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2022-2023学年江西省南昌二中七年级（下）期中数学试卷(含解析)
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这是一份2022-2023学年江西省南昌二中七年级（下）期中数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省南昌二中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．下列实数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．
2．如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（﹣2，4） B．（1，2） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
3．若点P为直线外一点，点A、B、C、D为直线l上的不同的点，其中PA＝3，PB＝4，PC＝5，PD＝3．那么点P到直线l的距离是（ ）
A．小于3 B．3 C．不大于3 D．不小于3
4．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱：每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价y钱，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．有一个数值转换器，原理如图，当输入的x为81时，输出的y是（ ）
A．9 B．3 C．±3 D．
6．如图：在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…则点P2020的坐标是（ ）
A．（673，﹣1） B．（673，1） C．（336，﹣1） D．（336，1）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若点M（a+5，a﹣2）在y轴上，则a＝ ．
8．如图所示，若“兵”的位置是（1，2），“炮”的位置是（7，3），则“将”的位置可以表示为 ．
9．已知y＝﹣9+，当x＝ 时，y的最小值＝ ．
10．已知是二元一次方程2x﹣7y＝8的一个解，则代数式17﹣4a+14b的值是 ．
11．在平面直角坐标系中，P（1，1），点Q在第二象限，PQ∥x轴，若PQ＝5，则点Q的坐标为 ．
12．如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+∠4＝135°．其中，正确的结论有 ．（填序号）
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．计算：
（1）；
（2）．
14．（1）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
（2）若x、y都是实数，且y＝++8，求x+y的值．
15．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求（m+2）2+|m+1|的值．
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+3d+8的平方根．
16．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，判断∠AED与∠C的大小关系．阅读下面的解答过程，填空并填写理由．
解：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∠1+∠4＝180°（邻补角定义），
∴∠2＝∠4 （ ）．
∴AB∥EF（ ）．
∴∠3＝（ ）．
又∵∠3＝∠B（已知），
∴（ ）＝∠B（等量代换）．
∴DE∥BC（ ）．
∴∠AED＝∠C（ ）．
17．小李同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小于同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”
（1）长方形纸片的长和宽是分别多少cm？
（2）你是否同意小于同学的说法？说明理由．
三、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
（1）表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
（2）用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝ ；
（3）利用这一规律，解决下面的问题：
已知≈2.358，则①≈ ；②≈ ．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（5，3），B（2，1），C（6，﹣2），三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P'（x0﹣8，y0+2），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'．
（1）点A'的坐标为 ，点B'的坐标为 ；
（2）求出三角形A'B'C'的面积；
（3）点D是x轴上一动点，当S△B'C'D＝S△A'B'C'时，请直接写出点D的坐标 ．
20．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？
（2）如图所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是多少？点A表示的数的相反数是多少？
（3）你能把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并求它的边长是多少？
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在平面直角坐标系中，1cm对应坐标轴上的1个单位长度，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝4cm，OA＝5cm，DE＝2cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿ABC路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2cm的速度，沿OED路线向点D运动．若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动．
（1）直接写出B，C，D三个点的坐标；
（2）当P，Q两点出发3s时，求三角形PQC的面积；
（3）设两点运动的时间为ts，当三角形OPQ的面积为16cm2时，求t的值（直接写出答案）．
22．如图所示，A（1，0），点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，点C的坐标为（a，b），且．
（1）直接写出点C的坐标 ；
（2）直接写出点E的坐标 ；
（3）点P是直线CE上一动点，设∠CBP＝x°，∠PAD＝y°，∠BPA＝z°，确定x，y，z之间的数量关系，并证明你的结论．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．为了保障学生安全，学校在操场两侧各安装了一枚探照灯，便于夜间对整个校园进行巡视．如图1，操场两侧MN∥PQ，且测得∠BAQ＝45°．灯A射线自AP顺时针转至AQ便立即回转，灯B射线自BN顺时针转至BM便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，若灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足+|2b﹣4|＝0．
（1）求a，b的值．
（2）若灯B射线先转动5秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线与AB重合之前，灯A转动几秒，可以使两灯射线平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯B射线到达BM之前，若射出的光束交于点C，作∠NBC的角平分线交AC的延长线于点D．若t秒后，为定值，请你直接写出t的取值范围 ．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．下列实数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小比较．
