第四单元《长方体（二）》（原卷版+解析版）——【期末复习】2022-2023学年五年级下册数学单元复习知识点+练习学案（北师大版）

2022-2023学年北师大版五年级下册同步重难点讲义精讲精练

第四单元 长方体（二）

知识点一：体积与容积

1.物体所占空间的大小，是物体的体积。

2.容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。

3.体积和容积的区别：

（1）意义不同：体积是指物体所占空间的大小，容积是指容器所能容纳物体的体积。

（2）测量方法不同：体积是从物体的外部测量，容积是从物体的内部测量。

（3）大小不同：同一个容器，因为容器壁有一定的厚度，体积大于容积；当容器壁很薄时，体积近似等于容积；当容器壁忽略不计时，体积等于容积。

知识点二：体积单位

1. 常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，分别记作立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。

体积约是1cm3的有学生的大拇指指尖、一粒蚕豆、计算机键盘的方形按键、骰子……

体积约是1dm3的有罐头盒、魔方…

体积约是1m3的有洗衣机、冰箱……

2. 常见的容积单位有升（L）和毫升（mL）。

3.棱长为1dm的正方体的容积是1L；棱长为1cm的正方体的容积是1mL。

知识点三：长方体的体积

1. 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh

2. 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a3

3. 长方体（正方体）的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh

4. 已知长方体的体积、底面积、高三个量中的任意两个量，可以求出第三个量。

知识点四：体积单位的换算

1.相邻两个体积单位之间的进率是1000。1m3=1000dm3     1dm3=1000cm3

2. 在解决体积、容积的实际问题时，要注意单位的统一。

知识点五：测量问题

1.在测量不规则物体的体积时，一般把不规则物体的体积转化为可测量的水的体积。水面升高部分的水的体积（或水满时溢出的水的体积）就是不规则物体的体积。

2. 向盛有水的长方体或正方体容器里面放入物体，且物体完全浸入水中，若有水溢出，则放入的物体和原来水的体积之和减去容器的容积就等于溢出水的体积。

考点1：体积、容积及其单位

【典例分析01】（2022秋•锡山区期末）一个冷水壶装满橙汁，把它倒入甲杯，能正好倒满4杯；如果倒入乙杯，能正好倒满5杯．比较两个杯子的容量，（　　）

A．甲杯大 B．乙杯大 C．一样大 D．无法确定

【思路点拨】根据倒入甲杯和乙杯的杯数，结合水的总量不变可得：甲杯的容量×4＝乙杯的容量×5，即可得到结论。

【规范解答】解：分析可知，甲杯的容量×4＝乙杯的容量×5

所以甲杯的容量大。

故选：A。

【考点评析】知道水的总量不变，是解答此题的关键。

【典例分析02】（2023•海淀区模拟）如图容器中装有400毫升的水，估计一下这个容器的容量大约是（　　）

A．400ml B．600ml C．800ml

【思路点拨】已知400毫升占这个容器容量的，也就是这个容器容量的等于400毫升，根据除法的意义，列式解答即可．

【规范解答】解：400÷

＝400×

＝600（毫升）

答：这个容器的容量大约600毫升．

故选：B．

【考点评析】解答此题，只要确定标准量，然后根据分数除法的意义列式解答即可．

【变式训练01】（2022春•城阳区期末）本学期我们用（　　）的方法学习了体积单位。

A．转化 B．数形结合 C．类推

【变式训练02】（2022秋•上思县期中）一个油箱能装60升油，是指这个油箱的（　　）是60升。

A．表面积 B．体积 C．容积

考点2：体积、容积进率及单位换算

【典例分析03】（2022•汶上县）

【思路点拨】名数的换算：把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率。据此即可解答。

【规范解答】解：0.07×1＝0.07（立方分米）

0.07×1000＝70（毫升）

45÷60＝0.75（时）

860÷1000＝0.86（吨）

7+0.86＝7.86（吨）

5.6×10000＝56000（平方米）

故答案为：0.07，70；0.75；7.86；56000。

【考点评析】此题主要考查单位间的换算。

【典例分析04】（2022春•甘井子区期末）

【思路点拨】1升＝1000毫升，1时＝60分，1立方米＝1000立方分米，据此单位之间的换算的方法，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率，据此解答。

【规范解答】解：

故答案为：14000，，2，800。

【考点评析】此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率。

【变式训练03】（2022•阳城县）在横线上填上“＞”“＜”或“＝”。

【变式训练04】（2022春•成华区期末）

考点3：长方体和正方体的体积

【典例分析05】（2022秋•宜阳县期末）在一个长是6dm，宽是3dm，高是2dm的长方体中割一个最大的正方体，这个正方体的体积是（　　）

A．216dm3 B．27dm3 C．8dm3

【思路点拨】根据题意可知：在这个长方体中割一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的高，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。

