2022年广东省江门市开平市中考数学一模试卷

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2022年广东省江门市开平市中考数学一模试卷
一 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
以下调查中，适宜全面调查的是（　　）
A．调查某批次汽车的抗撞击能力
B．调查某班学生的身高情况
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．调查济宁市居民日平均用水量
5月18 日，新平社电讯：我国利用世界唯一的“蓝鲸1号”，在南海实观了可燃冰（即天然气水合物）的安全可控开采．据介绍，“蓝鲸1号”拥有27354台设备，约40000根管路，约50 000个MCC报验点，电缆拉放长度估计1200千米．其中准确数是（　　）
A．27354 B．40000 C．50000 D．1200
不等式的解集是（ ）
A． B．x<-1 C.x>3 D.x>2
如图，是直线上一点，，射线平分，．则（ ）

A． B． C． D．
点A(2,3)关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
如图，l1∥l2，∠1=56°，则∠2的度数为（　　）

A．34° B．56° C．124° D．146°
已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中矩形的个数共有（　　）

A．5个 B．8个 C．9个 D．11个
如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=63，BD=6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为（ ）

A． C．3 D．62
二 、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
为了鼓励居民节约用水，某自来水公司采取分段计费，每月每户用水不超过10吨，每吨2.2元；超过10吨的部分，每吨加收1.3元．小明家4月份用水15吨，应交水费　 　元．
在函数中，自变量x的取值范围是_____．
因式分解：x2﹣4=　 　．
点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1＋S3＝27，则S2的值为_______．

若x、y、z为实数，且，则代数式x2﹣3y2+z2的最大值是　 　．
三 、解答题（本大题共8小题，共75分）
计算：8﹣2sin30°﹣|1﹣2|+（12）﹣2﹣（π﹣2020）0．
《国家学生体质健康标准》规定：九年级学生50m测试成绩分为优秀、良好、及格，不及格四个等级，某中学为了了解九年级学生的体质健康状况，对九年级学生进行50m测试，并随机抽取50名男生的成绩进行分析，将成绩分等级制作成不完整的统计表和条形统计图，根据图表信息，解答下列问题：
等级
人数
优秀
4
良好
a
及格
28
不及格
b
合计
50
（1）统计表中a的值是 　 　；
（2）将条形统计图补充完整；

（3）将等级为优秀、良好、及格定为达标，求这50名男生的达标率；
（4）全校九年共有350名男生，估计不及格的男生大约有多少人？
如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）

某景区的三个景点A．B、C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C，乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离开景点A后的路程S（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示．根据以上信息回答下列问题：
（1）乙出发后多长时间与甲相遇？
（2）要使甲到达景点C时，乙与C的路程不超过400米，则乙从景点B步行到景点C的速度至少为多少？（结果精确到0.1米/分钟）

如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．

如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）

在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．
（1）如图，当AB=BC=8时，
①若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：AH=CH；
②当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；
（2）当AB=6，BC=8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．

已知抛物线与x轴交于点A．B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析
一 、选择题
【考点】全面调查与抽样调查
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
解：A．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故A选项错误，
B、调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故B选项正确，
C、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故C选项错误，
D、调查济宁市居民日平均用水量，适于抽样调查，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【考点】近似数和有效数字．
【分析】利用精确数和近似数的区别进行判断．
解：27354为准确数，4000、50000、1200都是近似数．
故选A．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．　
【考点】解一元一次不等式
【分析】直接运用不等式的性质解答即可．
解：
x＜1+2
x＜3．
故答案为A．
【点评】本题考查了不等式的解法和不等式的性质，灵活运用不等式的性质是解答本题的关键．
【考点】余角和补角，角平分线的定义
【分析】先根据射线平分，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据，可得∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案．
解：∵，
∴∠CEF=140°，
∵射线平分，
∴∠CEB=∠BEF=70°，
∵，
∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，补角，掌握知识点灵活运用是解题关键．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标
【分析】利用平面直角坐标系内，对称坐标的特点即可解答.
解：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数
∴点关于x轴对称的点的坐标是（2，-3）
故选B
【点评】本题考查了平面直角坐标系内坐标的对称，注意关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数；关于y轴对称，横坐标变相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标都变相反数.
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线性质求出∠3=∠1=50°，代入∠2+∠3=180°即可求出∠2．
解：∵l1∥l2，
∴∠1=∠3，
∵∠1=56°，
∴∠3=56°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=124°，
故选C．

