全国卷（理）01（高考仿真模拟）-【金榜题名】决战2023年高考数学黑马逆袭卷（含考试版、全解全析、参考答案、答题卡）

2023年高考数学黑马逆袭卷【全国卷（理）01】

数学·参考答案

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．          1                                14．                        

15．                                    16．                       

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．其中第17—21题为必做题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答．）

（一）必做题（共60分，每题12分．）

17. （12分）

(1)

(2)

【详解】（1）∵，，

∴，

∴，

∴，

因为，∴.

（2）由（1）得，，则，

,

∴，又∵成等比数列，∴，

由余弦定理，得，

，∴，

所求周长为.

18. （12分）

(1)乙；

(2)；

(3)分布列见解析.

【详解】（1）甲队进入决赛的概率为，

乙队进入决赛的概率为，

丙队进入决赛的概率为，因为，

所以，显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大；

（2）因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，所以有，

解得，或，因为，所以；

（3）由题意可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为、、，

的可能取值为、、、，

，

，，

，

所以的分布列为：

19. （12分）

(1)

(2)存在，定点

【详解】（1）由题意可得动点到定点的距离与到直线的距离相等．

动点的轨迹是抛物线：

点为焦点，直线为准线，

可得方程为：．

（2）由题意可设，直线方程为，，

则，消去得，恒成立，所以，

假设存在点，则设，所以，

于是可得，

故存在定点.

20. （12分）

(1)证明见解析

(2)存在，

【详解】（1）证明：翻折前，在中，，翻折后，有，，

又，、平面，所以平面，

因为平面，所以.

（2）解：因为二面角为，，，

所以，二面角的平面角为，

以点为坐标原点，、所在直线为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则、、、、.

，，，.

设，，其中，

设平面的法向量为，

由得，

取，可得，

，解得，合乎题意，

故当时，直线与平面所成角的正弦值为.

21. （12分）

(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为

(2)证明见解析

【详解】（1）当时，.

则.

当时，解得，又，所以；

当时，解得，或，又，所以.

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）函数，

令，得.

令，则直线与函数的图像在上有两个不同的交点.

因为，由，得；由，得.

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

所以.

又，且当时，且，

由于是方程的两实根，所以.

方法一：不妨设，由，

得，

两式相减得：，

两式相加得：.

欲证：，只需证：，

即证：，即证.

设，则，代入上式得：.

故只需证：.

设，则，

所以在上单调递增，

所以，所以.

故，得证.

方法二（换元法十构造差函数）：不妨设，令，

则，即证.

设，则.

因为，所以在上单调递增，在上单调递减.

当时，易得；

当时，要证，即证，即证.

因为，所以.

构造函数，易得.

则，所以.

又，所以，即.

所以在上单调递增，.

所以，即.

故，得证.

（二）选考题（共10分，请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．）

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]

(1)（为参数）；

(2)

【详解】（1）因为圆C的圆心坐标为，且过原点O，所以圆C的半径，

所以圆C的直角坐标方程为，

由此可以得到圆C的参数方程为，（为参数）．

因为，将其代入直线l的极坐标方程中，

可得，即直线l的直角坐标方程为．

（2）由（1）知直线，

圆C的圆心坐标为，半径为．

因为圆心到直线l的距离，

所以．

又点P在圆C上运动，所以点P到直线的最大距离为，

所以面积的最大值为．

23．[选修4-5：不等式选讲]

(1)

(2)

【详解】（1），不等式等价于：

 或或 ，

解得或.

所以不等式解集为：.

（2）

恒成立，即，

由，

则，即，当且仅当时等号成立.

所以的最大值为.