2023-2024学年辽宁省部分重点中学协作体高二（上）期中数学模拟试卷（d卷）

这是一份2023-2024学年辽宁省部分重点中学协作体高二（上）期中数学模拟试卷（d卷），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）过点且与直线平行的直线方程是
A．B．C．D．
2．（5分）已知直线与平行，则的值是
A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2
3．（5分）如图，空间四边形中，、分别是、的中点，则等
A．B．C．D．
4．（5分）过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线方程是
A．B．或
C．D．或
5．（5分）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为
A．B．C．D．
6．（5分）已知，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是
A．B．6C．D．
7．（5分）圆关于直线对称，则的最小值是
A．B．C．4D．
8．（5分）设平面向量、，其中，则下列判断错误的是 ．
A．向量与轴正方向的夹角为
B．的最大值为
C．与的夹角的最大值为
D．的最大值为1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．（5分）已知直线，，，以下结论正确的是
A．不论为何值时，与都互相垂直
B．当变化时，与分别经过定点和
C．不论为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点，则的最大值是
10．（5分）已知正四面体的棱长为2，、分别为、的中点．下列说法正确的有
A．该正四面体的体积为
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．
D．该正四面体的内切球体积为
11．（5分）在平面直角坐标系中，过直线上任一点作圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是
A．当四边形为正方形时，点的坐标为
B．的取值范围为，
C．不可能为钝角
D．当为等边三角形时，点的坐标为
12．（5分）在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，且同时满足下列两个条件：①，，且、和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②的模表示向量、的夹角）．在正方体中，有以下四个结论，正确的有
A．
B．
C．与共线
D．与正方体体积数值相等
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）直线与直线的交点坐标为 ．
14．（5分）过圆与直线的两个交点，且面积最小的圆的方程是 ．
15．（5分）在平面直角坐标系中，已知为等腰三角形，，，点在轴的正半轴上，则直线的方程为 ．
16．（5分）如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）如图，已知的顶点为，，．求：
（Ⅰ）边上的中线所在直线的方程；
（Ⅱ）边上的高线所在直线的方程．
18．（12分）已知直线．
（1）若直线的斜率小于2，求实数的取值范围；
（2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，求面积最大值及此时的方程．
19．（12分）已知，是实数，且．
（1）求的最值；
（2）求的取值范围；
（3）求的最值．
20．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，分别为，的中点，．
（1）证明：平面平面；
（2）若与所成角为，求二面角的余弦值．
21．（12分）已知四边形为直角梯形，其中，且，．现将三角形沿直线折起，使得．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
22．（12分）已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．
（1）已知、是一组“共轭线对”，求、的夹角的最小值；
（2）已知点、点和点分别是三条直线、、上的点、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标；
（3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围．
2023-2024学年辽宁省部分重点中学协作体高二（上）期中数学模拟试卷（D卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）过点且与直线平行的直线方程是
A．B．C．D．
【分析】设过点且与直线平行的直线方程为，把代入能求出结果．
【解答】解：设过点且与直线平行的直线方程为：
，
把代入，得．
过点且与直线平行的直线方程为．
故选：．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）已知直线与平行，则的值是
A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2
【分析】当时，求出两直线的方程，检验是否平行；当时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出的值．
【解答】解：由两直线平行得，当时，两直线的方程分别为和，显然两直线平行．
当时，由，可得．综上，的值是 3或5，
故选：．
【点评】本题考查由直线的一般方程求两直线平行时的性质，体现了分类讨论的数学思想．
3．（5分）如图，空间四边形中，、分别是、的中点，则等
A．B．C．D．
【分析】由已知中、分别是、的中点，根据三角形中位线定理及数乘向量的几何意义，我们可将原式化为，然后根据向量加法的三角形法则，易得到答案．
【解答】解：、分别是、的中点，
，
故选：．
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将化为，是解答本题的关键．
4．（5分）过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线方程是
A．B．或
C．D．或
【分析】当直线过原点时，由斜截式求出直线的方程，当当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入解得 值，即可得到直线的方程，由此得出结论．
【解答】解：当直线过原点时，再由直线过点，可得直线的斜率为，
故直线的方程为，即．
当直线不过原点时，设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距是，直线的方程为，
把点代入可得，解得．
故直线的方程为，即．
故选：．
【点评】本题主要考查用截距式求直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
5．（5分）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为
A．B．C．D．
【分析】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，求出与所成角的余弦值，再由同角三角函数基本关系式求解异面直线与所成角的正弦值．
