专题01 韦达定理的四种考法-初中数学9年级上册同步压轴题（教师版含解析）

专题01 韦达定理的四种考法

【基础知识点】

根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根时，x1+x2，x1x2．

类型一、直接运用韦达定理求代数式的值

例1.已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是(    )

A．0 B．1 C．2 D．-3

【变式训练1】若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则x12﹣2017x1﹣2018x2的值为(　　)

A．2020 B．2019 C．2018 D．2017

【变式训练2】已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是(    )

A．－2 B．2 C．－1 D．1

【变式训练3】设α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为_____．

类型二、降幂思想求值

例1.已知，是方程的两根，则代数式的值是(       )

A． B． C． D．

【变式训练1】若，则的值为_________________．

【变式训练2】若a2+a﹣1=0，则代数式a4+3a的值为_____．

【变式训练3】若，那么代数式的值是_________.

类型三、构造方程思想求值

例1.已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为(　　)

A．﹣402 B．  C．  D．

【变式训练1】已知实数， 满足等式，，则的值是______．

【变式训练2】若m2+mn＝－1，n2－3mn＝10，则代数式m2+7mn－2n2的值为_______．

【变式训练3】若实数、满足，，则代数式的值为______．

【变式训练4】设实数s、t分别满足，并且st≠1，求____

类型四、根的取值范围问题

例1．方程的两根分别为，，且，则的取值范围是____．

【变式训练1】已知x1，x2是关于x的方程ax2﹣(a+1)x+1＝0的两个实数根．

(1)若x1≠x2，求实数a的取值范围；

(2)是否存在实数a使得x12＝x22成立？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

【变式训练2】已知、是关于的一元二次方程的两实数根．

(1)若，求n的值；

(2)已知等腰三角形的一边长为7，若、恰好是△另外两边的长，求这个三角形的周长．

【变式训练3】关于x的方程有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围：

(1)两根都小于0；

(2)两根都大于1；

(3)方程一根大于1，一根小于1．

【变式训练4】设关于的一元二次方程有两个实数根，．

(1)求的值；

(2)求证：，且；

(3)若，试求的最大值．