解：∵正数和0都大于负数，
∴，
∴最小的数是﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了实数大小的比较，知道正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小是解题的关键．
2．如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（﹣2，4） B．（1，2） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
【分析】根据图形得出笑脸的位置在第二象限，进而得出答案．
解：由图形可得：笑脸盖住的点在第二象限，
A、（﹣2，4）在第二象限，故本选项符合题意；
B、（1，2）在第一象限，故本选项不符合题意；
C、（﹣2，﹣3）在第三象限，故本选项不符合题意；
D、（2，﹣3）在第四象限，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．若点P为直线外一点，点A、B、C、D为直线l上的不同的点，其中PA＝3，PB＝4，PC＝5，PD＝3．那么点P到直线l的距离是（ ）
A．小于3 B．3 C．不大于3 D．不小于3
【分析】利用垂线段最短的性质，得出点P到直线l的距离取值范围．
解：∵点P为直线外一点，点A、B、C、D为直线l上的不同的点，其中PA＝3，PB＝4，PC＝5，PD＝3，
∴点P到直线l的距离是小于3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了垂线段最短，利用PA＝PD＝3，得出点P到直线l的距离是解题关键．
4．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱：每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价y钱，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据羊的价格不变列出方程组．
解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，
根据题意，可列方程组为：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
5．有一个数值转换器，原理如图，当输入的x为81时，输出的y是（ ）
A．9 B．3 C．±3 D．
【分析】将81 代入得9，9是有理数，再将9代入得3，3是有理数，再将3代入得，是无理数，故y＝．
解：∵，9是有理数，
∴，3是有理数，
∴，，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根，关键是根据题意求出值，再判断其是否为无理数．
6．如图：在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…则点P2020的坐标是（ ）
A．（673，﹣1） B．（673，1） C．（336，﹣1） D．（336，1）
【分析】由P3、P6、P9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，据此可解．
解：由P3、P6、P9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，
∵2019÷3＝673，
∴P2019 （673，0）
则点P2019的坐标是 （673，0）．
∴点P2020的坐标是（673，﹣1），
故选：A．
【点评】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，找到某种循环规律之后，可以得解．本题难度中等偏上．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若点M（a+5，a﹣2）在y轴上，则a＝ ﹣5 ．
【分析】根据y轴上点的横坐标为0列出方程求解即可．
解：∵点M（a+5，a﹣2）在y轴上，
∴a+5＝0，
解得a＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
8．如图所示，若“兵”的位置是（1，2），“炮”的位置是（7，3），则“将”的位置可以表示为 （2，5） ．
【分析】直接利用已知点坐标得出原式位置，进而得出答案．
解：由题意可建立平面直角坐标系如下图：
“将”所在的位置为（2，5），
故答案为：（2，5）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，正确画出平面直角坐标系，得出原点位置是解题的关键．
9．已知y＝﹣9+，当x＝ 13 时，y的最小值＝ ﹣9 ．
【分析】由算术平方根的非负性求解即可．
解：∵，
∴当x＝13时，有最小值是0，
∴当x＝13时，y有最小值，最小值为﹣9+0＝﹣9，
故答案为：13；﹣9．
【点评】本题考查算术平方根的非负性，熟练掌握任何算术平方根是非负数是解题的关键．
10．已知是二元一次方程2x﹣7y＝8的一个解，则代数式17﹣4a+14b的值是 1 ．
【分析】将代入二元一次方程2x﹣7y＝8得到2a﹣7b＝8．再将代数式适当变形，利用整体代入可得代数式的值．
解：将代入二元一次方程2x﹣7y＝8得：
2a﹣7b＝8．
∴原式＝17﹣2（2a﹣7b）＝17﹣2×8＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，利用整体代入求代数式的值．将方程的解代入原方程是解题的关键，
11．在平面直角坐标系中，P（1，1），点Q在第二象限，PQ∥x轴，若PQ＝5，则点Q的坐标为 （﹣4，1） ．
【分析】先根据PQ∥x轴可知P、Q两点纵坐标相同，再由PQ＝5可得出Q点的横坐标．
解：∵P（1，1），PQ∥x轴，
∴Q两点纵坐标为1，
∵点Q在第二象限，PQ＝5，
∴点Q的坐标为（﹣4，1）．
故答案为：（﹣4，1）．
【点评】本题考查的是坐标与图形性质，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键．
12．如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+∠4＝135°．其中，正确的结论有 ①②③④ ．（填序号）
【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．
解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴AB∥EF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠2＝180°，
∴2∠1+∠2＝180°（1），
∵AC⊥CE，
∴∠2+∠4＝90°（2），
∴（1）﹣（2）得，2∠1﹣∠4＝90°，故②正确；
∵AB∥EF，
∴∠BAE+∠3＝180°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠BAE，
∴∠1+∠3＝180°，
∴2∠1+2∠3＝360°（3），
∵2∠1+∠2＝180°（1），
（3）﹣（1）得，2∠3﹣∠2＝180°，故③正确；
∵CD∥EF，
∴∠CEF+∠4＝180°，
∴∠3+∠AEC+∠4＝180°，
∵AC⊥CE，
∴∠1+∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝90°﹣∠1，
∴∠3+∠4﹣∠1＝90°，
∵2∠1﹣∠4＝90°，
∴∠1＝45°+∠4，
∴∠3+∠4＝135°，故④正确．
故正确的结论有：①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，再进行加减运算；
（2）先化简各式，再进行加减运算．
解：（1）原式＝
＝2﹣3+2
＝1；
（2）原式＝
＝．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
14．（1）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
（2）若x、y都是实数，且y＝++8，求x+y的值．
