辽宁省部分重点中学协作体2022-2023学年高三数学下学期4月模拟试卷（Word版附答案）

辽宁省部分重点中学协作体2023年高考模拟考试

数学

第I卷

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1 设全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定的条件，利用补集、交集的定义求解作答.

【详解】全集，，则，而，

所以.

故选：C

2. 若复数（为虚数单位），则的虚部为（    ）

A. 3 B.  C. -3 D.

【答案】C

【解析】

【分析】先化简复数，再利用共轭复数及复数的概念求解.

【详解】因为，

所以，则的虚部是，

故选：C．

3. ，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性判断的范围，即得答案.

【详解】由题意可知，

，

故，

故选：B

4. 随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然.更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用表示黄金分割点.若照片长､宽比例为，设，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意得到，结合二倍角公式及同角三角函数关系求出答案.

【详解】由题意得，，故，

所以.

故选：D

5. 现有6个同学站成一排照相，如果甲､乙两人必须相邻，而丙､丁两人不能相邻，那么不同的站法共有（    ）种.

A. 144 B. 72 C. 36 D. 24

【答案】A

【解析】

【分析】甲､乙两人看作一个整体,采用捆绑法和其余2人全排列，再用插空法排列丙､丁，即得答案.

【详解】由题意可将甲､乙两人看作一个整体，和除甲乙丙丁外的其余两人全排列，

有种排法，再从这3人（甲乙看作一个人）排好后形成的4个空中选2个排丙､丁，

故共有种站法，

故选：A

6. 盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】依题意，若要使正四面体能自由转动，则正方体必须能装下正四面体的外接球，即正方体的最短棱长就是外接球的直径.

【详解】如图是棱长为的正四面体，

由题意， ，设的中点为，底面 的重心为，为外接球的球心，

则有 底面， ，  ，

，是外接球半径，

在 中， ，

在 中， ，，

，解得 ，

即正方体的最短棱长为.

故选：B.

7. 线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，图中正六边形的个数记为，所有正六边形的周长之和､面积之和分别记为，其中图中每个正六边形的边长是图中每个正六边形边长的，则下列说法正确的是（     ）

A.  B.

C. 存在正数，使得恒成立 D.

【答案】D

【解析】

【分析】A选项，分析出为公比为7的等比数列，求出；B选项，从图中求出；C选项，分析出为等比数列，公比为，求出通项公式，由数列的单调性分析出答案；D选项，分析出图n中的小正六边形的个数，每个小正六边形的边长，从而求出面积.

【详解】A选项，图1中正六边形的个数为1，图2中正六边形的个数为7，

由题意得为公比为7的等比数列，所以，故，A错误；

B选项，由题意知，，，B错误；

C选项，为等比数列，公比为，首项为6，故，

因为，所以单调递增，不存在正数，使得恒成立，C错误；

D选项，分析可得，图n中的小正六边形的个数为个，每个小正六边形的边长为，故每个小正六边形的面积为，

则，D正确.

故选：D

8. 双曲线左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率.

【详解】设切点为，，连接，则，，

过点作⊥轴于点E，则，故，

因为，解得，

由双曲线定义得，所以，

在中，由余弦定理得，

化简得，又，

所以，方程两边同时除以得，

解得，所以离心率.

故选：A

【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若随机变量，下列说法中正确的是（    ）

A.  B. 期望

C. 期望 D. 方差

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据二项分布有关知识，，，可得.

【详解】A选项：因，所以，故A错误.

B选项：，故B正确.

C选项：，故C正确.

D选项：，，故D正确.

故选：BCD.

10. 已知函数在上恰有三个零点，则（    ）

A. 的最大值为

B. 在上只有一个极小值点

C. 在上恰有两个极大值点

D. 在上单调递增

【答案】BD

【解析】

【分析】根据函数在上恰有三个零点，可推得，即可判断A；求出，结合余弦函数的最值情况可判断B，C；根据余弦函数的单调性可判断D.

【详解】A项，当时，，

由函数恰有三个零点，

可得，解得 ，所以无最大值，因此A错误；

B选项：由A选项知，，则当，即时，函数取得极小值，

即在上只有一个极小值点，因此B正确；

C选项：当，即时，此时，函数取得极大值，

当，即时，函数取得极大值，

但是不一定在内，因此C错误；

D选项：当时，，

因为，所以，

即，而在上单调递增，

因此在上单调递增，因此D正确，

故选：BD．

11. 已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则（    ）

A.  B.

C. 椭圆的离心率为 D. 直线的斜率的绝对值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，由线段比例求出面积比；B选项，由椭圆的定义得到，，，由勾股定理逆定理得到，进而求出正切值；C选项，根据为直角三角形，由勾股定理列出方程，求出离心率；D选项，作辅助线，由线段比例结合离心率得到，求出答案.

