专题2-2 比大小归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）

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 专题2-2 比大小归类
目录
讲高考 1
题型全归纳 3
【题型一】“中间值”法1：正负以及1分界型 3
【题型二】“中间值”法2：非特殊数为中间值 4
【题型三】利用函数图像交点比较大小 6
【题型四】作差比较法 9
【题型五】做商比较法 11
【题型六】指数函数单调性与指数运算“放大”型 13
【题型七】利用对数运算凑“同构” 15
【题型八】等式与方程形式的构造比大小 17
【题型九】利用函数奇偶性、对称性单调性等比大小 19
【题型十】构造函数求导法 21
【题型十一】三角函数值之间的比大小 23
【题型十二】放缩法 25
【题型十三】超难构造比大小 27
专题训练 29

讲高考
高考真题
1．已知，，，则下列判断正确的是（    ）
A． B． C． D．
2021年全国新高考II卷数学试题
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
2．设，，．则（    ）
A． B． C． D．
2021年全国高考乙卷数学（理）试题
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0 所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b 综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减

令
，即函数在（1，3)上单调递增

综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

3．若，则（    ）
A． B． C． D．
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
【答案】A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
4．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）
A．a 2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
【答案】A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.

题型全归纳
【题型一】“中间值”法1：正负以及1分界型
【讲题型】
例题1.设，，，则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数的性质，比较的大小即可.
【详解】
由，即，
又，可得，即，
∴.故选：D
例题2.已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b
【答案】A
【分析】
利用指数函数及对数函数的性质即得.
【详解】
∵，，，
∴.故选：A.
【讲技巧】
解答比较函数值大小问题，常见的基础思路之一是判断各个数值所在的区间，这样的区间划分，最基础的是以正负划分，正数则以1为区间端点划分。

【练题型】
1.设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据指数函数的单调性和幂函数的单调性比较大小.
【详解】是单调递减函数， ，即，
又在为增函数， ，即。故选：C
2.设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据指数函数、幂函数的性质确定范围并比较大小，再判断的范围，即可比较，，的大小关系.
【详解】
在上单调递增，，
又在上单调递减，，，,
又，.故选：D
3.三个数，，的大小关系为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
试题分析：因为，，，所以．故选D．
考点：比较大小．
【题型二】“中间值”法2：非特殊数为中间值
【讲题型】
例题1.若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数的单调性，分别计算，，的范围即可比较大小.
【详解】
因为，所以，即，
可得，即，
因为，所以，即，
所以，又，可得，
因为，故
所以，即，
所以，即，所以。故选：D．
例题2.已知，，，，则、、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用对数函数的单调性比较、、与的大小关系，利用中间值法判断出、的大小关系，综合可得出、、、的大小关系.
【详解】
，，，
，，则，
，，则，
因此，.故选：D.
【讲技巧】
寻找非0、1的中间变量是难点。中间变量的选择首先要估算要比较大小的两个值所在的大致区间。然后可以对区间使用二分法（或者利用区间内特殊值，或者利用指对互化）寻找合适的中间值。

1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间
2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值

【练题型】
1.若，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数的性质可得，，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出的大小关系，分别与中间值比较，得出，分别与中间值比较，得出，综合即可选出答案.
解：由题意，，，，即，，
，而，所以，
，而，即，又，，
而，则，即，同理，，，
而，则，即，综上得：，
所以.故选：D.
2.若，则之间的大小关系是 __________.
【答案】
【详解】
注意到.
下面证明.
，
.
故.
3.设，，，则，，的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质及放缩法有、，可比较，的大小，再由并构造，根据其单调性即可确定，的大小.
【详解】由题意，，，∴，
由，则，而在上递增，
∴，故，即，∴.故选：C


【题型三】利用函数图像交点比较大小
【讲题型】
例题1.已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为(    )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据可得，由此可构造函数，根据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；变形为，利用函数与函数的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围，从而判断b与c的大小.由此即可得到答案．
【详解】，
故令，则，．
易知和均为上的增函数，故在为增函数．
∵，故由题可知，，即，则．
易知，，
作出函数与函数的图象，如图所示，

