2023届贵州省高三333高考备考诊断性联考（二）数学（文）试题含解析

2023届贵州省高三333高考备考诊断性联考（二）数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数的单调性解出集合A，根据补集的定义和运算求出B的补集，结合交集的定义和运算即可求解.

【详解】由，得，∴，

又或，

∴

故选：B．

2．若复数z满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的乘方运算和除法运算法可得，再求得即可.

【详解】由复数乘方运算可得，

所以，则，

故选：D．

3．为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（    ）

A．样本中不愿意选该门课的人数较多

B．样本中男生人数多于女生人数

C．样本中女生人数多于男生人数

D．该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数

【答案】B

【分析】根据等高条形图直接判断各个选项即可.

【详解】对于A，由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课，

则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误；

对于BCD，由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大，

所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，CD错误.

故选：B．

4．已知实数满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由约束条件可作出可行域，将问题转化为点与可行域内的点连线斜率的最大值求解问题，结合图象可求得结果.

【详解】由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，

则，，，设点，，其中在可行域内，

，

由图可知：当在点时，直线斜率最大，.

故选：D．

5．若双曲线C：的离心率为2，C的一条渐近线被圆所截得的弦长为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】A

【分析】先将圆的方程化为标准方程，得到圆心和半径，从而得到双曲线的右焦点，利用点到直线的距离公式，通过勾股定理，求解直线和圆的弦长即可.

【详解】由题可知，离心率，得，

双曲线C：的一条渐近线不妨为，即，

圆的圆心为，半径为，可得圆心到直线的距离为，弦长为.

故选：A．

6．在平行四边形ABCD中，，，，，则（    ）

A．2 B．－2 C．4 D．－4

【答案】B

【分析】以为基底表示，代入向量的数量积公式计算即可.

【详解】

  如图，∵，，，

∴，

∴.

故选：B．

7．，下列说法正确的是（）

①为偶函数；

②的最小正周期为；

③在区间上先减后增；

④的图象关于对称．

A．①③ B．①④ C．③④ D．②④

【答案】A

【分析】由题可得，然后结合函数的性质逐项分析即得.

【详解】由辅助角公式可得：，

对①，由题可知，为偶函数，①正确；

对②，最小正周期，故②错误；

对③，令，，在区间先减后增，复合函数同增异减易知，③正确；

对④，，所以关于点对称，④错误.

故选：A．

8．镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为（    ）

A．6m B．5m C．4m D．3m

【答案】A

【分析】设建筑物底部到第一次观察时镜面位置之间的距离为，根据光线反射性质列出关于的方程组，求解即可.

【详解】

如图：设建筑物最高点为A，建筑物底部为，第一次观察时镜面位置为，第一次观察时人眼睛位置为C处，第二次观察时镜面位置为，

设到之间的距离为，

由光线反射性质得，所以，即，①

同理可得，②

①②两式相比得，解得，

代入①得，

故选：A．

9．将4个A和2个B随机排成一行，2个B不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别计算出4个A和2个B随机排成一行的种数以及2个B不相邻的种数，可利用插空法，然后由古典概型的概率公式求解即可．

【详解】4个A和2个B随机排成一行，可利用插空法，4个A产生5个空，

若2个B相邻，则有种排法，若2个B不相邻，则有种排法，

共有15种不同的排法.

所以2个B不相邻的概率为.

故选：C．

10．已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将问题转化为，利用导数求在上的最小值、在上的最小值，即可得结果.

【详解】对任意，，都有不等式成立，

，，，则在区间上单调递增，

∴，

，，，则在上单调递增，

，，则在上单调递减，

，，故，

综上，.

故选：C

11．如图，在直三棱柱中，，，，点P在棱上，且P靠近B点，当时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据几何关系利用勾股定理可以求出，进而可以求出结果.

【详解】在中，由余弦定理可得，

解得，

，

由得：，

解得：或，又因为，且P靠近B点，所以．

由正弦定理可得，外接圆半径，

三棱锥P-ABC的外接球半径R满足：，

∴外接球表面积，

故选：D．

12．已知是数列的前n项和，，，当数列的前n项和取得最大值时，n的值为（    ）

A．30 B．31 C．32 D．33

【答案】C

【分析】由递推式得到，结合等差中项知为等差数列，进而写出其通项公式并判断单调性，最后判断上各项的符号，即可确定前n项和取得最大值时n的值.

【详解】①，则②，

②－①得：，即，

则数列为等差数列，且，

由得：，则公差，

所以，数列单调递减，而，，，......，

设，当时，，且，，

当时，恒成立，显然，，

即数列的前32项和最大.

故选：C

二、填空题

13．已知等比数列的前3项和为168，，则____________．

【答案】24

【分析】根据等比数列通项及其前n项和的通项，设的公比为q，代入计算，解得 即可求解.