【解答】解：如图，
底面，底面为正方形，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则，0，，，1，，，0，，，2，，
，，
，
异面直线与所成角的正弦值为．
故选：．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间向量的应用，是基础题．
6．（5分）已知，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是
A．B．6C．D．
【分析】如图所示，分别作出点关于直线的对称点，点关于轴的对称点，可得点，，，在同一条直线上，线段即为所求．
【解答】解：如图所示，分别作出点关于直线的对称点，点关于轴的对称点，
则点，，，在同一条直线上，线段即为所求，
易知：，
直线方程为：，
设点，
则，
解得，．点．
光线所经过的路程是，
故选：．
【点评】本题考查了互垂直的直线斜率之间的关系、对称点的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5分）圆关于直线对称，则的最小值是
A．B．C．4D．
【分析】求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可．
【解答】解：圆，
圆关于直线对称，
该直线经过圆心，
把圆心代入直线，得：
，，
，
当且仅当时取得最小值，
故选：．
【点评】本题考查代数和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和均值定理的合理运用．
8．（5分）设平面向量、，其中，则下列判断错误的是 ．
A．向量与轴正方向的夹角为
B．的最大值为
C．与的夹角的最大值为
D．的最大值为1
【分析】在中，取轴的正方向向量，0，，求出与的夹角即可判断命题正确；在中，计算，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在中，利用数量积求出与的夹角的最大值，即可判断命题正确；在中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．
【解答】解：对于，设轴正方向的方向向量，
则，
，，
向量与轴正方向的夹角为定值，故正确；
对于，，当且仅当、时取等号，
的最大值为1，故错误；
对于，由选项可知，
，
，
又，，，
与的夹角的最大值为，故正确；
对于，由，当且仅当、时取等号，
的最大值为1，故正确．
故选：．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．（5分）已知直线，，，以下结论正确的是
A．不论为何值时，与都互相垂直
B．当变化时，与分别经过定点和
C．不论为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点，则的最大值是
【分析】对于，利用两条直线垂直的充要条件，即可求解，对于，求出两条直线恒过的定点坐标，即可求解，对于，利用点关于直线的对称点，即可求解，对于，先求出两条直线的交点的坐标，再结合两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：对于，直线，，
又，
无论为何值，与都互相垂直，故正确，
对于，直线，
当时，，
则直线恒过定点，
直线，
当时，，
则直线恒过定点，故正确，
对于，设直线上任意一点，
则点关于直线的对称性点为，
将点代入直线，可得，与点在直线上矛盾，
对于，联立方程组，解得，
故，
则，
所以的最大值是，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了直线与直线的位置关系，动直线恒过定点问题，直线与直线垂直的充要条件的应用，直线关于直线的对称性问题，属于中档题．
10．（5分）已知正四面体的棱长为2，、分别为、的中点．下列说法正确的有
A．该正四面体的体积为
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．
D．该正四面体的内切球体积为
【分析】由四面体的性质，逐个判断即可得出答案．
【解答】解：对于：过点作平面于点，
由四面体性质可知，为的中心，
计算可得，
所以该四面体的体积为，故错误；
对于：取中点，连接，
由，可知异面直线与所成角即为，
在中，，，
由余弦定理计算可得，故正确；
对于：由于正四面体的相对棱互相垂直可知，
，则，故正确；
对于：设四面体的内切球半径为．
由等体积，可知，
该四面体的内切球体积为，故正确，
故选：．
【点评】本题考查线面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
11．（5分）在平面直角坐标系中，过直线上任一点作圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是
A．当四边形为正方形时，点的坐标为
B．的取值范围为，
C．不可能为钝角
D．当为等边三角形时，点的坐标为
【分析】利用已知条件，转化求解的坐标，判断的正误．通过距离公式判断的正误．求解角的范围判断的正误．判断点的个数判断的正误．
【解答】解：对于选项，由题意四边形为正方形，可知，原点到直线的距离为，
当四边形为正方形时，，，
此时直线，即，联立两直线得此时点的坐标为，所以正确．
对于选项，，当点的坐标为时，此时最短为1，
则的取值范围为，，所以正确．
对于选项，当点的坐标为时，此时，当点的坐标不为时，
由可知，的取值范围为，，，
大边对大角，，，所以正确．
对于选项，当时，存在两个点使得为等边三角形，所以错误．
故选：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
12．（5分）在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，且同时满足下列两个条件：①，，且、和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②的模表示向量、的夹角）．在正方体中，有以下四个结论，正确的有
A．
B．
C．与共线
D．与正方体体积数值相等
【分析】根据所给定义及正方体的性质一一计算可得．
【解答】解：设正方体棱长为1，
对于，
，
，故正确；
对于：由、和构成右手系知，与方向相反，
由模的定义可知，，
即，
，故不正确；
对于：在正方体中，、，而，平面，
又平面，，同理，
再由右手系知，与共线，故正确；
对于，
又正方体体积为1，
与正方体体积数值相等，故正确．
故选：．
【点评】本题考查空间向量的基本概念，理解新定义是解本题的关键，属中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）直线与直线的交点坐标为 ．
【分析】根据题意，联立两直线的方程，解之即可得交点坐标．
【解答】解：联立，
解得、，
与的交点坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的交点坐标，注意直线的交点与方程组的解之间的关系，是基础题．
14．（5分）过圆与直线的两个交点，且面积最小的圆的方程是 ．
【分析】根据题意可设所求圆的方程为：，再根据其圆心，在直线上建立方程，即可求解．
【解答】解：根据题意可设所求圆的方程为：
，
即，又该圆面积最小，
其圆心，在直线上，
，解得，
所求圆的方程为．
故答案为：为．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆系方程的应用，方程思想，属中档题．