【分析】（1）根据平方根的定义列式求出b，再根据算术平方根的定义列式求出a，然后求出a+2b的值，再根据平方根的定义解答即可；
（2）由二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，解不等式组即可求出x 的值，进一步即可求得结果．
解：（1）∵2b+1的平方根为±3，
∴2b+1＝9，解得b＝4，
∵3a+2b﹣1的算术平方根为4，
∴3a+2b﹣1＝16，解得a＝3，
∴a+2b＝3+2×4＝11，
∴a+2b的平方根是±．
（2）由题意得：，解得，所以x＝3，
当x＝3时，y＝8，所以x+y＝3+8＝11．
【点评】本题考查了平方根和算术平方根的定义以及二次根式有意义的条件，属于基础题目，熟知概念是解题的关键．
15．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求（m+2）2+|m+1|的值．
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+3d+8的平方根．
【分析】（1）根据两点间的距离公式，直接右边的数减去距离即得左边的数；
（2）代入m求值即可；
（3）根据非负数的性质，求得c，d的值，代入即可求解．
解：（1）（1），
故答案为：；
（2）（m+2）2+|m+1|
＝
＝
＝，
故答案为：．
（3）∵|2c+4|与互为相反数，
∴|2c+4|+＝0，
∵|2c+4|≥0，≥0，
∴|2c+4|＝0，＝0，
∴c＝﹣2，d＝4，
∴2c+3d+8＝2×（﹣2）+3×4+8＝16，
∴．
【点评】本题考查的是两点间的距离公式、非负数的性质，关键是要会理解两点间的距离，最后求的平方根有两个．
16．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，判断∠AED与∠C的大小关系．阅读下面的解答过程，填空并填写理由．
解：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∠1+∠4＝180°（邻补角定义），
∴∠2＝∠4 （ 同角的补角相等 ）．
∴AB∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠3＝（ ∠ADE ）．
又∵∠3＝∠B（已知），
∴（ ∠ADE ）＝∠B（等量代换）．
∴DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠AED＝∠C（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【分析】根据平行线的判定与性质即可完成填空．
解：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∠1+∠4＝180°（邻补角定义），
∴∠2＝∠4 （同角的补角相等）．
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）．
∴∠3＝∠ADE．
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠ADE＝∠B（等量代换）．
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）
故答案为：同角的补角相等，内错角相等，两直线平行；∠ADE，∠ADE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
17．小李同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小于同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”
（1）长方形纸片的长和宽是分别多少cm？
（2）你是否同意小于同学的说法？说明理由．
【分析】（1）设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则3x•2x＝300，x2＝50，解得x＝5，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米，由于15＞20，所以用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向裁不出一块面积为300平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为2：3；
（2）根据（1）中的长方形纸片的长和宽即可得出结论．
解：（1）解：设长方形纸片的长为3x（x＞0）cm，则宽为2x cm，依题意得，
3x•2x＝300，
6x2＝300，x2＝50，
∵x＞0，
∴x＝＝5，
∴长方形纸片的长为15 cm，
答：长方形纸片的长是15cm，宽是10cm；
（2）不同意小于同学的说法．
理由：∵50＞49，
∴5 ＞7，
∴15＞21．
∴长方形纸片的长大于20cm，由正方形纸片的面积为400cm2，可知其边长为20cm，
∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，
∴不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
【点评】本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根；0的算术平方根为0．也考查了估算无理数的大小．
三、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
（1）表格中的三个值分别为：x＝ 0.2 ；y＝ 20 ；z＝ 200 ；
（2）用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝ 2×10n ；
（3）利用这一规律，解决下面的问题：
已知≈2.358，则①≈ 0.2358 ；②≈ 235.8 ．
【分析】（1）利用算术平方根定义计算，填表即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，求出的值即可；
（3）利用得出的规律计算即可得到结果．
解：（1）根据题意得：x＝0.2；y＝20；z＝200；
（2）当a＝4×100n（n为整数）时，＝2×10n；
（3）若≈2.358，则①≈0.2358；②≈235.8．
故答案为：（1）0.2；20；200；（2）2×10n；（3）0.2358；235.8．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（5，3），B（2，1），C（6，﹣2），三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P'（x0﹣8，y0+2），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'．
（1）点A'的坐标为 （﹣3，5） ，点B'的坐标为 （﹣6，3） ；
（2）求出三角形A'B'C'的面积；
（3）点D是x轴上一动点，当S△B'C'D＝S△A'B'C'时，请直接写出点D的坐标 或 ．
【分析】（1）先确定平移规则，再写根据平移规则求出对应坐标即可；
（2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）设D（m，0），根据面积关系构建方程求解即可．
解：（1）由P（x0，y0）到P'（x0﹣8，y0+2）可知向左平移了8个单位，向上平移了2个单位，
∴A'（5﹣8，3+2），B'（2﹣8，1+2），
即A'（﹣3，5），B'（﹣6，3），
故答案为：（﹣3，5），（﹣6，3）；
（2）S△A'B'C′＝；
（3）设D（m，0），
由题意，，
∴或，
∴D（，0）或（﹣，0），
故答案为：或．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程是解决问题的关键．
20．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？
（2）如图所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是多少？点A表示的数的相反数是多少？
（3）你能把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并求它的边长是多少？