【规范解答】解：2×2×2

＝4×2

＝8（立方分米）

答：这个正方体的体积是8立方分米。

故选：C。

【考点评析】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

【典例分析06】．（2022秋•太原期末）小桐用1立方厘米的小正方体摆满这个长方体框架，一共需要 　24　个这样的正方体才能摆满.摆成的长方体的体积是 　24　立方厘米。

【思路点拨】通过观察图形可知，沿长方体的长摆了4个，沿长方体的宽摆3个，沿长方体高摆了2层，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。

【规范解答】解：4×3×2

＝12×2

＝24（个）

1×24＝24（立方厘米）

答：一共需要24个这样的正方体才能摆满，摆成的长方体的体积是24立方厘米。

故答案为：24，24。

【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体体积公式的推导过程及应用。

【变式训练05】（2022秋•涟水县期末）一个长方体蓄水池长10米、宽4米、深2米。这个蓄水池的占地面积是 　   平方米，最多能蓄水 　     　立方米。

【变式训练06】（2022秋•莱山区期末）毛叔叔用五块玻璃制作了一个长方体鱼缸，五块玻璃的大小如图所示，这个鱼缸的容积是多少升？（玻璃厚度忽略不计）（单位：厘米）

考点4：探索某些实物体积的测量方法

【典例分析07】（2021秋•相城区期末）将图中的矿泉水瓶完全浸没在长方体容器中，容器中上升的水的体积可能是（　　）毫升。

A．500 B．480 C．540 D．400

【思路点拨】由题目和图可知，矿泉水瓶中的水的体积为500毫升，因为矿泉水瓶中水并未装满，则当矿泉水完全浸没在长方体容器时，上升的水的体积一定大于500毫升。

【规范解答】解：由分析可知，矿泉水瓶中的水的体积为500毫升，因为矿泉水瓶中水并未装满，则当矿泉水完全浸没在长方体容器时，上升的水的体积一定大于500毫升。

故选：C。

【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。解答本题要注意到矿泉水瓶中水并未装满。

【典例分析08】（2022春•罗山县期末）一个长40厘米，宽20厘米，高20厘米的长方体鱼缸中水深15厘米，放入几条金鱼后，水面上升了3厘米，这几条金鱼的体积是 　2400立方厘米　。

【思路点拨】这几条金鱼的体积等于上升的水的体积，用底面积乘上升的厘米数即可。

【规范解答】解：40×20×3

＝800×3

＝2400（立方厘米）

答：这几条金鱼的体积是2400立方厘米。

故答案为：2400立方厘米。

【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。

【变式训练07】（2022秋•宁乡市期末）一个棱长15dm的正方体水槽中装有水，水深8dm。现将一块长12dm，宽10dm的长方体石块浸没在水中，水面上升了4dm，石块的高是多少分米？

【变式训练08】（2022春•云和县期中）一个盛水的圆柱形容器，底面直径为20cm，水深40cm，放入一块石头完全浸没（水未溢出），水面升到45cm。这块石头的体积是多少？

基础练

一．选择题（共4小题）

1．一个正方体容器里面盛满水，往该容器里放入两根体积相同的香蕉，容器里溢出了268cm3的水，一根香蕉的体积是（　　）

A．268cm3 B．134cm3 C．536cm3

2．（2022春•关岭县期末）一个玻璃杯最多能装300mL水，它的（　　）是300mL

A．容积 B．体积 C．表面积 D．占地面积

3．（2022春•临高县期末）一个从里面量长6dm，宽5dm，高4dm的油箱和一个容积是100L的油桶，装油多的是（　　）

A．油箱 B．油桶 C．一样多

4．（2022春•龙川县期末）工人正在为民二小学修建一个长方体游泳池，游泳池的长、宽、深分别为50m，12m，1.3m，工人挖出的土和石头至少有（　　）m3。

A．600 B．780 C．900

二．填空题（共3小题）

5．（2022秋•忠县期末）一个长方体的棱长总和是80米，长、宽、高的比是5：4：1，这个长方体的体积是 　   　立方米。

6．（2022秋•隆回县期末）在横线里填“＞”、“＜”或“＝”。

7．（2022秋•锡山区期末）图中土豆的体积是 　   　立方厘米，也就是 　   　立方分米，如果把该土豆完全浸没到一个底面积是0.4平方分米，高1分米的装有适量水的长方体容器中，水面会上升 　   　分米。

