模拟卷01——备考2023中职高考数学冲刺模拟卷（湖南适用）

【中职专用】备战中职高考数学冲刺模拟卷（湖南适用）

模拟卷01

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量120分钟.满分120分.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集，集合，集合，则（      ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解作答.

【详解】全集，集合，则，而，

所以.

故选：C

2．函数的定义域为（ ）

A．（，1）

B．（，∞）

C．（1，+∞）

D．（，1）∪（1，+∞）

【答案】A

【详解】解：由解得，所以原函数的定义域为．

故选：A

3．（    ）

A． B．-1 C． D．

【答案】A

【分析】运用诱导公式和特殊角的三角函数值即可化简求值．

【详解】解：．

故选：A．

4．若点在圆外，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出圆的标准方程，根据点在圆外以及方程为圆的方程列不等式组求解即可.

【详解】，即

因为点在圆外，

，解得

故选：D.

5．在中，“”是“角，，成等差数列”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】若，则，若，，成等差数列，则，得到答案.

【详解】在中，若，则，所以，，成等差数列，充分性成立.

反之，若，，成等差数列，则，因为，所以，必要性成立.

所以“”是“角，，成等差数列”的充要条件.

故选：C.

6．已知是第二象限角，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用同角三角函数基本关系式求解.

【详解】因为是第二象限角，，且，

所以.

故选：B.

7．已知，，则（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32

【答案】C

【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】由，

故选：C

8．已知平面与平面为两个不同的平面，与为两条不重合的直线，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】C

【分析】由空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的关系判断A与B；

由直线与平面垂直的性质判断C；由直线与平面，平面与平面垂直的关系判断D

【详解】对于A：若，，则或，故A错误；

对于B：若，，则或，故B错误；

对于C：若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C正确；

对于D：若，，则或，故D错误；

故选：C

9．为纪念2022北京冬奥会成功举办，中国邮政发行了一组纪念邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”､冬残奥会会徽“飞跃”､冬奥会吉祥物"冰墩墩”､冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”，现从这套5枚纪念邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算出5枚纪念邮票中任取3枚共有的取法，再计算恰有1枚吉祥物邮票的取法数，根据古典概型的概率公式求得答案.

【详解】从这套5枚纪念邮票中任取3枚，有种取法，

而其中恰有1枚吉祥物邮票的取法有种，

故从这套5枚纪念邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为 ,

故选：C

10．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线距离为，则双曲线实轴长（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由双曲线的性质可得双曲线渐近线方程，由点到直线的距离公式可得，再结合离心率即可得解.

【详解】由题意，双曲线的一个渐近线为即，

设双曲线的的右焦点为，则，

所以焦点到渐近线的距离，

又离心率，所以，

所以双曲线实轴长.

故选：D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．已知函数 （，且）．若的反函数的图像经过点，则_____________．

【答案】

【分析】函数与其反函数图象关于直线对称，则在已知函数图象上，代入求解.

【详解】与其反函数图象关于直线对称，的反函数的图像经过点，

则的图像经过点，所以，

 即，解得.

故答案为：.

【点睛】函数与其反函数的图象关于直线对称.

12．已知向量与的夹角为，且，，则的值为________．

【答案】－6

【分析】由数量积的定义计算．

【详解】．

故答案为：．

13．某中学高一年级有600人，高二年级有480人，高三年级有420人，因新冠疫情防控的需要，现用分层抽样从中抽取一个容量为300人的样本进行核酸检测，则高三年级被抽取的人数为___________.

【答案】84

【分析】首先求出高一、高二、高三年级的人数之比，然后可得答案.

【详解】高一、高二、高三年级的人数之比为，

所以高三年级被抽取的人数为，

故答案为：

14．已知等差数列为递增数列，，是方程的两个根，则___________.

【答案】58

【分析】解方程结合数列的单调性得出，，再由，得出.

【详解】因为是方程的两个根，所以，或，

又因数列为递增数列，所以，故，故.

故答案为：

15．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.

【答案】

【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.

【详解】由已知可得，

又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，

．∴．

设点的坐标为，则，

又，解得，

，解得（舍去），

的坐标为．

【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．

三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22小题为选做题.共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分10分）已知函数且点在函数的图象上．

（1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；

（2）求不等式的解集；

（3）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．

【答案】（1），图像见解析（2）（3）

【分析】（1）将点代入中,即可求解的值,进而求得函数的解析式,画出函数f（x）的图象.