【详解】A选项，由题意得：，A正确；

B选项，设，则，

由椭圆定义可知：，，所以，，

因为，所以，解得，

故，，，

因为，所以，

故，B正确；

C选项，在中，，

由勾股定理得，解得，

椭圆的离心率为，C错误；

D选项，过点作于点，过点作于点，

则，

其中，故，

由勾股定理得，

则

故直线的斜率的绝对值为.

故选：ABD

12. 如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，二面角大小为，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（    ）

A. 存在某个位置，使得

B. 面积的最大值为

C. 当为锐角时，存在某个位置，使得

D. 三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为

【答案】BD

【解析】

【分析】A选项，作出辅助线，证明，又与不垂直，可得结论，A错误；B选项，利用三角形面积公式即可求解；C选项，作出辅助线，找到，，由线段比求出答案；D选项，先求出当三棱锥体积最大时，⊥平面，再找到球心位置和外接球半径，得到答案.

【详解】A选项，取的中点，连接，

因为是的中点，所以且，

因为为中点，

所以，且，

故四边形为平行四边形，所以，

又与不垂直，所以不存在某个位置，使得，A错误；

B选项，，

当且仅当时，即时，等号成立，故B正确；

C选项，过点作平面于点，作于点，连接，

则是平面角，即，

是直线与平面所成角，即，

所以，，

故为定值，

故当为锐角时，不存在某个位置，使得，C错误；

D选项，当三棱锥体积最大时，⊥平面，

取的中点，连接，则⊥，由勾股定理得，

又，故点即为三棱锥的外接球的球心，半径为2，

表面积为，D正确.

故选：BD

【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.

第II卷

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 一组数据的分位数是__________.

【答案】21

【解析】

【分析】利用分位数的求解方法进行计算.

【详解】，故从小到大排列，选择第9个和第10个数的平均数作为分位数，即.

故答案为：21

14. 已知平面向量，若，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】求出，由垂直关系列出方程，求出答案.

【详解】，

因，所以，解得.

故答案为：

15. 在平面直角坐标系中，笛卡尔曾阐述：过圆上一点的切线方程.若，直线与圆相交于两点，分别以点为切点作圆的切线，设直线，的交点为；若时，则直线的方程是__________；若圆O：，且与圆相切，则的最小值为__________.

【答案】    ①.     ②. ##

【解析】

【分析】根据题意分析可得：直线的方程为.空1：代入即可得结果；空2：根据点到直线的距离运算求解.

【详解】设，

由题意可得：，

因为直线，的交点为，则，

所以直线的方程，即.

空1：若时，则直线的方程是，即；

空2：圆O：的圆心，半径为1，

因与圆相切，则，整理得，

当时，取到最小值.

故答案为：；.

16. 关于的不等式在上恒成立，则的最小值是__________.

【答案】

【解析】

【分析】不等式转化为，构造函数，判断函数单调递增得到，转化为，构造函数，根据函数的单调性计算最小值即得到答案.

【详解】，即，

设，恒成立，故单调递增.

原不等式转化为，即，

即在上恒成立.

设，，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

故，

即，解得.

所以的最小值是.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：将不等式化为，这种方法就是同构法，同构即结构形式相同，对于一个不等式，对其移项后通过各种手段将其变形，使其左右两边呈现结构形式完全一样的状态，接着就可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理了．

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知数列的前项的积

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）当时，，即可求出答案；

（2），由此可求得答案.

【小问1详解】

，

当时，.

当时，，满足上式，

.

【小问2详解】

.

18. 某高中为大力提高高中生的体能，预计在年初推出六项体育运动项目，要求全校每名学生必须参加一项体育运动，且只参加一项体育运动，在这一整年里学生不允许更换体育运动项目，并在年终进行达标测试.一年后分项整理得到下表：

未达标率是指：某一项体育运动未达到规定标准的学生数与该项运动的学生数的比值.

假设所有体育项目是否达标相互独立.

（1）从全校随机抽取1名同学，求该同学是“第四项体育运动项目中的达标者”的概率；

（2）从参加第四项和第五项体育运动项目的同学中各随机选取1人，求恰有1人获得体育达标的概率；

（3）假设每项体育运动项目学生未达标的概率与表格中该项体育运动项目未达标率相等，用“”表示第项体育运动项目达标，“”表示第项体育运动项目未达标.计算并直接写出方差的大小关系（不用写出计算过程）.

【答案】（1）0.075   

（2）0.35    （3），

【解析】

【分析】（1）求出全校总人数，第四项达标人数后可得结论；

（2）设事件A为“从第四项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”，则估计为0.75，设事件为“从第五项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”.则估计为0.8，然后由计算概率；

（3）利用二项分布的方差公式计算方差即可得．

【小问1详解】

由题意知，全校总人数是

第四项体育运动中达标的人数是

故所求概率为.

