2022-2023学年重庆实验外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆实验外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆实验外国语学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列关于x的函数是一次函数的是(    )
A. y=x2+1 B. y=kx+b C. y=x D. y=x(x−1)
2. 若 a+1有意义，则a的值不可以是(    )
A. −2 B. −1 C. 0 D. 1
3. 若，其中n整数，则n的值为(    )
A. 2 B. 1 C. 0 D. −1
4. 已知一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，且kb>0，则在直角坐标系内它的大致图象是(    )
A. B. C. D.
5. 下列因式分解正确的是(    )
A. (a+2)(a−3)=a2−a−6
B.
C. a2−4a+5=(a−2)2+1
D. 2a(y−z)−3b(z−y)=(y−z)(2a+3b)
6. 下列说法正确的是(    )
A. 邻边相等的平行四边形是矩形
B. 矩形的对角线互相平分
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
7. 某星期日上午10：00，小外从家匀速步行到附近的咖啡店看书，看完书后，他匀速跑步回家，且跑步的速度是步行速度的2倍，小外离家的距离y(千米)与所用的时间x(分钟)之间的关系如图所示，下列说法正确的是(    )

A. 小外在咖啡店看书的时间是70分钟 B. 小外家与咖啡店的距离为4千米
C. 小外的步行速度是8千米/小时 D. 小外回到家的时刻是上午11：25
8. 如图，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，连接CE，若EA=EC，点M为BC的中点，AB=2，则AE的值为(    )


A. 33 B. 2 33 C. 22 D. 2
9. 若关于x的不等式组有解且至多有5个整数解，且关于y的方程的解为整数，则符合条件的整数m的个数为(    )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 关于x的多项式：，其中n为正整数，若各项系数各不相同且均不为0，我们称这样的多项式为“亲缘多项式”．
是“亲缘多项式”．
②若多项式和均为“亲缘多项式”，则也是“亲缘多项式”．
③多项式是“亲缘多项式”且．
④关于x的多项式，若a≠b，ab≠0，n为正整数，则为“亲缘多项式”．
以上说法正确的有_____个.(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 测得某人的头发直径为0.0000635米，“0.0000635”用科学记数法表示为        ．
12. 计算： ______ ．
13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______ ．
14. 某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道需要______ 元.

15. 如图所示，在平面直角坐标系中，等边三角形△OAB的边OB在x轴上，点A在直线y=− 32x+3 3上，则点A的坐标为______ ．

16. 如图，在正方形ABCD中，AB=3，M是AD边上的一点，连接BM，AM=1.将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是______ ．


17. 如图，矩形ABCD中，点E是AB的中点，EF⊥ED交BC于点F，连接DF、CE交于点G，若CD=CF，则∠ECF的度数为______ ．


18. 若m是正整数，m除以13的余数为2，则称m是“阿二数”.例如：15是正整数，，则15是“阿二数”；52是正整数，且52÷13=4，则52不是“阿二数”，对于任意四位正整数p，p的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d.有一个四位正整数p是“阿二数”，p的千位数字比百位数字少1，十位数字与个位数字的和为9，且为有理数，则满足条件的p的值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
；
．
20. (本小题8.0分)
解方程：
(1)x2−5x−1=0；
．
21. (本小题10.0分)
重庆实验外国语学校举行了“书香文化节”知识竞赛，从中随机抽取男生、女生各20名同学的竞赛成绩(满分50分)进行整理和分析，得分用x表示.共分成四组：
A：42 下面给出了部分信息：男生在C组的数据个数为5个，20名女生的竞赛成绩为：
50，50，48，44，46，50，46，49，50，48，45，50，50，50，49，48，50，46，50，50．
性别
平均数
中位数
众数
满分率
男生
48.05
48.5
a
45%
女生

b
50
50%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ，m= ______ ；
(2)根据以上数据，你认为该校女生与男生的竞赛成绩谁更好？请说明理由；
(3)若该校有3000名男生和3200名女生，估计该校竞赛成绩为满分的人数．

22. (本小题10.0分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC的中点，分别过点O、E作ON⊥AB，EM⊥AB．
(1)证明：四边形OEMN是矩形；
(2)若AB=5，ON=2，求AN的长度．