则两图象交点横坐标在内，即，，．故选：B．
【讲技巧】
幂指对函数，可以借助函数之间的图像交点，以及函数与坐标轴的交点，函数的区间值域，来寻找特殊值之间的大小位置关系
【练题型】
1.已知则，，的大小关系是（　　 ）。
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可知，令，可得，，画出函数的图像，结合的范围，即可比较a,b,c的大小。
【详解】
由题意知，令，。

函数的图像如下，

当，由图像可知，即 ，故答案选B。
2.若正实数a，b，c满足，，，则正实数之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意可知，正实数分别是方程，和在内的根，再根据零点的存在定理，分别可求出正实数的取值范围，由此即可得到结果.
【详解】
∵与的图象在只有一个交点，∴在只有一个根，设为a．
令，∵，，，
∴．
∵与的图象在只有一个交点，∴在只有一个根，设为b．
令，∵，，
∴，∴．∵与的图象在只有一个交点，
∴在只有一个根，设为c．
令，∵，，，
∴．∴．故选：A.
3.已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
画出，，，的图像，根据图像得到答案.
【详解】
画出，，，的图像，如图所示：

根据图像知：.故选：D.
【题型四】作差比较法
【讲题型】
例题1.设，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由作差比较法和不等式的性质，可得结论．
【详解】
解：由，可得，，，又，可得；
又，可得．所以．故选：A．
例题2.已知，，，则，，的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用作差法比较a,c大小，再分别比较b,c与的关系即可求解
【详解】
a-c==<0,故
又故3>,故,即b>,
又＜故,故即c＜,所以b＞c,综上，
故选B.
【讲技巧】
差比法：作差，变形，判断正负。
其中难点在于恒等变形的方向和变形的技巧，变形的目的是为了判断正负，所以可以因式分解，或者计算化简，或者放缩为具体值，准确计算找对变形方向是关键。


【练题型】
1.实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得，，，然后与作差结合基本不等式比较大小，构造函数，可判断其在上单调递减，则，化简可得，则，则可比较出与的大小即可
【详解】由题意得，，，则
，
因为，
所以，
所以，
设，则，当时，，所以在上单调递减，所以，即，所以，
所以，所以，所以，所以，
因为，所以，所以，故选：B
2.已知，，，则，，的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用作差法比较a,c大小，再分别比较b,c与的关系即可求解
【详解】a-c==<0,故
又故3>,故,即b>,
又＜故,故即c＜,所以b＞c,综上，
故选B.
3.已知分别满足下列关系：，则的大小关系（从小写到大）_______.
【答案】
【分析】先分别求出，与可通过作差可比较大小，可以通过放缩再和作商比较出大小.
【详解】因为，所以，
=
，
所以即，。
所以，故有
故答案为：
【题型五】做商比较法
【讲题型】
例题1..已知，，，则，，的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先由题，易知，而，再将b，c作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.
【详解】因为，故。

所以 ，即 故选D
例题2.已知，，，则，，的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先由题，易知，而，再将b，c作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.
【详解】因为，故。

所以 ，即 故选D
【讲技巧】
商比法：
两个正数a，b，如果，运用商比法，要注意两个数是正数还是负数。

【练题型】
1.已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】对作商比较，再通过构造函数，利用导数判断其单调性，可比较的大小，从而可得结论.
【详解】因为，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，
所以，
所以，即，
综上，故选：AC
2.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由，设，求出导函数得出单调性，从而可得，即，得出大小，同理可得大小，得出答案.
【详解】∵，构造函数，，
令，则，∴在上单减，∴，
故，所以在上单减，∴，
同理可得，故，故选：C.
3.已知0 A．m 【答案】A
【分析】
由给定条件可得，，再用作商法比较m，n的大小即可.
【详解】
因00，
又m<0，n<0，则，于是得m 【题型六】指数函数单调性与指数运算“放大”型
【讲题型】
例题1.已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当时的大小，利用特值法即可求得结果.
【详解】
因为，函数是单调增函数，
所以比较a，b，c的大小，只需比较当时的大小即可.
用特殊值法，取，容易知，
再对其均平方得，
显然，
所以，所以
故选：B.
例题2.若，则三者大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先借助中间量“2”比较出间的大小关系和间的大小关系，再将a、b分别化为，进而化为根式即可比较出a、b的大小关系，最后得到答案.
【详解】
因为，所以，
又因为，所以a>b，
综上：.故选：D.
【讲技巧】
指、对、幂大小比较的常用方法：
（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
（2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
（3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.