【点评】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，注意：两直线平行，同位角相等．　
【考点】二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【分析】将代入即可求出a与b的值，
解：将代入得：
，
∴a+b＝2，
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．
【考点】矩形的判定与性质．
【分析】根据矩形的判定定理解答．
解：∵E，G分别是边DA，BC的中点，四边形ABCD是矩形，
∴四边形DEGC、AEGB是矩形，
同理四边形ADHF、BCHF是矩形，
则图中四个小四边形是矩形，
故图中矩形的个数共有9个，
故选：C．
【点评】本题考查的是中点四边形的性质、矩形的判定，掌握矩形的判定定理、中点四边形的性质是解题的关键．　
【考点】绝对值,代数式求值,定义新运算
【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B的元素通过分析，与A的元素对应分类讨论即可．
解：∵集合B的元素，，可得，
∴，
∴，，
∴，
当时，，，，不满足互异性，情况不存在，
当时，，（舍），时，，，满足题意，
此时，．
故选：Ｃ
【点评】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。通过元素的分析，按照定义分类讨论即可．
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定与性质
【分析】连接DE，先根据两点之间线段最短可得当点D,P,E共线时，PD+PE取得最小值DE，再根据菱形的性质、勾股定理可得AB=6，然后根据等边三角形的判定与性质求出DE的长即可得．
解：如图，连接DE，

由两点之间线段最短得：当点D,P,E共线时，PD+PE取最小值，最小值为DE，
∵四边形ABCD是菱形，AC=63，BD=6，
?AB=AD,OB=12BD=3,OA=12AC=33,AC?BD，
，
∴AB=AD=BD=6，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴AE=12AB=3,DE⊥AB，
，
即PD+PE的最小值为33，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
二 、填空题
【考点】有理数的混合运算．
【分析】先根据单价×数量=总价求出10吨的水费，再根据单价×数量=总价加上超过10吨的部分的水费，
再把它们相加即可解答．
解：2.2×10+（2.2+1.3）×（15﹣10）
=22+3.5×5
=22+17.5
=39.5（元）．
答：应交水费39.5元．
故答案为：39.5．
【点评】本题考查了有理数的混合运算．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出算式，再求解．
【考点】函数自变量的范围
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．
解：根据题意得：
解得：x≥-1且x≠
故答案为：x≥－1且x≠．
【点评】本题考查函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
【考点】因式分解﹣运用公式法
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
【考点】矩形的性质，反比例函数的系数的几何意义
【分析】利用反比例函数系数的几何意义，及OE＝ED＝DC求解，然后利用列方程求解即可得到答案．
解：由题意知：矩形的面积


同理：矩形，矩形的面积都为，







故答案为：
【点评】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的系数的几何意义，掌握以上性质是解题的关键．
【考点】解三元一次方程组，二次函数的最值
【分析】解三元一次方程组，用z表示出x、y，根利用配方法计算即可．
解：，
①﹣②得，y＝1+z，
把y＝1+z代入①得，x＝2﹣z，
则x2﹣3y2+z2＝（2﹣z）2﹣3（1+z）2+z2＝﹣z2﹣10z+1＝﹣（z+5）2+26，
当z＝5时，x2﹣3y2+z2的最大值是26，
故答案为：26．
【点评】本题考查的是二次函数的最值、三元一次方程组的解法，掌握配方法求二次函数最大值的一般步骤是解题的关键．
三 、解答题
【考点】零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值
【分析】先化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．
解：8﹣2sin30°﹣|1﹣2|+(12)﹣2﹣(π﹣2020)0
=22﹣2×12﹣(2﹣1)+4﹣1
=22﹣1﹣2+1+4﹣1
=2+3．
【点评】本题考查了实数的运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算以及熟记特殊角的三角函数值．
【考点】频率分布表，用样本估计总体，条形统计图
【分析】（1）根据条形统计图即可得到答案．
（2）求出b的值，即可将条形统计图补充完整；
（3）用等级为优秀、良好、及格的人数和除以50即可求解；
（4）总数乘以不及格的男生所占比例，即得所求．
解：（1）根据条形统计图可得a=6．
故答案为：6；
（2）b=50-4-6-28=12，
将条形统计图补充完整如图：