23. (本小题10.0分)
如图1，数轴上有A，B两点，对应的数分别为−5和4，动点P，Q分别从A，B同时出发都向右运动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为1个单位长度/秒，设P、Q的运动时间为x秒，若用y1，y2分别表示OQ和PQ的长度，请回答下列问题：
(1)请直接写出y1，y2与x的关系为：y1= ______ ，y2= ______ ．
(2)在图2直角坐标系中画出y1，y2的函数图象，根据所画图象，写出一条关于函数y2的性质．
(3)观察图象，直接写出不等式y2≥y1的解集为______ ．

24. (本小题10.0分)
某地计划修建一条长36千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的1.5倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天．
(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
(2)已知甲工程队修路费用为25万元/千米，乙工程队修路费用为20万元/千米.甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成.若要使修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案？哪种方案最省钱？
25. (本小题10.0分)
如图1.在平面直角坐标系中，直线l与x轴，y轴交于A(−2 3,0)、B(0,−2)两点.将直线y= 3x竖直向上平移2个单位后与l交于点C，与y轴交于D．

(1)求点C的坐标；
(2)连接AD，在直线CD上是否存在点E，使得若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，已知，H(1,0)，过B作BF//x轴且BF=3.5；若点G沿GH方向以每秒2个单位长度运动，同时，F点沿FB方向以每秒1个单位长度运动经过t秒的运动，G到达G′处，F到达F′处，连接F′H、问：F′G′能否平分？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．
26. (本小题12.0分)
菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，若∠ABC=45°，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点N．
(1)如图1，若AB=4，求AN的长度．
(2)如图2，延长AM交DC延长线于点P，求证：．
(3)如图3，若AC=4，在线段AB上取一点E，使得∠ACE=15°，连接CE，在CE上任取一点G，R为线段AC边上动点，当取最小值时，直接写出四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A、y=x2+1，是二次函数，故此选项不符合题意；
B、y=kx+b，当k=0时，不是一次函数，故此选项不符合题意；
C、y=x是一次函数，故此选项符合题意；
D、y=x(x−1)=x2−x是二次函数，故此选项符合题意；
故选：C．
根据一次函数的定义：形如y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的函数，叫做一次函数，解答即可．
本题主要考查一次函数，熟练掌握一次函数的定义是解决本题的关键．一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的函数，叫做一次函数．

2.【答案】A 
【解析】解：∵ a+1有意义，
∴a+1≥0，解得a≥−1，
∴a的值不可以等于−2．
故选：A．
根据二次根式有意义的条件解答即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：∵4< 18<5，
，
，其中n整数，
∴n=1．
故选：B．
由于4< 18<5，可表示出 18−3所在范围，即可选出答案．
此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

4.【答案】B 
【解析】解：∵一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，
∴k<0，
∵kb>0，
∴b<0，
∴一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限，
故选：B．
根据一次函数的性质一一判断即可；
本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．

5.【答案】D 
【解析】解：A.等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，故此选项不合题意；
B.，故此选项符不合题意；
C.等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，故此选项不合题意；
D.2a(y−z)−3b(z−y)=(y−z)(2a+3b)，故此选项符合题意．
故选：D．
直接利用因式分解的定义，提取公因式法以及十字相乘法分解因式得出答案．
本题考查了因式分解，解答该题时，需要注意因式分解定义的运用．

6.【答案】B 
【解析】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
B、矩形的对角线互相平分，故选项B符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
由菱形的判定、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：由图象可知，小外在咖啡店看书的时间是70−30=40(分钟)，故选项A不符合题意；
由图象可知小外家与咖啡店的距离为2千米，故B选项不符合题意；
小外的步行速度是20.5=4(千米/小时)，故C选项不符合题意；
∵跑步的速度是步行速度的2倍，
∴从咖啡店回家用的时间为15分钟，
∴从出家门到回到家用了分钟)，
∴小外返回家的时刻是上午11：25，故D选项符合题意．
故选：D．
根据图象，由路程=速度×时间之间的关系逐项分析即可．
本题考查了函数的图象，路程=速度×时间之间的关系的运用，借助图象是解题关键．

8.【答案】B 
【解析】解：连接AC，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC/​/AD；
∴∠ADE=∠CBD，
∵AD=BC，
在△ADE和△CBF中，
∠DAE=∠BCF=90°AD=CB∠ADE=∠FBC，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴AE=CF，
又∵AM⊥BC，
∴AM⊥AD；
∵CN⊥AD，
∴AM/​/CN，
∴AE//CF；
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EA=EC，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵M是BC的中点，AM⊥BC，
∴AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，∠CBD=30°；
在Rt△BCF中，CFBC= 33，
又∵AE=CF，AB=BC=2，
∴AE=2 33．
故选：B．
根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE/​/CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；连接AC交BF于点O，根据EA=EC推知平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的邻边相等知AB=BC；然后结合已知条件证得△ADE≌△CBF(ASA)，所以AE=CF，从而证得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，求得CFBC= 33，利用等量代换求解即可．
本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