【分析】（1）易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长；
（2）利用勾股定理得出直角三角形的斜边长，进而得出答案．
（3）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，进而求出即可．
解：（1）5个小正方形拼成一个大正方形后，面积不变，
所以拼成的正方形的面积是：5×1×1＝5，
边长＝；
（2）如图所示：
点A表示的数是：；
点A表示的数的相反数是：；
（3）如图所示：
拼成的正方形的面积与原面积相等1×1×10＝10，边长为．
【点评】本题考查了正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．正方形的面积是由组成正方形的面积的小正方形的个数决定的；边长为面积的算术平方根．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在平面直角坐标系中，1cm对应坐标轴上的1个单位长度，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝4cm，OA＝5cm，DE＝2cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿ABC路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2cm的速度，沿OED路线向点D运动．若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动．
（1）直接写出B，C，D三个点的坐标；
（2）当P，Q两点出发3s时，求三角形PQC的面积；
（3）设两点运动的时间为ts，当三角形OPQ的面积为16cm2时，求t的值（直接写出答案）．
【分析】（1）根据坐标与图形性质求出B，C，D三个点的坐标；
（2）过点P作PM⊥x轴于M，延长BC交x轴于点N，延长DC交PM于点K，根据三角形的面积公式求出三角形PQC的面积；
（3）分0≤t＜4、4≤t≤5两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
解：（1）∵AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，AB＝CD＝4，OA＝5，DE＝2，
∴B（4，5），C（4，2），D（8，2）；
（2）如图1，当P，Q两点运动3s时，点P（3，5），Q（6，0），
过点P作PM⊥x轴于M，延长BC交x轴于点N，延长DC交PM于点K，
则M（3，0），N（4，0），K（3，2），
∴QM＝3，CK＝MN＝1，PK＝BC＝3，CN＝NQ＝2，
∴S△PQC＝×3×5﹣×1×3﹣×2×2﹣2×1＝2；
（3）由题意得，点P运动的路径长为AB+BC＝4+3＝7，用时需要7秒，
点Q运动的路径长为OE+DE＝8+2＝10，用时需要5秒，
∵其中一点到达终点时，运动停止，
∴时间t的取值范围为0≤t≤5，
①当0≤t＜4时，如图2，OA＝5，OQ＝2t，
则×2t×5＝16，
解得：t＝3.2；
②当4≤t≤5时，如图3，过点P作PM⊥ED，交ED的延长线于M，
则OE＝8，EM＝9﹣t，PM＝4，EQ＝2t﹣8，MQ＝17﹣3t，
则×（4+8）×（9﹣t）﹣×4×（17﹣3t）﹣×8×（2t﹣8）＝16，
解得：t＝4.5
综上所述，三角形OPQ的面积为16cm2时，t＝3.2或t＝4.5．
【点评】本题考查的是三角形的面积计算，灵活运用分情况讨论思想、熟记三角形的面积公式是解题的关键．
22．如图所示，A（1，0），点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，点C的坐标为（a，b），且．
（1）直接写出点C的坐标 （﹣3，2） ；
（2）直接写出点E的坐标 （﹣2，0） ；
（3）点P是直线CE上一动点，设∠CBP＝x°，∠PAD＝y°，∠BPA＝z°，确定x，y，z之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）直接利用算术平方根的性质得出a，b的值，即可得出答案；
（2）利用平移的性质得出点E的坐标；
（3）分三种情况讨论：①当点P在线段EC上时：如图，过点P作PN∥CB，②当点P在线段EC的延长线上时，如图，过点P作PN∥CB，③当点P在线段CE的延长线上时，再利用平行线的性质分析得出答案．
解：（1）∵
∴a+3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣3，b＝2，
∵点C的坐标为（a，b），
∴点C的坐标为：（﹣3，2）；
（2）∵点B在y轴上，点C的坐标为：（﹣3，2），
∴B点向左平移了3个单位长度，
∴A（1，0），向左平移3个单位得到：（﹣2，0），
∴点E的坐标为：（﹣2，0）；
（3）①当点P在线段EC上时：
如图，过点P作PN∥CB，
∴∠CBP＝∠BPN，
又∵BC∥AE，
∴PN∥AE，
∴∠EAP＝∠APN，
∴∠CBP+∠EAP＝∠BPN+∠APN＝∠APB，即z＝x+y．
②当点P在线段EC的延长线上时，
如图，过点P作PN∥CB，
∴∠CBP＝∠BPN，
又∵BC∥AE，
∴PN∥AE，
∴∠EAP＝∠APN，
∴∠EAP﹣∠CBP＝∠APN﹣∠BPN＝∠APB，即z＝y﹣x．
③当点P在线段CE的延长线上时，
如图，过点P作PN∥CB，
∴∠CBP＝∠BPN，
又∵BC∥AE，
∴PN∥AE，
∴∠EAP＝∠APN，
∴∠CBP﹣∠DAP＝∠BPN﹣∠APN＝∠APB，即z＝x﹣y．
【点评】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，算术平方根的非负性的应用，坐标与图形，清晰的分类讨论是解题关键．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．为了保障学生安全，学校在操场两侧各安装了一枚探照灯，便于夜间对整个校园进行巡视．如图1，操场两侧MN∥PQ，且测得∠BAQ＝45°．灯A射线自AP顺时针转至AQ便立即回转，灯B射线自BN顺时针转至BM便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，若灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足+|2b﹣4|＝0．
（1）求a，b的值．
（2）若灯B射线先转动5秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线与AB重合之前，灯A转动几秒，可以使两灯射线平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯B射线到达BM之前，若射出的光束交于点C，作∠NBC的角平分线交AC的延长线于点D．若t秒后，为定值，请你直接写出t的取值范围 45＜t＜60 ．
【分析】（1）根据≥0，|a|≥0即可；
（2）根据已知条件表示出角度，再根据两直线平行的性质，列方程即可求解；
（3）通过计算，灯A射线与AB重合，灯A射线与AQ重合分别求出t的值，即可确定满足条件的t取值范围．
解：
（1）∵+|2b﹣4|＝0，
∴，|2b﹣4|＝0，
∴a＝3，b＝2．
（2）如图1所示：
∵灯B转动的速度是2°/秒，
∴先转动5秒也即先转动10°，
∵∠BAQ＝45°，
∴灯A转动x秒后，∠MAB＝180°﹣45°﹣3x，
∠ABQ＝180°﹣45°﹣2x﹣10°，
当两灯射线平行时，则MA∥BQ，
∴∠MAB＝∠ABQ，
即180°﹣45°﹣3x＝180°﹣45°﹣2x﹣10°，
解得x＝10（秒），
∴灯A转动10秒，可以使两灯射线平行．
（3）如图2所示：
经过t秒，
当灯A射线与AB重合时，3t＝135°，
∴t＝45，
当灯A射线到达AQ时，3t＝180°，
∴t＝60，
当45＜t＜60时，
根据题意得：∠NBC＝2t，∠PAC＝3t，
∵BD平分∠NBC，
∴∠NBD＝t，
∵∠BAC＝∠PAC﹣∠PAB＝3t﹣135°，
∴∠D＝180°﹣∠DBA﹣∠BAC＝180°﹣（135°﹣t）﹣（3t﹣135°）＝180°﹣2t，
∵∠BAC＝3t﹣135°，
∴＝90°﹣t+t﹣45°＝45°．
∴当灯A射线返回AP时，灯B射线与AB重合前，
∠BAC＝45°﹣（3t﹣180°）＝225°﹣3t，
∠DBA＝135°﹣t，
∠D＝180°﹣∠BAC﹣∠DBA＝4t﹣180°，
＝2t﹣90°+75°﹣t＝t﹣15°，不是定值，
