甘肃省武威市第九中学2023年中考第四次诊断考试数学试卷（含答案）

武威九中2023届九年级第四次诊断考试试卷

数学

总分：120分；考试时间：120分钟

一、单选题(共30分)

1．(本题3分)2023的绝对值为（   ）

A．2023 B． C． D．

2．(本题3分)华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为(    )．

A． B． C． D．

3．(本题3分)实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（　　）

A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0

4．(本题3分)如图，直线，平分，，则的度数是（    ）

A． B．

C． D．

5．对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（　　）

A． B． C． D．

6．(本题3分)如图，在中，、分别是和上的点，，若，那么（    ）

A． B． C． D．

7．(本题3分)九章算术中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出钱，还盈余钱；每人出钱，还差钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为人，物品的价格为钱，根据题意，可列方程组为(    )

A． B． C． D．

8．(本题3分)如图，是的直径，，，则（    ）

A． B． C． D．

9．(本题3分)生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是，则这个正六边形的半径和扳手的开口的值分别是（    ）

A．， B．， C．， D．，

10．(本题3分)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P由点A出发，沿A→B→C的路径匀速运动，过点P向对角线AC作垂线，垂足为Q，设AQ＝x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．C．        D．

二、填空题(共24分)

11．(本题3分)把多项式分解因式的结果是_________．

12．(本题3分)使得代数式有意义的x的取值范围是_____．

13．(本题3分)若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为 ___．

14．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为__________．

15．(本题3分)如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____．

16．(本题3分)按下面的程序计算：

若开始输入x的值为2，则最后输出的结果为______．

17．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y=的图像上，则菱形的面积为_______．

18．(本题3分)规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案，照这种方式摆下去，摆第2021个图案用________根火柴棒．

三、解答题(共66分)

19．(本题4分)计算：

20．(本题4分)先化简，后求值．已知实数a满足，求的值．

21．(本题6分)如图，中，．

（1）在边上作一点，使得点到点的距离与点到边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，若，，求的长．

22．(本题6分)如图（1）是某古城门修复后的照片，某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该城门楼的高度．如图（2）所示，他们沿坡度的登城阶梯从底部的A处前行6米到达处（米），测得城门楼最高点的仰角为，楼底部的仰角为（测量员的身高忽略不计），已知城门楼高米，求城门楼距离地面的高度（结果保留整数．参考数据：，，，）．

23．(本题6分)经典国学著作是中华民族文化教育的庞大载体，是民族生存的根基，为进一步培养学生的人文素养，某校举办了以“弘扬传统文化，品经典国学”为主题的诵读比赛，分“单人项目”和“双人项日”两种形式，诵读的篇目有四种类型：A．人生管理；B．家国情怀；C励志劝勉；D．山明水秀，且每种类型包含的篇目数相同，参赛者需从中随机抽取一篇进行诵读．

(1)若小甘参加“单人项目”，求他抽中的篇目恰好属于“B．家国情怀”的概率；

(2)张帆和李欣参加“双人项目”，比赛规定：同一小组的两名同学的篇目类型不能相同，且每人只能抽取一次，求他们恰好抽到“A、人生管理”和“C励志劝勉”类篇目的概率是多少？（画树状图或列表求解）

24．某校调查学生对“社会主义核心价值观”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解“不了解”四个选项，分别记为，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图．

请解答下列问题：

(1)本次问卷共随机调查了________名学生，扇形统计图在D对应的圆心角为_______度．

(2)请补全条形统计图．

(3)若该校有1800名学生，估计该校选择“非常了解”的学生约有多少人？

25．(本题7分)某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．

请根据图中信息解答下列问题：

(1)求这天的温度y与时间x的函数关系式；

(2)解释线段BC的实际意义；

(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？

26．(本题8分)如图，在中，，，与交于点，，为直径，点在上，连接，，．

(1)求证：是的切线：

(2)若，的半径为3，求的长．

27．(本题8分)阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作MEBD，MFAC交直线AC，BD于点E，F，显然四边形OEMF是平行四边形．

(1)当对角线，满足______时，四边形是矩形．

(2)如图，若四边形是矩形，且是的中点，判断四边形是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程．

(3)如图，在四边形为矩形的条件下，若点是边延长线上的一点，此时，，三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