9.【答案】C 
【解析】解：解不等式组得：，
∵不等式组至多有5个整数解，
，
即−5 方程去分母得，
解得：，
为整数且，
，
∴符合条件的整数m的值为：−4，−2共2个．
故选：C．
先解不等式组，根据不等式组至多有5个整数解再确定m的值，再解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出m的范围，进行计算即可得出答案．
本题主要考查了分式方程及一次一元不等式的整数解，熟练掌握解分式方程及一元一次不等式组的解进行求解是解决本题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：，
各项系数各不相同且均不为0，
是“亲缘多项式”，
故①正确；
，
并不能确定各项系数各不相同且均不为0，
不是“亲缘多项式”，
故②不正确；
，
各项系数各不相同且均不为0，
是“亲缘多项式”，
，
，b2=24，b0=1，
，
故③正确；
④当a=1，b=−1，n=4时，(x−1)4=x4−4x3+6x2−4x+1，
其中三次项系数与一次项系数相同，
不是“亲缘多项式”，
故④不正确．
综上所述，正确的有2个．
故选：B．
①将(2x−1)2展开，进行判断即可．
②先合并同类项，再进行判断即可．
③将(2x−1)4展开，再进行判断即可．
④利用特殊值法进行判断即可．
本题考查完全平方公式、多项式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

11.【答案】6.35×10−5 
【解析】解：．
故答案为：6.35×10−5．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，掌握科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10是关键．

12.【答案】6 
【解析】解：原式
=6．
故答案为：6．
直接利用绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．

13.【答案】且k≠1 
【解析】解：方程化为一般式得，
根据题意得k−1≠0且，
解得且k≠1，
即k的取值范围为且k≠1．
故答案为：且k≠1．
先把方程化为一般式得，再根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k−1≠0且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．

14.【答案】1020 
【解析】解：由勾股定理得AB= AC2−BC2= 132−52=12(m)，
则地毯总长为12+5=17(m)，
则地毯的总面积为17×2=34(平方米)，
所以铺完这个楼道至少需要元)．
故答案为：1020．
地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．

15.【答案】(2,2 3)或(−6,6 3) 
【解析】解：过点A作AH⊥OB于点H，如图所示：

∵△OAB是等边三角形，且OB在x轴上，
∴H为OB的中点，∠AOB=60°，
设OH=x，则AH= 3x，
∵点A在直线y=− 32x+3 3上，
则点A(x, 3x)或，
分别代入直线y=− 32x+3 3，
得x=2或6，
∴点A(2,2 3)或(−6,6 3)，
故答案为：(2,2 3)或(−6,6 3).
过点A作AH⊥OB于点H，根据等边三角形的性质，可得点A(x, 3x)或，分别代入直线解析式，即可求出点A坐标．
本题考查了一次函数与等边三角形的综合，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．

16.【答案】2 25 
【解析】解：连接AN交BM于点O，作NH⊥AD于点H.如图：

∵AB=AD=3，AM=1．
∴MD=2．
∵四边形ABCD是正方形．
，
根据折叠性质，AO⊥BM，AO=ON，AM=MN=1．
∴12×AB⋅AM=12×BM⋅AO，
，
，
∵NH⊥AD．
∴AN2−AH2=MN2−MH2．
，
解得，
，
，
．
故答案为：2 25．
连接AN交BM于点O，作NH⊥AD于点H，根据已知可求出AM、BM.的长度，利用面积法求出AO，再结合折叠性质，找到AN长度．结合勾股定理建立AN2−AH2=MN2−MH2等式，即可求出MH.最后即可求解．
本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理，面积法求三角形的高等知识．本题关键在于利用勾股定理建立等式，求出边MH的长度．