∴为定值，t的取值范围是45＜t＜60，
故答案为：45＜t＜60．
【点评】本题考查了平行线的性质，理解两灯的旋转过程以及表示出相应角度是解决本题的关键．
2022-2023学年江西省南昌二中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．下列实数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．
2．如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（﹣2，4） B．（1，2） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
3．若点P为直线外一点，点A、B、C、D为直线l上的不同的点，其中PA＝3，PB＝4，PC＝5，PD＝3．那么点P到直线l的距离是（ ）
A．小于3 B．3 C．不大于3 D．不小于3
4．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱：每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价y钱，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．有一个数值转换器，原理如图，当输入的x为81时，输出的y是（ ）
A．9 B．3 C．±3 D．
6．如图：在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…则点P2020的坐标是（ ）
A．（673，﹣1） B．（673，1） C．（336，﹣1） D．（336，1）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若点M（a+5，a﹣2）在y轴上，则a＝ ．
8．如图所示，若“兵”的位置是（1，2），“炮”的位置是（7，3），则“将”的位置可以表示为 ．
9．已知y＝﹣9+，当x＝ 时，y的最小值＝ ．
10．已知是二元一次方程2x﹣7y＝8的一个解，则代数式17﹣4a+14b的值是 ．
11．在平面直角坐标系中，P（1，1），点Q在第二象限，PQ∥x轴，若PQ＝5，则点Q的坐标为 ．
12．如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+∠4＝135°．其中，正确的结论有 ．（填序号）
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．计算：
（1）；
（2）．
14．（1）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
（2）若x、y都是实数，且y＝++8，求x+y的值．
15．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求（m+2）2+|m+1|的值．
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+3d+8的平方根．
16．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，判断∠AED与∠C的大小关系．阅读下面的解答过程，填空并填写理由．
解：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∠1+∠4＝180°（邻补角定义），
∴∠2＝∠4 （ ）．
∴AB∥EF（ ）．
∴∠3＝（ ）．
又∵∠3＝∠B（已知），
∴（ ）＝∠B（等量代换）．
∴DE∥BC（ ）．
∴∠AED＝∠C（ ）．
17．小李同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小于同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”
（1）长方形纸片的长和宽是分别多少cm？
（2）你是否同意小于同学的说法？说明理由．
三、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
（1）表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
（2）用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝ ；
（3）利用这一规律，解决下面的问题：
已知≈2.358，则①≈ ；②≈ ．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（5，3），B（2，1），C（6，﹣2），三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P'（x0﹣8，y0+2），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'．
（1）点A'的坐标为 ，点B'的坐标为 ；
（2）求出三角形A'B'C'的面积；
（3）点D是x轴上一动点，当S△B'C'D＝S△A'B'C'时，请直接写出点D的坐标 ．
20．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？
（2）如图所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是多少？点A表示的数的相反数是多少？
（3）你能把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并求它的边长是多少？
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在平面直角坐标系中，1cm对应坐标轴上的1个单位长度，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝4cm，OA＝5cm，DE＝2cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿ABC路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2cm的速度，沿OED路线向点D运动．若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动．
（1）直接写出B，C，D三个点的坐标；
（2）当P，Q两点出发3s时，求三角形PQC的面积；
（3）设两点运动的时间为ts，当三角形OPQ的面积为16cm2时，求t的值（直接写出答案）．
22．如图所示，A（1，0），点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，点C的坐标为（a，b），且．
（1）直接写出点C的坐标 ；
（2）直接写出点E的坐标 ；
（3）点P是直线CE上一动点，设∠CBP＝x°，∠PAD＝y°，∠BPA＝z°，确定x，y，z之间的数量关系，并证明你的结论．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．为了保障学生安全，学校在操场两侧各安装了一枚探照灯，便于夜间对整个校园进行巡视．如图1，操场两侧MN∥PQ，且测得∠BAQ＝45°．灯A射线自AP顺时针转至AQ便立即回转，灯B射线自BN顺时针转至BM便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，若灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足+|2b﹣4|＝0．
（1）求a，b的值．
（2）若灯B射线先转动5秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线与AB重合之前，灯A转动几秒，可以使两灯射线平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯B射线到达BM之前，若射出的光束交于点C，作∠NBC的角平分线交AC的延长线于点D．若t秒后，为定值，请你直接写出t的取值范围 ．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．下列实数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小比较．
解：∵正数和0都大于负数，
∴，
