第八章 成对数据的统计分析（公式、定理、结论图表）（新教材）

第八章 成对数据的统计分析（公式、定理、结论图表）

一、成对数据的统计相关性

1．变量的相关关系

(1)函数关系
函数关系是一种确定性关系，常用解析式来表示.
(2)相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关

系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.

2．散点图

(1)散点图
成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图.
(2)正相关和负相关
如果从整体上看，

当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；

如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关.

3．线性相关

一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量线性相关.

4．样本相关系数

(1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式：

    （其中，，，和，，，的均值分别为和）.

①当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大.
②当r<0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小.

二、一元线性回归模型及其应用

1.线性回归方程：

（1）最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

（2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：，其回归方程为，则注意：线性回归直线经过定点．

（3）相关系数：．

【方法归纳】

（1）利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关．

（2）利用相关系数判定，当越趋近于1相关性越强．当残差平方和越小，相关指数越大，相关性越强．

（3）在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，也可计算相关系数进行判断．若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．

（4）正确运用计算的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．并充分利用回归直线过样本点的中心进行求值．

2、回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。

建立回归模型的基本步骤是：

（1）确定研究对象，明确两个变量即解释变量和预报变量；

（2）画出散点图，观察它们之间的关系；

（3）由经验确定回归方程类型（若呈线性关系，选用线性回归方程）；

（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；

（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差出现不随机的规律性，等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。

三、列联表与独立性检验

1．列联表

设，为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下：

2．独立性检验

利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．

3．独立性检验的一般步骤

(1)根据样本数据列出列联表；

(2)计算随机变量的观测值k，查下表确定临界值k0：

(3)如果，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”．

典例1;研究某灌溉渠道水的流速与水深之间的关系，测得一组数据如下：

（1）求对的回归直线方程；

（2）预测水深为时水的流速是多少？

分析：本题考查如何求回归直线的方程，可先把有关数据用散点图表示出来，若这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，说明这两个变量线性相关，从而可利用我们学过的最小二乘估计思想及计算公式求得线性回归直线方程。

【解析】（1）由于问题中要求根据水深预报水的流速，

因此选取水深为解释变量，流速为预报变量，作散点图：

由图容易看出，与之间有近似的线性关系，

或者说，可以用一个回归直线方程来反映这种关系，

由计算可求得、，

对的回归直线方程为；

（2）由（1）中求出的回归直线方程，把代入，易得：

()，

计算结果表示，当水深为时可以预测渠水的流速为。

典例2：电容器充电后，电压达到 ，然后开始放电，由经验知道，此后电压随时间变化的规律公式()表示，观测得时间()时的电压()如下表所示：

试求电压对时间的回归方程。

【分析】由于两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，我们可通过对数变换把指数关系变为线性关系，通过线性回归模型来建立与之间的非线性回归方程。

【解析】对两边取自然对数得：，令，，即，

由所给数据可得：

其散点图为：

由散点图可知与具有线性相关关系，可用来表示，

经计算得：、、、，

∴，即，∴。

【评注】一般地，有些非线性回归模型通过变换可以转化为线性回归模型，即借助于线性回归模型研究呈非线性回归关系的两个变量之间的关系：

（1）如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选用线性回归模型来建模；

（2）如果散点图中的点的分布在一个曲线状带形区域，要先对变量作适当的变换，再利用线性回归模型来建模。

典例3：为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了名岁以上的人，调查结果如下表所示：

试问：岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗？

【分析】最理想的解决办法是向所有岁以上的人作调查，然后对所得到的数据进行统计处理，但这花费的代价太大，实际上是行不通的，人相对于全体岁以上的人，只是一个小部分，已学过总体和样本的关系，当用样本平均数，样本方差去估计总体相应的数字特征时，由于抽样的随机性，结果并不唯一。现在情况类似，我们用部分对全体作推断，推断可能正确，也可能错误。如果抽取的个调查对象中很多人是吸烟但没患慢性气管炎，而虽不吸烟因身体体质差而患慢性气管炎，能够得出什么结论呢？我们有（或）的把握说事件与事件有关，是指推断犯错误的可能性为（或），这也常常说成是“以（或）的概率”是一样的。

【解析】根据列联表中的数据，得，

∵，∴我们有的把握说岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关。

【评注】对两个分类变量进行独立性检验，要对样本的选取背景、时间等因素进行分析。

典例4：为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联列表：

药物效果与动物试验列联表

请问能有多大把握认为药物有效？

【解析】假设“服药情况与是否患病之间没有关系”，则的值应比较小，

如果的值很大，则说明很可能“服药情况与是否患病之间有关系”，

由题目中所给数据计算，得的观测值为，

而，∴有的把握认为“服药情况与是否患病之间有关系”，

即大约有的把握认为药物有效。

典例5：在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在机上晕机的情况如下表所示，根据此资料你是否认为在恶劣气候中男人比女人更容易晕机？

【解析】由条件中数据，计算得：，

∵，∴我们没有理由说晕机是否跟男女性别有关，

尽管这次航班中男人晕机的比例比女人晕机的比例高，

但我们不能认为在恶劣的气候飞行中男人比女人更容易晕机。

【评注】在使用统计量作列联表的独立性检验时，要求表中的个数据大于等于，为此，在选取样本的容量时一定要注意这一点，本例中的个数据都大于，且满足这一要求的。