17.【答案】22.5° 
【解析】解：延长FE交DA的延长线于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
，AD=BC，
又∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴△DAE≌△CBE(SAS)，
∴∠ADE=∠ECB，
又，AE=BE，，
∴△AEH≌△BEF(ASA)，
∴HE=EF，
又∵EF⊥ED，
∴HD=DF，
∴∠ADE=∠EDF，
又∵CD=CF，∠DCF=90°，
∴∠FDC=45°，
∴∠ADF=45°，
，
∴∠ECF=22.5°．
故答案为：22.5°．
延长FE交DA的延长线于点H，由矩形的性质得出，AD=BC，证明△DAE≌△CBE(SAS)，由全等三角形的性质得出∠ADE=∠ECB，证出∠ADF=45°，则可得出结论．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．

18.【答案】 
【解析】解：由题意得：b=a+1，d=9−c，
，
为有理数，
∴当a=1时，c=7，此时：，不是“阿二数”，
当a=2时，c=0，此时：，不是“阿二数”，
当a=4时，c=7，此时：，不是“阿二数”，
当a=8时，c=7，此时：，是“阿二数”，
故答案为：．
先根据题意列出a、c的代数式，再根据有理数的条件求出a、c的值，最后根据新定义求值．
本题考查了二次根式式的化简及整式的加减，理解新定义是解题的关键．

19.【答案】解：

；



=−2x−3． 
【解析】(1)根据单项式乘多项式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
(2)先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、单项式乘多项式和完全平方公式，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．

20.【答案】解：(1)x2−5x−1=0，
a=1，b=−5，c=−1，
，
∴x=5± 292，
∴x1=5+ 292，；
(2)去分母，得，
整理，得，
解得x=12，
经检验，x=12是原方程的根，
∴原方程的解为x=12． 
【解析】(1)根据公式法：x=−b± b2−4ac2a(b2−4ac≥0)解一元二次方程即可；
(2)先去分母，化为整式方程，再解一元一次方程即可，注意检验．
本题考查了公式法解一元二次方程，解分式方程，熟练掌握求根公式和解分式方程的方法是解题的关键．

21.【答案】50  49.5  15 
【解析】解：(1)因为男生的满分率为45%，所以众数a=50；
把20名女生的竞赛成绩从小到大排列为：44，45，46，46，46，48，48，48，49，49，50，50，50，50，50，50，50，50，50，50，排在中间的两个数是49、50，故中位数，
，故m=15．
故答案为：50，49.5，15．
(2)女生的竞赛成绩更好，理由如下：
因为女生的平均数，中位数和满分率都比男生的高，所以女生的竞赛成绩更好．


人)，
答：估计该校竞赛成绩为满分的人数约2950人．
(1)根据中位数和众数的定义求a和b，求出女生C组的百分比即可得m的值；
(2)根据平均数、中位数、众数和满分率的意义即可求解；
(3)用满分率乘总人数可得答案．
本题考查扇形统计图、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．

22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，
∵E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE/​/AB，
∵ON⊥AB，EM⊥AB，
，∠EMN=90°，
∴四边形OEMN是矩形；
(2)由(1)知，四边形OEMN是矩形，
∴EM=ON=2，，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，MN=OE，
∵E是BC的中点，
，
，
，
故AN的长度为1． 
【解析】(1)根据菱形的性质得到AO=CO，根据三角形中位线定理得到OE/​/AB，根据矩形的判定定理即可得到结论；
(2)由(1)知，四边形OEMN是矩形，求得EM=ON=2，，根据菱形的性质得到BC=AB=5，MN=OE，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．

23.【答案】x+4(x≥0)    0≤x≤1.2或x≥6.5 
【解析】解：，．
故答案为：x+4(x≥0)，；
(2)当x=0时，y1=4，当x=2时，y1=6，
过点(0,4)，(2,6)作直线即为y1=x+4的图象，
，
∴过点(3,0)和点(5,6)作射线，过点(3,0)和点(0,9)作射线，两条射线即为的图象；
(3)由图象知，0≤x≤1.2或x≥6.5时，函数y2的图象在函数y1的图象上方，
∴不等式y2≥y1的解集为0≤x≤1.2或x≥6.5．
(1)根据两点间的距离公式即可得到结论；
(2)根据函数解析式化成函数的图象即可；
(3)观察图象，函数y2的图象在函数y1的图象上方对应的x的范围是0≤x≤1.2或x≥6.5，就是不等式y2≥y1的解集．
本题是三角形的综合题，考查了数轴，求函数的解析式，画函数的图象，正确地求出函数的解析式是解题的关键．