∴最小的数是﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了实数大小的比较，知道正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小是解题的关键．
2．如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（﹣2，4） B．（1，2） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
【分析】根据图形得出笑脸的位置在第二象限，进而得出答案．
解：由图形可得：笑脸盖住的点在第二象限，
A、（﹣2，4）在第二象限，故本选项符合题意；
B、（1，2）在第一象限，故本选项不符合题意；
C、（﹣2，﹣3）在第三象限，故本选项不符合题意；
D、（2，﹣3）在第四象限，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．若点P为直线外一点，点A、B、C、D为直线l上的不同的点，其中PA＝3，PB＝4，PC＝5，PD＝3．那么点P到直线l的距离是（ ）
A．小于3 B．3 C．不大于3 D．不小于3
【分析】利用垂线段最短的性质，得出点P到直线l的距离取值范围．
解：∵点P为直线外一点，点A、B、C、D为直线l上的不同的点，其中PA＝3，PB＝4，PC＝5，PD＝3，
∴点P到直线l的距离是小于3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了垂线段最短，利用PA＝PD＝3，得出点P到直线l的距离是解题关键．
4．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱：每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价y钱，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据羊的价格不变列出方程组．
解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，
根据题意，可列方程组为：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
5．有一个数值转换器，原理如图，当输入的x为81时，输出的y是（ ）
A．9 B．3 C．±3 D．
【分析】将81 代入得9，9是有理数，再将9代入得3，3是有理数，再将3代入得，是无理数，故y＝．
解：∵，9是有理数，
∴，3是有理数，
∴，，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根，关键是根据题意求出值，再判断其是否为无理数．
6．如图：在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…则点P2020的坐标是（ ）
A．（673，﹣1） B．（673，1） C．（336，﹣1） D．（336，1）
【分析】由P3、P6、P9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，据此可解．
解：由P3、P6、P9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，
∵2019÷3＝673，
∴P2019 （673，0）
则点P2019的坐标是 （673，0）．
∴点P2020的坐标是（673，﹣1），
故选：A．
【点评】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，找到某种循环规律之后，可以得解．本题难度中等偏上．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若点M（a+5，a﹣2）在y轴上，则a＝ ﹣5 ．
【分析】根据y轴上点的横坐标为0列出方程求解即可．
解：∵点M（a+5，a﹣2）在y轴上，
∴a+5＝0，
解得a＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
8．如图所示，若“兵”的位置是（1，2），“炮”的位置是（7，3），则“将”的位置可以表示为 （2，5） ．
【分析】直接利用已知点坐标得出原式位置，进而得出答案．
解：由题意可建立平面直角坐标系如下图：
“将”所在的位置为（2，5），
故答案为：（2，5）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，正确画出平面直角坐标系，得出原点位置是解题的关键．
9．已知y＝﹣9+，当x＝ 13 时，y的最小值＝ ﹣9 ．
【分析】由算术平方根的非负性求解即可．
解：∵，
∴当x＝13时，有最小值是0，
∴当x＝13时，y有最小值，最小值为﹣9+0＝﹣9，
故答案为：13；﹣9．
【点评】本题考查算术平方根的非负性，熟练掌握任何算术平方根是非负数是解题的关键．
10．已知是二元一次方程2x﹣7y＝8的一个解，则代数式17﹣4a+14b的值是 1 ．
【分析】将代入二元一次方程2x﹣7y＝8得到2a﹣7b＝8．再将代数式适当变形，利用整体代入可得代数式的值．
解：将代入二元一次方程2x﹣7y＝8得：
2a﹣7b＝8．
∴原式＝17﹣2（2a﹣7b）＝17﹣2×8＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，利用整体代入求代数式的值．将方程的解代入原方程是解题的关键，
11．在平面直角坐标系中，P（1，1），点Q在第二象限，PQ∥x轴，若PQ＝5，则点Q的坐标为 （﹣4，1） ．
【分析】先根据PQ∥x轴可知P、Q两点纵坐标相同，再由PQ＝5可得出Q点的横坐标．
解：∵P（1，1），PQ∥x轴，
∴Q两点纵坐标为1，
∵点Q在第二象限，PQ＝5，
∴点Q的坐标为（﹣4，1）．
故答案为：（﹣4，1）．
【点评】本题考查的是坐标与图形性质，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键．
12．如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+∠4＝135°．其中，正确的结论有 ①②③④ ．（填序号）
【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．
解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴AB∥EF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠2＝180°，
∴2∠1+∠2＝180°（1），
∵AC⊥CE，
∴∠2+∠4＝90°（2），
∴（1）﹣（2）得，2∠1﹣∠4＝90°，故②正确；
∵AB∥EF，
∴∠BAE+∠3＝180°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠BAE，
∴∠1+∠3＝180°，
∴2∠1+2∠3＝360°（3），
∵2∠1+∠2＝180°（1），
（3）﹣（1）得，2∠3﹣∠2＝180°，故③正确；
∵CD∥EF，
∴∠CEF+∠4＝180°，
∴∠3+∠AEC+∠4＝180°，
∵AC⊥CE，
∴∠1+∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝90°﹣∠1，
∴∠3+∠4﹣∠1＝90°，
∵2∠1﹣∠4＝90°，
∴∠1＝45°+∠4，
∴∠3+∠4＝135°，故④正确．
故正确的结论有：①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，再进行加减运算；
（2）先化简各式，再进行加减运算．
解：（1）原式＝
＝2﹣3+2
＝1；
（2）原式＝
＝．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
14．（1）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
（2）若x、y都是实数，且y＝++8，求x+y的值．
【分析】（1）根据平方根的定义列式求出b，再根据算术平方根的定义列式求出a，然后求出a+2b的值，再根据平方根的定义解答即可；
（2）由二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，解不等式组即可求出x 的值，进一步即可求得结果．