【练题型】
1..已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先求出、，即可判断，再利用作差法判断，即可得到，再判断，即可得解；
【详解】
解：由，所以，可知，又由，有，又由，有，可得，即，故有.故选：B
2.设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用指数函数及幂函数的单调性即得．
【详解】
因为，，，由指数函数及幂函数的单调性可得，
∴，即.
故选：A．
3.已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据幂函数的单调性可得，根据对数函数的单调性可得，即可比较.
【详解】
依题意，，函数在上单调递增，而，
，即，
函数在上单调递增，且，则有，即，
．故选：C.
【题型七】利用对数运算凑“同构”
【讲题型】
例题1.设，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据对数的运算性质和对数函数的单调性，单调，再结合指数函数和对数函数的性质，求得且，即可求解.
【详解】
由对数的运算性质，可得，
又由函数在定义域为单调递增函数，所以，
又因为，且，
所以，即.故选：C.
例题2.已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
构造函数，利用导数判断函数的单调性，可得，从而可得，再由在上单调递增，即可得出选项.
【详解】构造函数，则，当时，，故在上单调递减，
所以，所以，
所以，，因为在上单调递增，所以，
同理，所以，故选：B

【讲技巧】
对数公式运算
对数运算公式比较多，再加上换底公式，构成了丰富多彩的运算、转化、化归技巧。做为对数值所独有的技巧：
1、类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数据，转化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小
2.可以利用换底公式等运算公式，把要比较大小的数（或者式子）转化为具有相同结构的对数（或者对数式子），再借助中间数，或者差比法、商比法等来比较大小

【练题型】
1.若，，，则、、的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据对数函数的性质可得，，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出的大小关系，分别与中间值比较，得出，分别与中间值比较，得出，综合即可选出答案.
【详解】解：由题意，，，，
即，，，
而，所以，，而，
即，又，，
而，则，即，同理，，，而，则，即，
综上得：，所以.故选：D.
2..､､的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
应用对数的运算性质可得、、，进而比较大小关系.
【详解】
，，
，∵，
∴，故选：C.
3.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
把c用对数表示，根据式子结构，转化为比较的大小，分别与1和比较即可.
【详解】
，，由得，.
因为，所以，，即.
下面比较a、b的大小关系：
（其中），，所以
所以所以.故选：C.

【题型八】等式与方程形式的构造比大小
【讲题型】
例题1.已知，，，其中，，，则a，b，c的大小关系为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，并求，利用函数的图象去比较三者之间的大小顺序即可解决.
【详解】将题目中等式整理，得，，，
构造函数，，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
函数的大致图象如图所示．