28．(本题10分)如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：；

（3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值．

参考答案

一、选择

1．A 2．D 3．B 4．C 5．B

6．C 7．A 8．B 9．B 10．A

二、填空

11．

12．x＞3

13．且或a≠0且a≥-2

14．

15．2π

16．22

17．4

18．8085

三、解答题

19．．

【详解】原式

．

20．，1

【详解】解：

，

当时，原式．

21．（1）作图见解析；（2）的长为

【详解】解：（1）如图，点即为所求；

（2）作于点，如图，

平分，于，，

．

在和中

，

，

，

在中，，

，

设，则，，

在中，，

，解得．

答：的长为．

．

22．20米

【详解】解：如图：过点作，垂足为，

由题意得：

，，，，

斜坡的坡度，

，

在中，，

，

米，

（米，

米，

设米，

在中，（米），

在中，（米），

米，

，

，

解得：，

（米），

（米），

城门楼距离地面的高度约为20米．

23．(1)他抽中的篇目恰好属于“B．家国情怀”的概率为

(2)他们恰好抽到“A、人生管理”和“C励志劝勉”类篇目的概率为

（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

（1）

解：他抽中的篇目恰好属于“B．家国情怀”的概率为；

（2）

解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“A、人生管理”和“C励志劝勉”类篇目的结果数为2；

所以他们恰好抽到“A、人生管理”和“C励志劝勉”类篇目的概率为．

24．(1)60，18°

(2)答案见解析

(3)450人

 (1)

解：本次问卷共随机调查的学生数是：24÷40%=60(名)，

扇形统计图中D对应的圆心角为360°×(3÷60)=18°；

(2)

解：条形图中“A非常了解”所占的人数为：60×25%=15(名)，

补全条形统计图如图所示：

(3)

解：“A非常了解”所占的百分比为25%，

故该校有1800名学生，选择“非常了解”的学生约有：1800×25%=450人．

25．(1)y＝；

(2)线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃；

(3)恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害．

【详解】（1）解：设线段AB解析式为y＝k1x＋b（k1≠0），

∵线段AB过点（0，10），（3，15），

代入得，解得：，

∴线段AB的解析式为：y＝x＋10（0≤x＜6），

∵B在线段AB上，当x＝6时，y＝20，

∴点B坐标为（6，20），

∴线段BC的解析式为：y＝20（6≤x＜10），

设双曲线CD解析式为：y＝（k2≠0），

∵C（10，20），

∴k2＝200，

∴双曲线CD的解析式为：y＝（10≤x≤24）；

∴y关于x的函数解析式为：y＝；

（2）线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃；

（3）把y＝10代入y＝中，解得：x＝20，

∴20−10＝10，

答：恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害．

26．(1)见解析

(2)

【

【详解】（1）证明：连接，

，

，

，

．

为直径，

，

即，

．

．

是的半径，

直线是的切线；

（2）解：根据（1）的结论，有，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵在中，＝，

又∵，

∴，

∴，

∵，

∴．

即为．

27．(1)

(2)菱形，证明见解析

(3)MF+OA=ME，证明见解析

【分析】（1）由矩形的判断方法即可；

（2）由三角形的中位线判断出ME=MF，得到邻边相等平行四边形是菱形；

（3）先判断出四边形OEMF是平行四边形，再由平行四边形的性质得到EA=EM，即可．

（1）

解：要使平行四边形OEMF是矩形，

∴∠AOB=90°，

∴AC⊥BD，

故答案为：AC⊥BD；

（2）

解：四边形OEMF是菱形．

证明：在矩形ABCD中，OA=OB，

∵点M是AB的中点，MEBD，MFAC，

∴ME=OB，MF=OA，

∴ME=MF，

∵四边形OEMF是平行四边形，

∴四边形OEMF是菱形；

（3）

解：MF+OA=ME，

理由：在矩形ABCD中，OA=OB，

∵MEBD，MFAC，

∴四边形OEMF是平行四边形，

∴MF=EO，

∴∠OAB=∠OBA=∠EMA，

∴EA=EM，

∵MF=OE，

∴MF+OA=ME

28．（1）；（2）见解析；（3）

【详解】（1）解：∵直线分别与轴和轴交于点B和点C，

∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），

把，分别代入，

得，

解得，

∴抛物线的解析式为．

（2）∵抛物线与x轴交于点A，

∴，

解得，，

∴点A的坐标为，

∴，，

在中，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴．

（3）设点D的坐标为

则点E的坐标为

∴

=

∵，

∴当时，线段DE的长度最大．

此时，点D的坐标为，

∵，

∴点C和点M关于对称轴对称，

连接CD交对称轴于点P，此时最小．

连接CM交直线DE于点F，则，点F的坐标为，

∴，

∵

∴的最小值．

．

【点睛】此题考查的是二次函数的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点问题，函数的最值问题，轴对称的性质，勾股定理，证明两个三角形相似，熟练掌握各知识点是解题的关键