解：（1）∵2b+1的平方根为±3，
∴2b+1＝9，解得b＝4，
∵3a+2b﹣1的算术平方根为4，
∴3a+2b﹣1＝16，解得a＝3，
∴a+2b＝3+2×4＝11，
∴a+2b的平方根是±．
（2）由题意得：，解得，所以x＝3，
当x＝3时，y＝8，所以x+y＝3+8＝11．
【点评】本题考查了平方根和算术平方根的定义以及二次根式有意义的条件，属于基础题目，熟知概念是解题的关键．
15．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求（m+2）2+|m+1|的值．
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+3d+8的平方根．
【分析】（1）根据两点间的距离公式，直接右边的数减去距离即得左边的数；
（2）代入m求值即可；
（3）根据非负数的性质，求得c，d的值，代入即可求解．
解：（1）（1），
故答案为：；
（2）（m+2）2+|m+1|
＝
＝
＝，
故答案为：．
（3）∵|2c+4|与互为相反数，
∴|2c+4|+＝0，
∵|2c+4|≥0，≥0，
∴|2c+4|＝0，＝0，
∴c＝﹣2，d＝4，
∴2c+3d+8＝2×（﹣2）+3×4+8＝16，
∴．
【点评】本题考查的是两点间的距离公式、非负数的性质，关键是要会理解两点间的距离，最后求的平方根有两个．
16．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，判断∠AED与∠C的大小关系．阅读下面的解答过程，填空并填写理由．
解：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∠1+∠4＝180°（邻补角定义），
∴∠2＝∠4 （ 同角的补角相等 ）．
∴AB∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠3＝（ ∠ADE ）．
又∵∠3＝∠B（已知），
∴（ ∠ADE ）＝∠B（等量代换）．
∴DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠AED＝∠C（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【分析】根据平行线的判定与性质即可完成填空．
解：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∠1+∠4＝180°（邻补角定义），
∴∠2＝∠4 （同角的补角相等）．
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）．
∴∠3＝∠ADE．
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠ADE＝∠B（等量代换）．
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）
故答案为：同角的补角相等，内错角相等，两直线平行；∠ADE，∠ADE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
17．小李同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小于同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”
（1）长方形纸片的长和宽是分别多少cm？
（2）你是否同意小于同学的说法？说明理由．
【分析】（1）设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则3x•2x＝300，x2＝50，解得x＝5，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米，由于15＞20，所以用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向裁不出一块面积为300平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为2：3；
（2）根据（1）中的长方形纸片的长和宽即可得出结论．
解：（1）解：设长方形纸片的长为3x（x＞0）cm，则宽为2x cm，依题意得，
3x•2x＝300，
6x2＝300，x2＝50，
∵x＞0，
∴x＝＝5，
∴长方形纸片的长为15 cm，
答：长方形纸片的长是15cm，宽是10cm；
（2）不同意小于同学的说法．
理由：∵50＞49，
∴5 ＞7，
∴15＞21．
∴长方形纸片的长大于20cm，由正方形纸片的面积为400cm2，可知其边长为20cm，
∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，
∴不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
【点评】本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根；0的算术平方根为0．也考查了估算无理数的大小．
三、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
（1）表格中的三个值分别为：x＝ 0.2 ；y＝ 20 ；z＝ 200 ；
（2）用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝ 2×10n ；
（3）利用这一规律，解决下面的问题：
已知≈2.358，则①≈ 0.2358 ；②≈ 235.8 ．
【分析】（1）利用算术平方根定义计算，填表即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，求出的值即可；
（3）利用得出的规律计算即可得到结果．
解：（1）根据题意得：x＝0.2；y＝20；z＝200；
（2）当a＝4×100n（n为整数）时，＝2×10n；
（3）若≈2.358，则①≈0.2358；②≈235.8．
故答案为：（1）0.2；20；200；（2）2×10n；（3）0.2358；235.8．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（5，3），B（2，1），C（6，﹣2），三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P'（x0﹣8，y0+2），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'．
（1）点A'的坐标为 （﹣3，5） ，点B'的坐标为 （﹣6，3） ；
（2）求出三角形A'B'C'的面积；
（3）点D是x轴上一动点，当S△B'C'D＝S△A'B'C'时，请直接写出点D的坐标 或 ．
【分析】（1）先确定平移规则，再写根据平移规则求出对应坐标即可；
（2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）设D（m，0），根据面积关系构建方程求解即可．
解：（1）由P（x0，y0）到P'（x0﹣8，y0+2）可知向左平移了8个单位，向上平移了2个单位，
∴A'（5﹣8，3+2），B'（2﹣8，1+2），
即A'（﹣3，5），B'（﹣6，3），
故答案为：（﹣3，5），（﹣6，3）；
（2）S△A'B'C′＝；
（3）设D（m，0），
由题意，，
∴或，
∴D（，0）或（﹣，0），
故答案为：或．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程是解决问题的关键．
20．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？
（2）如图所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是多少？点A表示的数的相反数是多少？
（3）你能把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并求它的边长是多少？
【分析】（1）易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长；
（2）利用勾股定理得出直角三角形的斜边长，进而得出答案．
（3）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，进而求出即可．