因为，，，且，，，
则由图可知，，所以．故选：A．
例题2.已知实数x，y，，且满足，，则x，y，z大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，可得，构造函数，借助函数单调性比较大小即得.
【详解】因，，则，即，
令，则，函数在上单调递增，有，
即，从而当时，，令，，在上单调递减，
则由，得，
所以.
故选：A
【练题型】
1.若，，，则a，b，c与1的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件构造函数，并求其导数，判断该函数的单调性，据此作出该函数的大致图象，由图象可判断a，b，c与1的大小关系.
【详解】令，则
当时，，当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增,
而 ，由可知 ，
故作出函数大致图象如图：
由图象易知，，故选：C.．
2.设实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对于和的比较中，分别设为函数，求导并研究其函数的单调性，再与特殊值的函数值比较大小，从而知 与中介值 的大小，比较出之间的大小关系.
【详解】因为且，所以
令，则 令得
当时，所以在单调递增，
且又因为，所以
令则则在上单调递增，
且又因为，所以
所以．
故选B.
3.实数x、y满足则x、y的大小关系是___________．
【答案】##
【分析】比较x、y的大小关系，在等式中比较x、y的大小关系，利用假设法结论正确的答案，结论错误则结果与假设的相反.
【详解】假设．由①知，由于，则，从而．设，则在上递减，且，又，所以．于是．
由②知，，又，所以，即．
类似上面有．于是与矛盾故．
故答案为：.
【题型九】利用函数奇偶性、对称性单调性等比大小
【讲题型】
例题1.已知是定义域为的奇函数，为偶函数，当时，，若，，，则，，的大小关系是________.
【答案】##
【分析】
先分析得到函数的最小正周期为4，再利用函数的周期性求值得解.
【详解】
解：由题得，
所以，
所以，
所以函数的最小正周期为4.
所以，
，
.
所以.故答案为：
例题2.已知函数满足对任意的都有恒成立，若则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可设，则有，再由定义法判断函数的单调性可得函数在为减函数，再判断大小即可.
解：设， 由已知有：任意的都有恒成立，
即函数在为减函数，所以，
由可得，即， 所以，故选D.
【练题型】
1.已知函数，若，则a、b、c之间的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，求出函数的定义域，结合函数的解析式可得，即函数为偶函数，设，利用复合函数单调性的判断方法分析可得在，上为减函数，又由的值，可得在区间，上，，由此可得在区间，上为增函数，据此分析可得答案．
【详解】
根据题意，函数，其定义域为，
则，
即函数为偶函数，
设，有，
设，则，
当时，为减函数且，
而在为增函数，
则在，上为减函数，
又由，则在区间，上，，
又由，则在区间，上为增函数，
又由，
则有，
故选．
2.已知函数定义在上的函数满足：，当，，则与的大小关系为
A． B．
C． D．不能确定
【答案】A
【分析】
根据题意，求得在上单调递减，在上单调递增，又，可得函数为偶函数和的周期为4，可得，，可得答案.
【详解】
由，知函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以函数为偶函数.由，得函数的周期为4.
又 ，
，
而，，且，
所以.故选A.
3.已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若 ，则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
化简，根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出 ，的取值范围，结合的单调性与奇偶性即可得结果.
【详解】，是偶函数，，，，
，，，又因为在上递减，
，，即，故选A.


【题型十】构造函数求导法
【讲题型】
例题1.已知，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小．
【详解】
对于的大小：，，明显；
对于的大小：构造函数，则，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
即
对于的大小：，，，
故选B．
例题2.设，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
构造函数，得，判断函数在的单调性，结合减函数的性质与不等式性质，判断出，， 的大小关系．
解：设，则，当时，，故在为减函数，
，，则，故；又，，即，故，．故选：B．
【讲技巧】
常见的构造函数求导思维：在于转化过程中，“分参”→“同构”，得新函数，求导函数寻找单调性

【练题型】
1.设，已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用导函数可得的单调性，从而可比较a，c的大小，设，由幂函数的单调性可比较b，c的大小，从而可得选项.
【详解】
解：，当时，，则，所以在上单调递减，
因为，所以，所以，所以，所以，
设，则在上单调递增，
又，所以，则，
所以，故选：D.
2.设，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】①由题意得；
②由于，
令，则，∴区间上单调递减，
∴，即，因此，
故，所以，可得；
③由于，
令，则，∴区间上单调递增，
∴，即，∴，故．综上可得．选B．
3.设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
分析：由，得，，所以，构造函数，利用单调性可得，从而得.
详解：易知，所以.令，
当时，，单调递增.，即，所以，即.
所以.又，所以.综上：.故选A.
【题型十一】三角函数值之间的比大小
【讲题型】
例题1.已知函数f(x)=sin(cosx)-x与函数g(x)=cos(sinx)-x在区间(0， )都为减函数，设x1,x2,x3∈(0， )，且cosx1=x1，sin(cosx2)=x2，cos(sinx3)=x3，则x1,x2,x3的大小关系是（ ）
A．x1 【答案】C
【解析】
先证明当(0，)时，.
令，所以在(0，)上单调递减，
所以,即.
由，所以，即
又cos(sinx3)=x3，即，且g(x)在区间(0，)都为减函数，所以.
同理：.即.
又，且f(x)在区间(0，)都为减函数，所以.
综上：.故选C.
例题2.已知则的大小关系是__________．
【答案】
【分析】
构造函数,求导分析单调性即可比较出a与b的大小，结合三角函数线可得出b与c的大小.
【详解】
令，则 当0 故答案为.
【讲技巧】
三角函数与三角函数值比较大小：
1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小
2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当(0，)时，
3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小
【练题型】
1.若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
因为本题是选择题，所以可以用特值法排除错误的选项，进而得到正确答案.
【详解】因为，所以取，则，，显然，故可排除选项A和B；
又，故可排除选项C.故选：D.
2.已知，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据正弦函数，对数函数，指数函数的单调性确定、、的范围，即可判断出大小关系．
【详解】，，即，，，
，，即，，故选：D.
3.已知0<θ<，设a＝sinθ，b＝cosθ，c＝tanθ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b
【答案】C
【分析】
由，可得，利用，的单调性分析可得，即，即得解
【详解】∵，∴，
又函数在区间上单调递减，，
函数在区间上单调递增，，
∴，即故选：C
【题型十二】放缩法
【讲题型】
例题1.若，，，则它们的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断大小，再分别判断和的大小即可
【详解】因为，故.又，，故.再分析和的大小，因为，，故，又，故，故.综上有
故选：D
例题2.若，，，则的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式和对数的运算法则得到，再利用指数函数单调性结合放缩法得到即可求解．
【详解】，，，
，，，
，，
，故选：．
【讲技巧】
放缩：
1.借助幂指对函数的单调性进行放缩。
2.常用一些放缩公式：
;
当时取等;
,当时取等,

