2023年高考数学押题卷03（甲卷理科）（含考试版、参考答案、全解全析、答题卡）
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2023年高考押题预测卷03【全国甲卷】
理科数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目）
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ，i为虚数单位， 则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若执行下面的程序框图，则输出的（ ）
A．有6个值，分别为6，10，28，36，66，78
B．有7个值，分别为6，10，28，36，66，78，91
C．有7个值.分别为6，10，28，36，66，78，120
D．有8个值，分别为6，10，28，36，66，78，120，136
4．校园环境对学生的成长是重要的，好的校园环境离不开学校的后勤部门.学校为了评估后勤部门的工作，采用随机抽样的方法调查100名学生对校园环境的认可程度（100分制），评价标准如下：
中位数 |
|
|
| |
评价 | 优秀 | 良好 | 合格 | 不合格 |
2023年的一次调查所得的分数频率分布直方图如图所示，则这次调查后勤部门的评价是（ ）
A．优秀 B．良好 C．合格 D．不合格
5．如图，在梯形ABCD中，，，，将△ACD沿AC边折起，使得点D翻折到点P，若三棱锥P-ABC的外接球表面积为，则（ ）
A．8 B．4
C． D．2
6．双曲线的离心率为，其渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A． B． C．2022 D．2023
8．一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为4，下底长为2，腰长为的等腰梯形，则该四棱台的体积为（ ）
A． B．
B．C．28 D．
9．某校为深入开展劳动教育，通过学校的电子屏幕播放“我的校园我打扫”，大力宣传劳动的价值意义，使学生树立正确的劳动观某日甲、乙、丙、丁四名同学值日打扫卫生，卫生区域划分为，，，四块，每个区域安排一个同学去打扫，其中甲不去打扫区域，乙不去打扫区域，则不同的安排方法的种数为（ ）
A． B． C． D．
10．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）
A． B． C． D．
11．将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
12．设函数，其中，是自然对数的底数（…），则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知单位向量，满足，则，夹角的余弦值为__________.
14．若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为______.
15．已知函数的图象的相邻两个对称轴之间的距离为，且恒有，若存在成立，则的取值范围为__________．
16．已知函数，，若时，恒成立，则实数的取值范围是____.
三、解答题（共5题，每小题12分，共60分，请写出必要的文字说明或解答过程）
17．的内角的对边分别为，，且______．
(1)求的面积；
(2)若，求．
在①，②这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD，若，，E，F分别为，的重心．
(1)求证：平面PBC；
(2)当时，求平面PEF与平面PAD所成角的正切值．
19．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，此次大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在树人中学团委的组织下，高二年级各班团支部举行了“学习二十大，做有为青年”的知识竞赛活动，经过激烈竞争，高二（1）班（以下简称一班）和高二（3）班（以下简称三班）进入了最后的年级决赛，决赛规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A，B两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A题库每题20分，B题库每题30分，一班能正确回答A、B题库每题的概率分别为、，三班能正确回答A、B题库每题的概率均为，且每轮答题结果互不影响.
(1)若一班前两轮选A题库，后三轮选B题库，求其总分不少于100分的概率；
(2)若一班和三班在前两轮比赛中均选了B题库，而且一班两轮得分60分，三班两轮得分30分，一班后三轮换成A题库，三班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X，求X的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？
20．平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线分别交轨迹于点和，求四边形面积的最小值.
21（12分）．已知函数.
(1)若在点处的切线方程为，求实数的值；
(2)设，在（1）的条件下，若满足，求证：.
四 选做题（请从22.23两题中选做一题，写出必要的文字说明与证明过程，若两题全做，则以22题为准，每道题目10分）
22．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求的极坐标方程;
(2)A点极坐标为，为上的一点，且满足，求.
23．已知函数.
(1)解不等式;
(2)若,对任意,存在,使得成立,求实数的取值范围.
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