解：（1）5个小正方形拼成一个大正方形后，面积不变，
所以拼成的正方形的面积是：5×1×1＝5，
边长＝；
（2）如图所示：
点A表示的数是：；
点A表示的数的相反数是：；
（3）如图所示：
拼成的正方形的面积与原面积相等1×1×10＝10，边长为．
【点评】本题考查了正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．正方形的面积是由组成正方形的面积的小正方形的个数决定的；边长为面积的算术平方根．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在平面直角坐标系中，1cm对应坐标轴上的1个单位长度，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝4cm，OA＝5cm，DE＝2cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿ABC路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2cm的速度，沿OED路线向点D运动．若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动．
（1）直接写出B，C，D三个点的坐标；
（2）当P，Q两点出发3s时，求三角形PQC的面积；
（3）设两点运动的时间为ts，当三角形OPQ的面积为16cm2时，求t的值（直接写出答案）．
【分析】（1）根据坐标与图形性质求出B，C，D三个点的坐标；
（2）过点P作PM⊥x轴于M，延长BC交x轴于点N，延长DC交PM于点K，根据三角形的面积公式求出三角形PQC的面积；
（3）分0≤t＜4、4≤t≤5两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
解：（1）∵AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，AB＝CD＝4，OA＝5，DE＝2，
∴B（4，5），C（4，2），D（8，2）；
（2）如图1，当P，Q两点运动3s时，点P（3，5），Q（6，0），
过点P作PM⊥x轴于M，延长BC交x轴于点N，延长DC交PM于点K，
则M（3，0），N（4，0），K（3，2），
∴QM＝3，CK＝MN＝1，PK＝BC＝3，CN＝NQ＝2，
∴S△PQC＝×3×5﹣×1×3﹣×2×2﹣2×1＝2；
（3）由题意得，点P运动的路径长为AB+BC＝4+3＝7，用时需要7秒，
点Q运动的路径长为OE+DE＝8+2＝10，用时需要5秒，
∵其中一点到达终点时，运动停止，
∴时间t的取值范围为0≤t≤5，
①当0≤t＜4时，如图2，OA＝5，OQ＝2t，
则×2t×5＝16，
解得：t＝3.2；
②当4≤t≤5时，如图3，过点P作PM⊥ED，交ED的延长线于M，
则OE＝8，EM＝9﹣t，PM＝4，EQ＝2t﹣8，MQ＝17﹣3t，
则×（4+8）×（9﹣t）﹣×4×（17﹣3t）﹣×8×（2t﹣8）＝16，
解得：t＝4.5
综上所述，三角形OPQ的面积为16cm2时，t＝3.2或t＝4.5．
【点评】本题考查的是三角形的面积计算，灵活运用分情况讨论思想、熟记三角形的面积公式是解题的关键．
22．如图所示，A（1，0），点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，点C的坐标为（a，b），且．
（1）直接写出点C的坐标 （﹣3，2） ；
（2）直接写出点E的坐标 （﹣2，0） ；
（3）点P是直线CE上一动点，设∠CBP＝x°，∠PAD＝y°，∠BPA＝z°，确定x，y，z之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）直接利用算术平方根的性质得出a，b的值，即可得出答案；
（2）利用平移的性质得出点E的坐标；
（3）分三种情况讨论：①当点P在线段EC上时：如图，过点P作PN∥CB，②当点P在线段EC的延长线上时，如图，过点P作PN∥CB，③当点P在线段CE的延长线上时，再利用平行线的性质分析得出答案．
解：（1）∵
∴a+3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣3，b＝2，
∵点C的坐标为（a，b），
∴点C的坐标为：（﹣3，2）；
（2）∵点B在y轴上，点C的坐标为：（﹣3，2），
∴B点向左平移了3个单位长度，
∴A（1，0），向左平移3个单位得到：（﹣2，0），
∴点E的坐标为：（﹣2，0）；
（3）①当点P在线段EC上时：
如图，过点P作PN∥CB，
∴∠CBP＝∠BPN，
又∵BC∥AE，
∴PN∥AE，
∴∠EAP＝∠APN，
∴∠CBP+∠EAP＝∠BPN+∠APN＝∠APB，即z＝x+y．
②当点P在线段EC的延长线上时，
如图，过点P作PN∥CB，
∴∠CBP＝∠BPN，
又∵BC∥AE，
∴PN∥AE，
∴∠EAP＝∠APN，
∴∠EAP﹣∠CBP＝∠APN﹣∠BPN＝∠APB，即z＝y﹣x．
③当点P在线段CE的延长线上时，
如图，过点P作PN∥CB，
∴∠CBP＝∠BPN，
又∵BC∥AE，
∴PN∥AE，
∴∠EAP＝∠APN，
∴∠CBP﹣∠DAP＝∠BPN﹣∠APN＝∠APB，即z＝x﹣y．
【点评】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，算术平方根的非负性的应用，坐标与图形，清晰的分类讨论是解题关键．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．为了保障学生安全，学校在操场两侧各安装了一枚探照灯，便于夜间对整个校园进行巡视．如图1，操场两侧MN∥PQ，且测得∠BAQ＝45°．灯A射线自AP顺时针转至AQ便立即回转，灯B射线自BN顺时针转至BM便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，若灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足+|2b﹣4|＝0．
（1）求a，b的值．
（2）若灯B射线先转动5秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线与AB重合之前，灯A转动几秒，可以使两灯射线平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯B射线到达BM之前，若射出的光束交于点C，作∠NBC的角平分线交AC的延长线于点D．若t秒后，为定值，请你直接写出t的取值范围 45＜t＜60 ．
【分析】（1）根据≥0，|a|≥0即可；
（2）根据已知条件表示出角度，再根据两直线平行的性质，列方程即可求解；
（3）通过计算，灯A射线与AB重合，灯A射线与AQ重合分别求出t的值，即可确定满足条件的t取值范围．
解：
（1）∵+|2b﹣4|＝0，
∴，|2b﹣4|＝0，
∴a＝3，b＝2．
（2）如图1所示：
∵灯B转动的速度是2°/秒，
∴先转动5秒也即先转动10°，
∵∠BAQ＝45°，
∴灯A转动x秒后，∠MAB＝180°﹣45°﹣3x，
∠ABQ＝180°﹣45°﹣2x﹣10°，
当两灯射线平行时，则MA∥BQ，
∴∠MAB＝∠ABQ，
即180°﹣45°﹣3x＝180°﹣45°﹣2x﹣10°，
解得x＝10（秒），
∴灯A转动10秒，可以使两灯射线平行．
（3）如图2所示：
经过t秒，
当灯A射线与AB重合时，3t＝135°，
∴t＝45，
当灯A射线到达AQ时，3t＝180°，
∴t＝60，
当45＜t＜60时，
根据题意得：∠NBC＝2t，∠PAC＝3t，
∵BD平分∠NBC，
∴∠NBD＝t，
∵∠BAC＝∠PAC﹣∠PAB＝3t﹣135°，
∴∠D＝180°﹣∠DBA﹣∠BAC＝180°﹣（135°﹣t）﹣（3t﹣135°）＝180°﹣2t，
∵∠BAC＝3t﹣135°，
∴＝90°﹣t+t﹣45°＝45°．
∴当灯A射线返回AP时，灯B射线与AB重合前，
∠BAC＝45°﹣（3t﹣180°）＝225°﹣3t，
∠DBA＝135°﹣t，
∠D＝180°﹣∠BAC﹣∠DBA＝4t﹣180°，
＝2t﹣90°+75°﹣t＝t﹣15°，不是定值，
∴为定值，t的取值范围是45＜t＜60，
故答案为：45＜t＜60．
【点评】本题考查了平行线的性质，理解两灯的旋转过程以及表示出相应角度是解决本题的关键．
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