【练题型】
1.已知，，则a，b，c的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数的性质比较大小
【详解】先比较，易知,故，即
又，故时，时
故， 而，故，有
故选：A
2.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用对数运算的性质将化简为，从而和c比较大小，同理比较a,c的大小关系，再根据两个指数幂的大小结合对数的运算性质可比较a,b大小，即可得答案.
【详解】由题意：，，故．
又，即，所以，即，
因为，所以．因为，故，即，
所以，所以，所以，所以，故选：B.
3.已知，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合已知条件，比较和的大小，进而可得到和的大小，然后利用介值比较与的大小，利用介值和对数函数性质可得和的大小，进而得出答案.
【详解】由，，可知，
又由，从而，可得，
因为，所以；因为，从而，即，
由对数函数单调性可知，，
综上所述，.故选：B.
【题型十三】超难构造比大小
【讲题型】
例题1.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】与可看作与，从而可构造函数比大小，
与可看作与，从而可构造函数比大小.
【详解】构造函数，则，令，则．令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，故，因此在上单调递增，所以．令x＝0.4，则，所以，即a＜b．
构造函数，则，因此在上单调递减，所以，令x＝0.4，则，所以，所以c＜a．故b＞a＞c．
故选：C．
例题2.已知，则的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，，利用导函数得到其单调性，从而得到，
当且仅当时等号成立，变形后得到，当时，等号成立，令后得到；
再构造，利用导函数得到其单调性，得到，当且仅当时，等号成立，
变形后得到，当时，等号成立，令得到，从而得到.
【详解】构造，，
则，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故，当且仅当时等号成立，
因为，所以，
当时，等号成立，
当时，，所以
构造，则，当时，，当时，，
所以在单调递增，在上单调递减，
故，所以，当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当时，等号成立，
令，则，所以，
综上，故选：
【练题型】
1.已知，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，，求其单调性，从而判断，，的大小关系.
【详解】构造，，
，
在时为减函数，且，
所以在恒成立，
故在上单调递减，
所以，
即，所以，即.
故选：D
2.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数可得，进而可得，可得，再利用函数，可得，即得.
【详解】令，则，∴在上单调递增，
∴，，，
∵，
∴，故，
设，则，
所以函数在上单调递增，
由，所以时，，即，
∴，
又，
∴，故.故选：B.
3.已知，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先构造函数，求导确定函数单调性，即可判断的大小.
【详解】令，则，
显然当时，是减函数且，故是减函数，
，即，
可得，即.
故选：A.



