重庆市三峡名校联盟2022-2023学年高二数学下学期联考试题（Word版附答案）

三峡名校联盟2023年春季联考高2024届数学试卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1. 下列导数运算正确的是（    ）

A.        B.        C.        D.

2. 某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（    ）

A. 相关系数r变小         B. 决定系数变小

C. 残差平方和变大         D. 解释变量x与预报变量y的相关性变强

3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（  ）

A．           B．

C．           D．

4. 的展开式中的系数为（    ）

A.    B.    C. 100       D. 48

5．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（    ）

A．0.32    B．0.42   C．0.64       D．0.84

6. 将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（    ）

A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C相互独立

C.  D.

7. 如图，4个圆相交共有8个交点，用5种不同的颜色给8个交点染色（5种颜色都用），要求在同一圆上的4个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有（    ）种

A. 2016   B. 2400               C. 1920             D. 96

8. 已知，，，则（    ）

A.             B.            C.           D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为，用表示小球落入格子的号码，则（    ）

A．                  B．

C．                       D．

10. 现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（    ）

A.4个空位全都相邻的坐法有120种

B.4个空位中只有3个相邻的坐法有240种

C.4个空位均不相邻的坐法有120种

D.4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种

11. 有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（    ）

A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015

B. 任取一个零件是次品的概率为0.0525

C. 如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为

D. 如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为

12. 已知函数在上可导,其导函数为,若满足:,

, 则下列判断一定不正确的是 (    )

A.        B.        C.        D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得回归直线方程中，预测当气温为时，用电量约为         度．

14. 已知，则        ．（用数字作答）

15. 若随机变量，且，则         .

16. 记设函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围的是         .

四､解答题：本题共有6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17.(本小题10分)若，．

（1）求的大小（用指数式表示）；

（2）求除以4所得的余数．

18．(本小题12分) 已知函数（）．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间和极值．

19．(本小题12分)9年来，某地区第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图如下图所示.根据该图提供的信息解决下列问题．

(1)在所统计的9个生产总值中任选2个，求至少有一个不低于平均值的概率．

(2)由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值．

（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，．

20．(本小题12分)为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如图数据：

（1）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为可作为“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；

（2）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？

21．(本小题12分)设函数，．

（1）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围；

（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

22．(本小题12分) 已知有两个极值点，且．

（1）若的极大值大于，求a的范围；

（2）若，证明：．

三峡名校联盟2023年春季联考高2024届数学试卷参考答案

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1.D   2. D   3．B    4．D   5．B   6．D   7．C   8．A

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．AD     10．AC     11．ABD      12．ABD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．69.4      14．-84      15．     16．

8. 提示：，令，则，

函数在上递减，在上递增，

又，，，，

又，由，得，

，

，，，，即，

，综上所述.

12.构造, 则 ,

导函数满足 ,

当 时 在上单调递增.

当 时在上单调递减.

又 关于 对称,

，

即 ， ，故A错误；

，故B错误；

即 , 故C正确；

即 , 故D错误；

四､解答题：本题共有6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17.解（1）令x＝1，得①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

令，得②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

①减②的差除以2，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）由（1）知，

， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

，

为整数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

被4除的余数为2，即2T除以4的余数为2.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

18.解（1），

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

，而，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

曲线在点处的切线方程为.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由（1）知()

易得时，，当时，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

函数在处取得极大值.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19.解（1）依题知，9个生产总值的平均数为：

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

由此可知，不低于平均值的有3个，设不低于平均值的个数为

则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）由后面四个数据得：

，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

所以，，．．．．．．．．．．．．．．．10分

所以线性回归方程为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

当时，，所以该地区第11年的第三产业生产总值约为．．．12分

20.解（1）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校有4所，则X的可能取值为0，1，2，3．．．．．1分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

所以X的分布列为：

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为：．．．．9分

所以小明在n轮测试中获得“优秀”的次数Y满足，由，得．

所以理论上至少要进行5轮测试．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21. 解（1）由题意得，．．2分

∵存在两个极值点，∴在有两个不等实根，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

∴且且，即实数的取值范围为.．．．．．5分

（2）方法一：（分类讨论）

当时，，符合题意；．．．．．．．．．6分

当时，，

①若，对恒成立，在单调递增，，符合题意；

②若，则

（ⅰ）当，，恒成立，在单调递减，

只需，所以；．．．．．．．．．8分

（ⅱ）当时，，恒成立，在单调递增，

只需，所以均符合题意；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

（ⅲ）当时，，当，，当，，所以在单调递增，在单调递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

则，而当时，，均成立，

∴符合题意.

综上所述，.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

方法二：（分离参数）恒成立，

设，，则，由在单调递增，

得，即，∴在单调递增，所以，．．．．．．．．．．．．．7分

∴恒成立，只需.．．．．．．．．．．．8分

设，，则 ．．．．．．．．．．．．．9分

设，，则，∴在单调递减，

∴，（或者由）

从而得，故在单调递增，．．．．．．．．．．．．．10分

∴，．．．．．．．．11分

∴.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

22解（1）, ∴，是的两根，

即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

设，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴时，，单调递增；时，，单调递减，

又，，时，；时，，

∴，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

∴为的极大值点，

∴，

,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

令  ，

∴在上单调递增，∴，．．．．．．．．．．．5分

∴，又在单调递减，∴，∴；．．．．．6分

（2） ．．．．．．．．．．7分

要证，∵，即要证．．．．．．．．．．8分

，设，

即要证，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

构造  ，．．．10分

设  ∴在单调递增，

∴  ∴  ∴单调递增，．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

∴得证. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分