24.【答案】解：(1)设乙工程队每天修路x千米，则甲工程队每天修路1.5x千米，
根据题意得：36x−361.5x=20，
解得：x=0.6，
经检验，x=0.6是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×0.6=0.9．
答：甲工程队每天修路0.9千米，乙工程队每天修路0.6千米；
(2)设甲工程队修路m千米，则乙工程队修路(36−m)千米，
根据题意得：，
解得：9≤m≤20，
∵m为整数，
∴共有种)修路方案．
设修路的总费用为w万元，则，
即，
∵5>0，
∴w随m的增大而增大，
又，且m为整数，
∴当m=9时，w取得最小值，此时．
答：共有12种修路方案，最省钱的修路方案为：甲工程队修路9千米，乙工程队修路27千米． 
【解析】(1)设乙工程队每天修路x千米，则甲工程队每天修路1.5x千米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天，可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出乙工程队每天修路的长度，再将其代入1.5x中，即可求出甲工程队每天修路的长度；
(2)设甲工程队修路m千米，则乙工程队修路(36−m)千米，根据“要使修路总时间不超过55天，且总费用不超过820万元”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，可得出共有12种修路方案，设修路的总费用为w万元，利用修路的总费用=甲工程队修每千米路的费用×甲工程队修路的长度+乙工程队修每千米路的费用×乙工程队修路的长度，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出最省钱的修路方案．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．

25.【答案】解：(1)将直线y= 3x竖直向上平移2个单位所得直线解析式为y= 3x+2，
设直线AB解析式为y=kx+b，将A(−2 3,0)、B(0,−2)代入得：
，
解得，
∴直线AB解析式为y=− 33x−2；
联立，
解得x=− 3y=−1；
∴点C的坐标为(− 3,−1)；
(2)在直线CD上存在点E，使得，理由如下：
设直线CD交x轴于K，如图：

在y= 3x+2中，令x=0得y=2，令y=0得x=−2 33，
∴D(0,2)，，
，
，
，
，
或，
在y= 3x+2中，
令y=5得x= 3，
令y=−7得x=−3 3，
∴E的坐标为( 3,5)或；
能平分，理由如下：
如图：

根据题意，，，
平分，
，
∵BF//x轴，
，
，
，
∵H(1,0)，
，
解得t=3或t=163，
∴t的值为3或163． 
【解析】(1)将直线y= 3x竖直向上平移2个单位所得直线解析式为y= 3x+2，用待定系数法得直线AB解析式为y=− 33x−2；联立，即可解得点C的坐标为(− 3,−1)；
(2)设直线CD交x轴于K，由y= 3x+2可得D(0,2)，，即得，故，由，列方程，解得yE=5或，从而可得E的坐标为( 3,5)或；
(3)根据题意，，，由F′G′平分，BF//x轴，可得，故，即可解得t的值为3或163．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，平移变换，三角形面积，等腰三角形判定与性质等知识，解题的关键是方程思想的应用．

26.【答案】(1)解：∵AM⊥BC，∠ABC=45°，
∴∠AMB=∠AMC=90°，
，
∴∠BAM=∠ABC，
∴AM=BM，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC=AB，
∴∠AON=90°，
，
，
∴△ACM≌△BNM(ASA)，
∴MN=CM，
∵AB=4，
∴AM=BM= 22AB=2 2，BC=4，
，
；
(2)证明：如图1，

在OA上截取OE=ON，连接EN，
设，则，
∵AB=BC，∠ABC=45°，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
(3)解：如图2，

不妨设AM=BM=1，则BC=AB= 2，
，
，
如图3，

在Rt△PQT中，，，设PQ=1，则，，
，
如图4，

作，交AB于F，作点R关于CE的对称点H，
当点A、G、H共线时，，
∴当AH⊥CF时，最小，
作EM⊥AC于M，
∵∠BAC=67.5°，
，
设AM=a，则，
，
，
，
由得，
，
，
，
，
，
，
，
． 
【解析】(1)可证明△ACM≌△BNM，从而得出MN=CM，进一步得出结果；
(2)在OA上截取OE=ON，连接EN，设，则依次表示出，，，，从而，，从而得出结论；
(3)先得出和tan75°的值，作，交AB于F，作点R关于CE的对称点H，当点A、G、H共线时，，从而当AH⊥CF时，最小，作EM⊥AC于M，设AM=a，则，表示出，根据列出，从而求得a的值，进而表示出△ACE和△CGR的面积，进一步得出结果．
本题考查了菱形的面积，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是构造特殊三角形，求得75°和67.5°的正切值．