（2）欲求满足方程有两个不相等的实数根的取值范围,可使函数与有两个不同的交点,画出二者的图象即可判断出实数的取值范围.

【详解】解：（1）由的图象经过点,

可得,即,解得,

则,

函数的图象如下图：

（2）有两个不相等的实数根,

即有的图象和直线有两个交点,

由图象可得,即,

可得的取值范围是．

【点睛】本题主要考查函数的概念与图象、对数与对数函数、函数与方程以及一次函数和二次函数.

17．（本小题满分10分）已知数列为等差数列，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和的最大值.

【答案】（1）；（2）36.

【分析】（1）由已知求出公差，从而可求出数列的通项公式；

（2）由（1）得，然后配方利用二次函数的性质可得答案

【详解】解：因为为等差数列，令其公差为，

则由题意得，

得，

故

，

即的通项公式为.

（2）由（1）知，，

故

，

所以当，的最大值为.

18．（本小题满分10分）如图，三棱柱侧棱垂直于底面,,,为的中点.

（1）求证：平面

（2）若,求二面角的余弦值.

【答案】（1）详见解析（2）

【分析】（1）连，交于点，连，由线面平行的判定定理可证得：平面

；

（2） 由已知可得即二面角的平面角，由余弦定理，可得二面角

的余弦值．

【详解】（1）证明：连，交于点，连，

∵，分别为，的中点，∴，

∵平面，平面，

∴平面．

（2）∵，，∴，

∵底面，底面，∴，

∵，，平面，∴平面，

∵，平面，∴，，

∴即二面角的平面角，

∵平面，∴平面，∴，

又，，，平面，∴平面，

∵平面，∴，

设，则，∴，

∴，

又∵，

∴，

故二面角的平面角的余弦值为．

19．（本小题满分10分）甲、乙两个同学同时报名参加某重点高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．已知甲，乙两人审核过关的概率分别为，审核过关后，甲、乙两人文化测试合格的概率分别为

（1）求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率；

（2）设表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求的数学期望.

【答案】(1)甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为；

(2) 的数学期望为.

【分析】（1）利用事件的独立性可求概率

（2）易得，求出对应的概率后可得分布列，利用公式可求期望.

【详解】解：(1)设“甲，乙两人至少有一人通过审核”，则

.

(2)

，

，

，

答：(1)甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为；

(2) 的数学期望为.

20．（本小题满分10分）已知椭圆C：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为（O为坐标原点），求椭圆C的标准方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由条件可得，根据，可得答案

（2）由方程联立，可得，，，可得出弦长，原点O到直线的距离，可得出答案.

(1)

由题，椭圆上顶点的坐标为，

左右顶点的坐标分别为、，

∴，即，则.

又，∴，

所以椭圆的离心率；

(2)

设，，

由得：，

∴，，，

∴，

又原点到直线的距离，

∴，解得，

∴，满足，∴，

∴椭圆的方程为.

选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答.如果两题都做，则按所做的第21题计分.作答时，请写清题号.

21. （本小题满分10分）某工厂使用，两种原料生产甲、乙两种产品，每天生产所用种原料不超过吨，种原料不超过吨．已知生产吨甲、乙两种产品各所需原料如下表所示：

(1)设该工厂每天生产甲、乙两种产品分别为，吨，试写出关于，的线性约束条件并画出可行域；
(2)如果生产吨甲、乙两种产品可获得的利润分别为万元、万元，试求该工厂每天生产甲、乙两种产品各多少吨可获得的利润最大，最大利润为多少？

( 1 )由题意直接列出约束条件，再根据约束条件画出可行域;
(2)设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点P时，从而得到z值即可.
(1)
该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，
则由题意知，
作可行域，如图，

(2)
该企业可获得利润为,
联立，
解得即 ,
由可得，
由图可知，当过点时， 有最大值（万元），
即每天生产甲3吨，乙4吨时，可获得的利润最大，最大利润为27万元.

22．（本小题满分10分）在中，角，，的对边分别为，，，，，.

(1)求及的值；

(2)求边上的高.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据题意利用余弦定理求出b，进而求出，结合三角函数的同角关系即可得出；(2)设AB边上的高为h，利用三角形的面积公式计算即可.

(1)

在中，，

由余弦定理，得，

即，由得，

所以，所以；

(2)

设AB边上的高为h，由，

得.