊥OC，
∴∠PMQ=∠OCB=90°，
∴ ，
∴ ，
∵OQ=6-2t，
∴MQ=6-2t-t=6-3t，
∴ ，
解得： ；
②如图，设OF交PQ于点N，过点F作GH⊥AB于点H交OC于点G，则GH⊥OC，

在矩形AOCB中，∠A=90°，
∴∠A=∠AHF=∠FGQ=90°，
∴四边形AOGH是矩形，
∴AH=OG，HG=OA=4，
∵将矩形AOCB沿PQ折叠，点A，点O的对应点分别是点E，点F．
∴PQ垂直平分OF，
∴OP=FP， FQ=OQ=6-2t，
∴∠PFO=∠POF，
∵，
∴∠PFO=∠POF=45°，
∴∠OPF=90°，
∴∠APO+∠FPH=90°，
∵∠APO+∠AOP=90°，
∴∠FPH=∠AOP，
∵∠A=∠PHF=90°，
∴ ，
∴FH=AP=t，PH=OA=4，∴OG=AH=4+t， FG=HG-FH=4-t，
∴QG=OG-OQ=(4+t)-(6-2t)=3t-2，
在 中，由勾股定理得：
，解得： 或 (舍去)，
∴ ，
∴点F的坐标为 ．
2．如图，抛物线的图象与轴交于点，，与轴相交于点，顶点为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点是轴右侧抛物线上一点，过点作轴于，以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．

【答案】(1)；(2)或或．
【详解】解：(1)∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
解得a=-1，
∴抛物线解析式为
即，
(2)把x=0代入，得y=0，
∴点C坐标为(0,2)，
把y=0代入得，
解得，
∴点A坐标为(-1,0)，
∴OA=1，OC=2；
设点M坐标为()
∵点M是轴右侧抛物线上一点，
∴MP=x，
①如图1，当点M在点C下方，△MPC∽△COA时，
则，
即，
解得，其中x=0不合题意，舍去，
此时点M坐标为；

②如图2，当点M在点C下方，△MPC∽△AOC时，
则，
即，
解得，其中x=0不合题意，舍去，
此时点M坐标为；

③如图3当点M在点C上方，△MPC∽△COA时，
则，即，解得，其中x=0不合题意，舍去，
此时点M坐标为；

④当点M在点上下方，△MPC∽△AOC时，
则，
即，
解得，均不合题意，舍去；
综上所述，符合条件的M坐标分别是或或．
3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
(1)如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若，求证：．
②若，求四边形的面积．
(2)是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)①见解析；②；(2)存在，，4，9，1
【详解】解：(1)①证明：如图1，
∵，∴．
∴，∴．而，∴．
∵，∴．∴，∴．

②如图1，过点A作于点H．由题意可知，
在中，．设，．
∵，∴，解得．
∴．
∵，
∴，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
：
∴．
(2)过点A作于点H，则有．
①如图2，当点C在第二象限内，时，设
∵，∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
∴，整理得，解得．
∴．

②如图3，当点C在第二象限内，时，延长交于点G，
则，∴．
又∵，
∴，
而，
∴，
∴

③当点C在第四象限内，时，与相交于点E，则有．
(a)如图4，点B在第三象限内．

在中，，∴
∴，
又∵，
∴，
而
∴，
∴
∴，
∴，
∴
(b)如图5，点B在第一象限内．

在中
∴，∴．
又∵，∴
而，∴，∴
∴，∴，∴
综上所述，的长为，4，9，1．
4．如图，在矩形中，，是对角线的中点，是线段上一点，射线交于点，交延长线于点，连接，在上取点，使，设，
(1)连接，当时，判断四边形是否为平行四边形，并说明理由．
(2)当时，若平行的某一边，求的长．
(3)若，分别记和的面积为和，且．求的值．

【答案】(1)四边形EDBC是平行四边形，理由见详解；(2)或；(3)．
【详解】解：(1)四边形EDBC是平行四边形，理由如下：

∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵是对角线的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形EDBC是平行四边形；
(2)由(1)及题意得：，
①当时，则，如图所示：

