五年级上册秋季奥数培优讲义——奇偶同余学生及教师版

第5讲  余数和奇偶问题

【学习目标】

1、掌握同余定理；

2、掌握奇数偶数的相关奇偶性；

3、掌握同余及奇偶性的实际应用。

【知识梳理】

1、奇数和偶数的概念：能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数。

  注意：0也是偶数，0是最小的偶数。

2、表示方法：

（1）偶数：如果用n表示整数，那么2×n就表示偶数，简写成2n，其中n＝0，1，2，3 ，…

（2）奇数：2n＋1或2n－1，其中n＝0，1，2，3 ，…

3、奇数和偶数的判断：

（1）个位是0、2、4、6、8的数叫做偶数；

（2）个位是 个位是1、3、5、7、9的数叫做奇数。

4、奇数和偶数的性质：

  奇数＋奇数＝偶数       奇数－奇数＝偶数        奇数×奇数＝奇数    

  偶数＋偶数＝偶数       偶数－偶数＝偶数        偶数×偶数＝偶数

  奇数＋偶数＝奇数       偶数－奇数＝奇数        奇数×偶数＝偶数

5、同余问题：若a,b除以c的余数相同,那么(a- b)能被c整除。

6、余数的三大性质：

（1）和的余数等于余数的和；

（2）差的余数等于余数的差；

（3）积的余数等于余数的积。

【典例精析】

【例1】有一个自然数分别去除360、314、245得到相同的余数，这个自然数最大可能是

多少？

【趁热打铁-1】692、608、1126三个数分別除以同一个自然数，得到的余数相同，这个自然数最大是多少？

【例2】某幼儿园到图书馆借书，如借35本，平均分发给每个小朋友差1本，如借56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如借69本，平均分给每个小朋友则差3本。问幼儿园最多有多少个小朋友？

【趁热打铁-2】工人加工零件，第一批毛坯1788个，第二批毛坏1680个，第三批毛坯2098个，现均分配给工人，分别剩7个，3个，5个。问：加工的工人最多有多少个？

【例3】有三个吉利数字，888,518,666,用他们同时除以一个相同的自然数，所得的余数为a,a+7,a+10试问这个自然数是多少？

【趁热打铁-3】有一个自然数,用它去除226余a,去除411余a+1,去除527余a+2,则a=    。

【例4】有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和为25。这三个余数中最大的一个是多少？

【趁热打铁-4】甲数除以8余7，乙数除以8余6，丙数除以8余5，那么（甲+乙+丙）÷8的余数是几？

【例5】31453×68765×987657的积，除以4的余数是______．

【趁热打铁-5】求19790422与22409791的乘积被7除后的余数。

【例6】有一袋奶糖发给学前班的小朋友，每人得8，最后刻下1糖，每人得10最后也剩下1颗糖，每人得12颗，最后还是剩下1颗糖。这袋奶糖至少有多少颗？

【趁热打铁-6】一袋糖果，如果平均分给4个小朋友，还剩3块，如果平均分给5个小朋友，还缺1块；如果平均分给6个小朋友，还缺1块，这袋糖果至少有多少块？ 

【例7】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合条件的最小自然数。

【趁热打铁-7】一个自然数被7除余2，被8除余1，被10除余5.这个自然数最小是多少？

【例8】一本故事书200页，如果把其中任意连续20页的页码数相加起来，可能是2021吗？

【趁热打铁-8】有12张卡片，其中3张写着1，3张写着3，3张写着5，3张写着7，你能否从中选出5张，使它们的和是20，为什么？

【例9】有9枚1元的硬币，“1元”面朝上放在桌子上，现规定每次翻动其中的8枚，你能否翻动几次，使“1元”面全部朝下？

【趁热打铁-9】3只杯子杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子，使其杯口朝下，能否经过若干次翻转，使3只杯子全部杯口朝下？

【例10】在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯，如果每次同时拉动4个房间的开关，能不能把全部房间的灯关上？为什么？

【趁热打铁-10】10有7盏灯，从1到7编号，开始时2、4、7编号的灯亮着，一个小朋友按从1到7,再从1到7……的顺序拉开关，一共拉了400下，问：此时哪个编号的灯是亮的？

【过关精炼】

1、一个数去除551、745、1133、1327这4个数，余数都相同，问这个数最大可能是多少？

2、一个大于1的数去除300、245、210时，得余数为a、a+2、a+5,则这个自然数是多少？

3、如果自然数a、b、c、d除以6都余4，则a+b+c+d除以3，所得的余数是几？

4、一堆苹果，2个2个地数剩1个，3个3个地数剩2个，4个4个地数剩3个，5个5个地数剩4个，6个6个地数剩5个，求这堆苹果至少有多少个？

5、某校有皮球若干个，如平均分给10个班则余下9个，如平均分给12个班则余下11个，如平均分给15个班则余下14个，学校至少有     个皮球。

6、有2020盏亮着的灯，依次编号1～2020号，每个灯有一个接线开头控制，第一次将编号数为8的倍数的灯拉一下开头，第二次将编号数是9的倍数的灯拉一下开头，最后仍然亮着的灯一共有       。

7、7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子。能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下？