【小问2详解】

设事件A为“从第四项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”，则估计为0.75，

设事件为“从第五项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”.则估计为0.8，则所求概率为

;

【小问3详解】

，，，

，，，

19. 将函数的图像向左平移个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图像.

（1）设，，当时，求的值域；

（2）在①②③三个条件中任选两个，补充到以下问题中，并完成解答.

在中，，，分别是角，，所对的三条边，，__________，__________.求的面积.

【答案】（1）   

（2）选①②：；

选①③：；

选②③：.

【解析】

【分析】根据三角函数图象变换，先求出，求值域时，结合，与的关系，换元转化可得值域.

利用正弦定理或余弦定理先解三角形，再用面积公式可得.

【小问1详解】

的图像向左平移个单位得，

再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到

即，

又因

故，，，，

故

因，

所以

设，

，

又因为在上单调递增，则，所以的值域为

【小问2详解】

且

选①②：，，

，

，，

，

则；

.

选①③：，

，

，，

，

,

选②③：，，

由余弦定理得

所以，则或（舍）

.

20. 在如图的空间几何体中，是等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）法一：取中点为，连接和，先证明平面平面，根据面面平行的性质定理证明结论；

法二：取中点，连接,根据线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）法一：连接，将问题转化为求与平面所成角，求得的长，再求出G点到平面的距离，根据线面角的定义可求得答案；

法二：建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空间角的向量求法，可求得答案.

【小问1详解】

法一：证明：取中点为，连接和，则，

平面，平面，

平面，

又，故,即四边形为平行四边形，

所以，平面，平面,

平面平面，

平面 平面.

又平面平面.

法二：取中点，连接,

分别是的中点，，

又，所以，

所以四边形为平行四边形，，

又平面平面，

平面.

【小问2详解】

法一：四边形为梯形，为中点，

，即四边形为平行四边形，，

要求与平面所成角，只需求与平面所成角，连接，

由题意可知，平面，

平面，

又平面平面平面，平面平面,

点到面的距离就是点到的距离.

平面，平面，故，

，

又，则,

点到的距离为，而是等腰直角三角形，

,故,

在三棱锥中，，

根据，则，即,

，

记点到平面的距离为，由，

所以与平面所成角的正弦值为.

法二：过点A作平面的垂线，以的方向为轴的正方向，

建立空间直角坐标系，如图所示:

设点，

，

，，

设平面的一个法向量为，

，

则，令，则，

又，

设与平面所成角为，

故，

故与平面所成角的正弦值为.

21. 已知曲线在轴上方，它上面的每一点到点的距离减去到轴的距离的差都是2.若点分别在该曲线上，且点在轴右侧，点在轴左侧，的重心在轴上，直线交轴于点且满足，直线交轴于点.记的面积分别为

（1）求曲线方程；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求曲线方程；

（2）首先利用几何关系将面积比值，转化为长度比值，再转化为坐标比值，再利用换元法，转化为求函数的值域.

【小问1详解】

曲线上每一点到点的距离减去到轴的距离的差都是2，即曲线上每一点到点的距离与到直线的距离相等，

所以曲线为抛物线，

；

【小问2详解】

设点，

为的重心

，

由相似三角形可知且，

可得，

令

，

因为，所以，故，

，

.

22. 已知函数.

（1）若在单调递增，求实数的取值范围；

（2）若，且，证明：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据函数在单调递增，可得在上恒成立，分离参数，即在恒成立，由此构造函数，利用求解函数的最值可得答案.

（2）判断的单调性，从而结合可判断a的范围，由此将证明的问题转化为构造新函数，利用函数的单调性解决证明不等式问题，从而可根据不等式以及的结构特征，分别采用分析的方法，构造函数，利用导数判断函数单调性，可证明结论.

【小问1详解】

由函数在单调递增，

求导得在上恒成立，

即在恒成立，令，则，

当，则在上单调递增，

，则在上单调递减，

而.

【小问2详解】

因为，则，

当时，恒成立，则在上单调递增，

此时不会满足，不合题意；

当时，的解集为的解集为，

即的单调增区间为，单调减区间为，

依题意：，解得，

设，则，要证，即证，即证，

即证，设，

则，即在上单调递减，有，

即，则成立，因此成立.

要证，即证，即证，即证，

即证，

由，即证，

令，则，

设，求导得，

即在上单调递增，则有，

即在上单调递减，而，

当时，，

则当时，成立，故有成立，

所以.

【点睛】难点点睛：关于利用导数证明不等式问题，难度较大，此时要能根据已知结合要证明的不等式的结构特征，难点就在于构造恰当的函数，利用函数单调性或者最值问题解决.