∴∠FCQ=45°，
∴△FQC、△EDC都为等腰直角三角形，
∴ED=DC=8，,
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴AD=24-8=16；
②当时，如图所示：

作DH∥FC交AC于点H，
∴，
∴，
∴，
∵，DQ=CD-CQ=8-6=2，
∴，
∵DH∥EC，
∴，
∴AC=24，
∴，
综上所述：或；
(3)过点Q作QN⊥CF于点N，如图所示：

∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴EO是∠AEC的角平分线，
∴，
∴，
在Rt△CNQ中，，即，
解得：，
，
∴，
∴．

5．如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一个动点(不与A、C重合)，过点P作PE⊥CD于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m．
(1)当m＝1时，求PE的长；
(2)连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得△PAB≌△PEB？请说明理由；
(3)如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设CF＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．

【答案】(1)PE＝；(2)不能，理由见解析；(3)不变，5m+4n＝16．
【详解】解：(1)连接BE，
由已知：在Rt△ADC中，AC＝，
当AP＝m＝1时，PC＝AC﹣AP＝5﹣1＝4，
∵PE⊥CD，
∴∠PEC＝∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝∠PCE，
∴△ACD∽△PCE，
∴，
即，
∴PE＝；
(2)如图1，当△PAB≌△PEB时，

∴PA＝PE，
∵AP＝m，则PC＝5﹣m，
由(1)得：△ACD∽△PCE，
∴，
∴PE＝，
由PA＝PE，即，
解得：m＝，
∴EC＝，
∴BE＝，
∴△PAB与△PEB不全等，
∴不能使得△PAB≌△PEB；
(3)如图2，延长EP交AB于G，

∵BP⊥PF，
∴∠BPF＝90°，
∴∠EPF+∠BPG＝90°，
∵EG⊥AB，
∴∠PGB＝90°，
∴∠BPG+∠PBG＝90°，
∴∠PBG＝∠EPF，
∵∠PEF＝∠PGB＝90°，
∴△BPG∽△PFE，
∴，
由(1)得：△PCE∽△ACD，PE＝，
∴，
即，
∴EC＝，
∴BG＝EC＝，
∴，
∴5m+4n＝16．
6．如图，在平行四边形中，，点是线段上的一个动点，点是平行四边形边上一点，且．

(1)如图1，若，求证：；
(2)若，．
①如图2，连接交于点，，求的值．
②如图3，点从点运动到点，求点的运动的路径长．
【答案】(1)见详解；(2)①；②28−16
【详解】解：(1)如图1中，

∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADC＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴∠CAD＝∠ACD＝60°，
∵∠DPK＝∠B＝60°，∠CPD＝∠CPK＋∠DPK＝∠CAD＋∠ADP，
∴∠ADP＝∠CPK，
∴△DAP∽△PCK，
∴；
(2)①如图2中，过点P作PM⊥CD于M，PN⊥BC于N，连接PB．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠PCD＝∠PCB，
∵CP＝CP，CD＝CB，
∴△PCD≌△PCB(SAS)，
∴PB＝PD，∠PBK＝∠CDP，
∵∠DPK＝90°，∠DCK＝90°，
∴∠PKC＋∠CDP＝180°，
∵∠PKC＋∠PKB＝180°，
∴∠PKB＝∠CDP，
∴∠PBK＝∠PKB，
∴PB＝PK＝PD，
∵PM⊥CD，PN⊥CB，∠PCM＝∠PCN，
∴PM＝PN，
∵PD＝PK，∠PMD＝∠PNK＝90°，
∴Rt△PMD≌Rt△PNK(HL)，
∴DM＝NK，
∵PB＝PK，PN⊥BK，
∴BN＝NK＝DM，设BN＝KN＝DM＝x，则CM＝4−x，CK＝4−2x，PC＝(4−x)，
∵CE：PE＝4：5，
∴EC= (4−x)，
∵CK∥AD，
∴，
∵AC＝4
∴AE＝4- (4−x)，
∴，