一、单选题
1．已知，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】比较的大小，可以借助中间值以及对数函数的单调性，利用对数恒等式求值即可与比较大小.
【详解】因为，，所以，又，
所以.
故选：B.
2．已知，且是方程的两根，则的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】画出函数图象，数形结合进行求解.
【详解】为二次函数，开口向上，
因为是方程的两根，
故为图象与轴的两个交点横坐标，
其中，
画出图象如下：

显然，
故选：C
3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性即可比较大小.
【详解】解：，，，
，
故选：B.
4．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答.
【详解】因，则，而，
又，即有，因此，B正确.
故选：B
5．已知，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数及幂函数的单调性比较的大小，分别比较与的大小即可得的大小，从而得答案.
【详解】解：因为在R上为单调递减函数，所以，又因为在上为单调递增函数，所以，即，所以，即，
又因为，又因为，，
即有所以，即，所以，即，
综上所述：.故选：A.
6．已知定义在上的函数，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性和对数值的大小即可判断.
【详解】因为定义在上的函数，
对于，都有，
所以函数为上的奇函数，
当时，函数，则，
所以函数在上单调递增，
因为，，
由对数函数的性质可知：，
所以，也即，
又因为，所以，则有，
所以，
故选：.
7．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数得出大小，又即得出结论.
【详解】构造函数，则，
在上恒成立，则在上单调递减，故，则，
，则，
由对于函数，恒成立，
所以， 即在上恒成立.
所以，（注： ）
所以，
故选：C
8．已知，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，，求其单调性，从而判断，，的大小关系.
【详解】构造，，
，
在时为减函数，且，
所以在恒成立，
故在上单调递减，
所以，
即，所以，即.
故选：D
【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.

二、多选题
9．下列大小关系中正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】对A，正确；对B，借助中间量可知正确；对C，由换底公式而，所以C错误；对D，借助中间值1即可比较出结果；
【详解】对于A，因为，而是增函数，所以，即，故A正确；
对于B，根据指数函数为单调递减可知，，
又由幂函数为单调递增可知，
所以，故B正确；
对于C，由换底公式可知，
根据对数函数单调性可知， ,
所以，故C错误；
对于D，由指数函数单调性可知，所以，故D正确；
故选：ABD.
10．若，，，则下列a，b，c的大小关系表达正确的为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用对数运算性质得到将化为底相同的对数，然后利用对数函数的相关性质得到，而，最终比较出三者大小关系.
【详解】，，
所以根据对数函数的图像与单调性知，
即，
，所以，
故选：AD.
11．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】对作商比较，再通过构造函数，利用导数判断其单调性，可比较的大小，从而可得结论.
【详解】因为，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，
所以，
所以，即，
综上，
故选：AC
12．已知实数、、满足，则、、的大小关系可能成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】设，作出函数、、的图象，分类讨论直线的位置，可得出合适的选项.
【详解】设，作出函数、、的图象.

设函数与函数图象的交点为点，函数与函数图象的交点为点.
①当直线在点的上方时，由图象可得，A选项满足条件；
②当直线在点的下方，在点的上方时，由图象可得，B选项满足条件；
③当直线在点的下方时，在原点的上方时，由图象可得，C选项满足条件.
故选：ABC.

三、填空题
13．己知，设，则a，b，c的大小关系为_______．（用“”连接）
【答案】
【分析】根据对数运算及对数函数的性质判断即可．
【详解】解：由得，即，，
又，
，，，
，综上：．故答案为：．
14．设，则a，b，c的大小关系是_____．（用“”连接）
【答案】
【分析】构造函数,易得单调递增，即可得到结果.
【详解】
由幂函数在为减函数知在上单调递增，
故，
即.故答案为：.
15．设，则a，b，c大小关系是____________．
【答案】##．
【分析】通过构造函数，利用导数来研究函数的单调性，再利用单调性比较大小.
【详解】令，，则，
令，得，即在上单调递增，，
∴，即，即，
令，则，
令得，即在单调递减，
因为，所以，即，
所以，即.所以.故答案为：.
16．设函数，，，，，记，.则，，大小关系是______.
【答案】
【分析】根据所给函数解析式,结合的表达式，代入化简.由等差数列求和公式可求得并可得与1的大小关系.将代入，由三角函数性质化简,并与特殊角的三角函数值比较,可与1比较大小,即可比较,,大小.
【详解】因为函数，，
则，
所以.
因为，
则
，
所以
，
因为，
则
.
因为,，
所以，
而，
所以即，
综上所述,，
所以，
故答案为: .
【点睛】本题考查了函数新定义的应用，函数式的化简变形及等差数列求和的应用,利用中间值法比较大小，化简过程繁琐，属于难题.