（3），
答：这50名男生的达标率为76%；
（4）350×=84（人），
答：估计不及格的男生大约有84人．
【点评】本题考查了频率分布表，用样本估计总体，条形统计图，读图时要全面细致，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解直角△AFD得到DF的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE﹣CE．
解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．
则DE=BF=CH=10m，
在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，
∴DF=AF=70m．
在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，
∴CE===10（m），
∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．
答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．

【点评】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．　
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式进而利用两函数相等时即为相遇时，求出时间即可；
（2）根据题意得出要使两人相距400m，乙需要步行的距离为：5400-3000-400=2000（m），乙所用的时间为：30分钟，进而得出答案．
解：（1）设S甲=kt，将（90，5400）代入得：
5400=90k，
解得：k=60，
∴S甲=60t；
当0≤t≤30，设S乙=at+b，将（20，0），（30，3000）代入得出：
，
解得：，
∴当0≤t≤30，S乙=300t﹣6000．
当y甲=y乙，
∴60t=300t﹣6000，
解得：t=25，
∴乙出发后5后与甲相遇．
（2）由题意可得出；当甲到达C地，乙距离C地400m时，
乙需要步行的距离为：5400﹣3000﹣400=2000（m），乙所用的时间为：30分钟，
故乙从景点B步行到景点C的速度至少为：≈66.7（m/分），
答：乙从景点B步行到景点C的速度至少为66.7m/分．
【点评】此题主要考童了待定系数法求一次函数解析式、行程问题等知识,解题关键是理解题意,读懂囡象信息,学会构建一次函数解决实际问题,属于中考常考
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；
（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．
解：（1）∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴∠ACB=∠ADE，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
（2）当∠B=140°时，∠E=140°，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴五边形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
【考点】作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质
【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥AC交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题；
（2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得=，解决问题；
解：（1）⊙O如图所示；
（2）作OH⊥BC于H．

∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，
∴四边形ECHO是矩形，
∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=，
在Rt△OBH中，OH==2，
∴EC=OH=2，BE==2，
∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，
∴△BCE∽△BED，
∴=，
∴=，
∴DE=．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）①如图1中，证明△AEH≌△CGH（SAS）即可解决问题．
②分两种情形分别求解：如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH．如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN．
（2）分三种情形分别求解：①如图3-1中，延长AH交BC于M，当BM=CM=4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．②如图3-2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM=DM=3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．③如图3-3中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM=DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．
解：（1）①如图1中，

∵四边形EFGH是正方形，AB=BC，
∴BE=BG，AE=CG，∠BHE=∠BGH=90°，
∴∠AEH=∠CGH=90°，
∵EH=HG，
∴△AEH≌△CGH（SAS），
∴AH=CH．
②如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH，S=t2．
如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN，S=S△ABC-S△AEN-S△CGM=12×8×8-2×12（8-t）2=-t2+32t-32．

综上所述，S=．
（2）如图3-1中，延长AH交BC于M，当BM=CM=4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．

∵EH∥BM，
∴AEAB=EHBM，
∴6-t6=t4，
∴t=125．
如图3-2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM=DM=3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD=CK=8，

∵EH∥BK，
∴AEAB=EHBK，
∴6-t6=t16，
∴t=4811．
如图3-3中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM=DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD=CN=8．

在Rt△ABC中，AC=62+82=10，
∵EF∥AB，
∴CECA=EFAB，
∴16-t10=EF6，
∴EF=35（16-t），
∵EH∥CN，
∴EHCN=AEAC，
∴35(16-t)8=t-610，
解得t=727．
综上所述，满足条件的t的值为125s或4811s或727s．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
【考点】二次函数综合题
【分析】(1)令y=0,求的根即可；令x=0,求得y值即可确定点C的坐标；
（2）确定抛物线的对称轴为x=1,确定的坐标为（2，8），计算C=2，利用直角相等，两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，分类求解即可.
解：（1）令，则，
∴，
∴．
令，则．
∴．
（2）存在．由已知得，该抛物线的对称轴为直线．
∵点与点关于直线对称，
∴，．
∴．
∵点P在y轴上，
∴
∴当时，．
设，
i）当时，则，
∴．
∴
ii）当时，则，
∴
∴．
iii）当时，则，与矛盾．
∴点P不存在
∴或．