解得：x＝1或−2(舍弃)，
经检验，x＝1是分式方程的根，
∴EC=，PE=，
∵∠PDE＝∠ECK＝45°，∠DEP＝∠CEK，
∴△DEP∽△CEK，
∴，
∴DE•EK＝PE•EC＝×=；
②如图3中，当点P运动到AC的中点时，点K从B运动到C，点K的运动路径的长为4．
当点K在线段CD上时，如图4中，过点D作DO⊥AC于O，过点K作KJ⊥AC于J，设CK＝y，OP＝x．

∵AC＝4，AD＝DC，DO⊥AC，
∴OA＝OC＝2，
∵∠KCJ＝45°，CK＝y，
∴KJ＝CJ＝y，
∵∠DOP＝∠DPK＝∠PJK＝90°，
∴∠DPO＋∠ODP＝90°，∠DPO＋∠KPJ＝90°，
∴△DOP∽△PJK，
∴，
∴，整理得，2x2−(4−y)x＋4y＝0，
∵△≥0，
∴(4−y)2−32y≥0，解得：y≤12−8或y≥12＋8(舍弃)，
∴y的最大值为12−8，
当点P从O运动到C时，点K的运动路径是2CK＝24−16，
∴点P从点A运动到点C，则点K的运动的路径长为28−16．
7．如图，在矩形中，，，连接，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，作，交边于点．已知点从点开始，以的速度在线段上移动，设运动时间为．解答下列问题：

(1)当为何值时，？
(2)连接，设的面积为，求与的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使恰好将分成面积比为的两部分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3；(2)；(3)或；(4)
【详解】解：(1)∵
∴
∴
解得，
∴当时，；
(2)取AB的中点M，BC的中点N，连接OM，ON，如图①

∵
∴，，
∴∠，∠
∴四边形OMBN是矩形
∴∠
∴∠，∠
∴∠
∴△
∴
∵，
∴
①当时，，(如图①)
∴，
∴，
，

∴
=
=
∴；
②当时，如图②

此时，，，
∴
∴


∴
=
=
∴
综上所述，
(3)∵
∴
解得，
∴当或时，；
(4)当时，即，作，如图③

∵∠，∠
∴△
∴，则
∴，则
∵∠，∠
∴
∴，则
∴
∵
∴
解得，
当时，即，如图④，

同上可得，，
∵
∴
解得，
综上所述，
8．已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，直线PM交BC于点P，交AC于点M，直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC，过点P作PQ⊥AB，交AB于点Q，交AD于点N，连接QM，设运动时间是t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，QM//BC？
(2)设四边形ANPM的面积为y(cm2)，试求出y与t的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；(2)；(3)不存在，见解析；(4)存在， t=4
【详解】解：(1)由题意知，PC=t，BP=12﹣t，
∵AB=AC，AD⊥BC，AB=AC=10，BC=12，
∴BD=DC=6，AD=8，
∵QM∥BC，
∴，
∵AB=AC，
∴BQ=CM，
∵PM⊥BC，AD⊥BC，
∴ PM∥AD，
∴即，
∴CM=，
在Rt△ABD和Rt△PBQ中，
cos∠B=，即，
解得：BQ=(12﹣t)= ，
由BQ=CM得：=，
解得：，
故当 时，QM∥BC；
(2)∵∠B+∠BAD=90°，∠DPN+∠B=90°，
∴∠BAD=∠DPN，又∠PDN=∠ADB=90°，
∴△PDN∽△ADB，
∴，即，
解得：，
∴，
∵PM∥AD，
∴△CPM∽△CDA，
∴即，
解得：，
∴，
∴==，
即y与t的函数关系式为；
(3)假设存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的，
则= ，
整理得：，
∵△= =﹣1536＜0，
∴此方程无解，
∴不存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的；
(4)假设存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上，则MP=MQ，
过点M作ME⊥PQ于E，则PE=PQ，∠PEM=90°，
在Rt△ABD和Rt△PBQ中，
sin∠B= ，
解得：，
∵∠BPQ+∠B=90°，∠BPQ+∠MPE=90°，
∴∠B=∠MPE，
在Rt△PEM和Rt△BDA中，
cos∠B=cos∠MPE，即，
解得：，
由PE=PQ得=，
解得：t=4，
∵0＜t＜6，
∴存在某一时刻t=4时，点M在线段PQ的垂直平分线上．