15．（5分）在平面直角坐标系中，已知为等腰三角形，，，点在轴的正半轴上，则直线的方程为 ．
【分析】根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式即可求解直线方程．
【解答】解：因为，所以，即，
所以直线的方程为，即．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
16．（5分）如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为 ．
【分析】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，的坐标，利用距离公式，即可得到结论．
【解答】解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
设平面的法向量是，则
，2，，，1，
由，可得
取得，
，0，，
到平面的距离．
【点评】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）如图，已知的顶点为，，．求：
（Ⅰ）边上的中线所在直线的方程；
（Ⅱ）边上的高线所在直线的方程．
【分析】（Ⅰ）先求出线段的中点，再根据，用两点式求出边上的中线所在直线的方程．
（Ⅱ）先求出直线的斜率，可得边上的高线的斜率，再用点斜式求出边上的高线所在直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，线段的中点，再根据，
可得边上的中线所在直线的方程为，即．
（Ⅱ）由于直线的斜率为，故边上的高线的斜率为，
边上的高线所在直线的方程为，即．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式、两点式求直线的方程，属于基础题．
18．（12分）已知直线．
（1）若直线的斜率小于2，求实数的取值范围；
（2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，求面积最大值及此时的方程．
【分析】（1）利用斜率计算公式即可得出；
（2）求出与坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积计算公式和二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）直线过点和，且，
斜率，
即，等同于且且，
解得且或，
实数的取值范围是，，，；
（2）由题意可知且，解得，
则的面积，
当时，面积取最大值2，此时直线的方程为．
【点评】本题主要考查了直线的斜率公式及直线方程的求解，属于中档题．
19．（12分）已知，是实数，且．
（1）求的最值；
（2）求的取值范围；
（3）求的最值．
【分析】（1）首先设，利用直线与圆有交点，列式求的最值；
（2）首先设，转化为直线与圆有交点，列不等式求的取值范围；
（3）根据的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值．
【解答】解：（1）设，化为，
可知直线与圆有交点，圆心，半径为2，
有，解得，
可得的最小值为1，最大值为21；
（2）设，化为，
可知直线与圆有交点，
有，解得或，
故的取值范围为；
（3）的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离，
圆的圆心到坐标原点的距离为，
故的最小值为，最大值为．
【点评】本题考查了转化思想、直线与圆的位置关系，属于中档题．
20．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，分别为，的中点，．
（1）证明：平面平面；
（2）若与所成角为，求二面角的余弦值．
【分析】（1）通过线线垂直证明线面垂直，从而可证面面垂直；
（2）通过与所成角为，可求的长，建立空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：平面平面平面．
（2）解：易证：：连接，
，，四边形是平行四边形，，
所以是异面直线与所成的角，
则，所以．
以为坐标原点，，，分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则：，1，，，1，，，0，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则有，令，则，所以．
又平面的法向量，所以，．
又因为二面角是钝二面角，
所以二面角的余弦值为．
【点评】本题考查面面垂直的证明，二面角的求法，属中档题．
21．（12分）已知四边形为直角梯形，其中，且，．现将三角形沿直线折起，使得．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【分析】（1）设，结合已知可求出，，再取中点，连接，，则易得，再由勾股定理证得，从而可得平面，从而可得平面平面；
（2）建系，将二面角的平面角转化为两半平面的法向量所成角，再利用向量夹角公式计算即可求解．
【解答】解：（1）证明：设，
则，，又由题意易得，
取中点，连接，，则，
又由题意易得，，
，又，
，
，又，，
平面，又平面，
平面平面；
（2）过作，垂足点为，过作的平行线交于点，
则由平面几何知识易得为的中点，且，
分别以，，所在直线建立如图的空间右手直角坐标系，
则根据（1）可得，0，，，1，，
，0，，，0，，
，1，，，，
设平面与平面的法向量分别为，，
则，，
取，3，，，，，
所以，
，，
设二面角的平面角为，又两法向量指向背离于二面角，
．
【点评】本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法解二面角，向量夹角公式的应用，属中档题．
22．（12分）已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．
（1）已知、是一组“共轭线对”，求、的夹角的最小值；
（2）已知点、点和点分别是三条直线、、上的点、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标；
（3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围．
【分析】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到，的夹角的最小值；
（2）设直线，，的斜率分别为，，，可得，求解可得，，的值，进一步得到直线与直线的方程，联立得的坐标；
（3）设，，其中，利用两点间的距离公式可得原点到直线，的距离，变形后利用基本不等式求解．
【解答】解：（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
则，
当且仅当，即时取得最小值，
的最小值为，
则两直线的夹角的最小值为；
（2）设直线、、的斜率分别为、、，
则、、，
解得、、或、、，
当、、时，直线的方程为，直线的方程为，
联立得、，
，
当、、时，直线的方程为，直线的方程为，
联立得得、，
；
（3）由题意可设，
即，
，
即，其中，
，
（当且仅当，即时等号成立），
，
．
【点评】本题考查两直线夹角与到角公式的应用，考查点到直线距离公式的运用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/10/30 11:16:46；用户：难得糊涂；邮箱：hncjs191@xyh.cm；学号：23578998