三．判断题（共3小题）

8．（2022秋•浮山县期末）如果将一个长方体的长，宽，高分别减少1dm，那么它的体积就减少1dm3。 　   　（判断对错）

9．（2022秋•汝阳县期中）一瓶可乐的容量是2升，雪雪和爸爸、妈妈、哥哥每人喝450毫升就把这瓶可乐喝完了。 　   　（判断对错）

10．（2022秋•上思县期中）把3升水倒入500毫升的量杯，可以倒满6杯。 　   　（判断对错）

四．计算题（共1小题）

11．（2021•固始县）求组合图形的表面积和体积．（单位：dm）

五．应用题（共4小题）

12．（2022秋•浮山县期末）一个长方体容器（如图，单位厘米），长30厘米，宽20厘米，高10厘米，现在容器内的水深6厘米。如果把这个容器装满水，还需要多少毫升的水？

13．（2022秋•锡山区期末）一辆货车，车厢从里面量长4米，宽2.5米，高1.5米．货物堆放的高度是1.2米，已知每立方米货物重1.6吨，那么这辆货车装的货物重多少吨？

14．（2022春•城阳区期末）小东想测量一个石块的体积，他把石块放进一个棱长是3分米的正方体水缸内。石块完全没入水中，水面升高到12厘米，水缸内原有10升水。请你帮小东算一下，这个石块的体积是多少立方分米？

15．（2022春•湛江期中）一个长方体容器，底面长4厘米、宽2厘米，高1.5厘米，放入一个土豆后水面提升了0.2厘米，求这个土豆的体积是多少？

提高练

一．选择题（共3小题）

1．（2022春•清远月考）一个车厢的体积是30m3，底面是一个6m2的长方形。这个车厢的高是（　　）米。

A．180 B．36 C．24 D．5

2．（2022春•长寿区期末）一盒酸奶，外包装是长方体形状，包装纸上标注“净含量650ml“。实际量得外包装长8cm，宽5cm，高15cm。根据以上数据，你认为标注的净含量是（　　）

A．无法确定真假 B．真实的 

C．虚假的

3．（2022春•汝城县期末）如果一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么它的体积扩大到原来的（　　）倍。

A．6 B．27 C．9

二．填空题（共3小题）

4．（2022秋•南京期末）一个正方体玻璃容器，棱长是10分米。如果在这个玻璃容器内倒入600升水，水面高度是 　   　分米。（玻璃厚度不计）

5．（2022春•乐清市校级月考）把50L水倒入一个从里面量棱长为5dm的正方体玻璃缸中，水深 　   　dm。

6．（2022春•虞城县月考）一个长方体的长12cm，宽是长的，高是长的，这个长方体的体积是 　   　cm3，表面积是 　   　cm2。

三．计算题（共1小题）

7．（2022春•当阳市期末）计算下面长方体的表面积和正方体的体积。

四．应用题（共8小题）

8．（2022秋•宁乡市期末）一个棱长15dm的正方体水槽中装有水，水深8dm。现将一块长12dm，宽10dm的长方体石块浸没在水中，水面上升了4dm，石块的高是多少分米？

9．（2022秋•莱山区期末）毛叔叔用五块玻璃制作了一个长方体鱼缸，五块玻璃的大小如图所示，这个鱼缸的容积是多少升？（玻璃厚度忽略不计）（单位：厘米）

10．（2022秋•涟水县期末）一块正方体石料，它的棱长是5dm，如果1dm3的石料重2.5kg，这块石料重多少千克？

11．（2022春•梁平区期末）一个长方体牙膏盒的表面积是408cm2，它的底面积是24cm2，它的底面周长是20cm。这个长方体的体积是多少？

12．（2022•日照模拟）要修建一个长方体泳池，长25米，宽10米，高1.6米。要在这个泳池中注入的水，那么装入的水有多少立方米？

13．（2022•坪山区）有大、小两种玻璃球，放入盛有同样多水的圆柱形容器中，用“排水法”测量玻璃球的体积。请仔细观察、思考后解答。

（1）一个大玻璃球和一个小玻璃球的体积比是 　   　：　   　。

（2）图4水面的高度是 　   　厘米。

（3）一个大玻璃球的体积是多少立方厘米？（请列式计算）

14．（2021秋•阎良区期末）一个棱长20厘米的正方体玻璃缸，里面装满水，现在将水倒入一个长20厘米，宽16厘米，深30厘米的空长方体玻璃缸中，水面离缸口有多少厘米？

15．（2022春•盂县期中）如图是一个长方体容器的一部分数据，长、宽、高分别是2米、1.5米、8分米，发挥你的想象，回答下列问题：

（1）想象长方体的上面，长是多少，宽是多少，并求出它的面积。

（2）长方体左面的面积是多少平方米？

（3）这个长方体容器里面水深是7.8分米，把一块石头放入容器中（完全浸没），容器中的水溢出了15升，石头的体积是多少立方分米？