【详解】设等比数列的公比为q，则即，解得，∴．

故答案为：24.

14．在平面直角坐标系xOy中，角θ是以O为顶点，Ox轴为始边，若角θ的终边过点，则的值等于____________．

【答案】##

【分析】由三角函数定义求出，，再根据两角和的正弦求得结果.

【详解】∵θ的终边过点，则，，

∴．

故答案为：.

15．已知抛物线C：的焦点为F，过点F作斜率大于0的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，，则的面积为____________．

【答案】##

【分析】易得点的坐标，设直线的方程，与抛物线方程联立求出韦达定理，结合求出参数的值，代入三角形面积公式即可求解.

【详解】因为抛物线的方程为：，所以焦点为，

设直线的方程为：，，

由，消整理得：，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，代入，解得：，

所以.

故答案为：

16．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现，在数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式如下： 若函数是定义在上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则____________．

【答案】##

【分析】利用为奇函数和满足可得的周期﹒利用周期可将化为，结合可求；利用周期和奇函数性质可将化到内利用解析式求解．

【详解】∵，

∴，

又是奇函数，

∴，

∴，的一个周期为2．

∵，

∴，

∴．

故答案为：.

三、解答题

17．某单位为了解职工对垃圾回收知识的重视情况，对本单位的200名职工进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50名，统计其考核成绩（单位：分），制成如图所示的频率分布直方图．

(1)估计该单位职工考核成绩低于80分的人数；

(2)估计该单位职工考核成绩的中位数t（精确到0.1）．

【答案】(1)32人

(2)中位数为84.7分．

【分析】（1）根据频率分布直方图先求出考核成绩低于80分的频率，进而可以求出结果；

（2）先判断中位数所在区间，利用中位数特征列方程求出结果.

【详解】（1）由频率分布直方图得考核成绩低于80分的频率为，

∴估计该单位职工考核成绩低于80分的人数为（人）．

（2）∵前三组的频率为，

前四组的频率为，

∴设中位数为．

由，得，

∴计该单位职工考核成绩的中位数为84.7分．

18．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

(1)求角C的大小；

(2)若，求c的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再用余弦定理可求出角；

（2）由（1）已知角，可借助正弦定理化边为角，再利用辅助角公式及正弦三角函数的性质可解．

【详解】（1）由已知及正弦定理，得，

即，

∴．

又∵，

∴；

（2）由（1）及正弦定理得，

∵，

∴，

∴．

∵，∴，，

∴，

∴．

19．如图甲，在四边形PBCD中，PD//BC，．现将△ABP沿AB折起得图乙，点M是PD的中点．证明：

(1)；

(2)PC⊥平面ABM．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）如图，取AB的中点E，连接PE，CE，AC，由题意可证△PBA、△ABC是正三角形，则PE⊥AB、EC⊥AB．根据线面垂直的判定定理和性质即可证明；

（2）如图，取PC的中点N，连接MN，BN，则MN//AB，即A，B，N，M四点共面，得BN⊥PC．由（1），结合线面垂直的判定定理即可证明.

【详解】（1）如图，取AB的中点E，连接PE，CE，AC，

∵AD＝BC且AD//BC，故四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD且AB//CD．

又PB＝PA＝CD，

∴PA＝PB＝AB，即△PBA是正三角形，

∴PE⊥AB，在图甲中，，则，

由，知△ABC是正三角形，故EC⊥AB．

又，平面PEC，

∴AB⊥平面PEC，又平面PEC，

∴AB⊥PC．

（2）如图，取PC的中点N，连接MN，BN，

∵M是PD的中点，∴MN//CD．由（1）知AB∥CD，

∴MN//AB，∴A，B，N，M四点共面．

∵PB＝BC，∴BN⊥PC．

由（1）AB⊥PC，又，平面ABNM，

∴PC⊥平面ABNM，即PC⊥平面ABM．

20．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论在上的单调性．

【答案】(1)

(2)在上是减函数．

【分析】（1）求导，计算斜率，再用点斜式求解即可；

（2）令，求出，根据、可得使，可得、时的单调性，从而得解.

【详解】（1），

∴，又，

∴曲线在点处的切线方程是，

即；

（2）令，

则在上递减，且，，

∴，使，即，

当时，，当时，，

∴在上递增，在上递减，

∴，

当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，故，

∴在上是减函数．

【点睛】方法点睛：判断一个函数是单调增还是单调减，我们可以通过求导函数来判断，如果导函数为正值，那么原函数就是单调增的，如果导函数为负值，那么原函数就是单调减的，而如果导函数为0，那么可能是函数的极值点.

21．抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长．

(1)求抛物线的方程；

(2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作（其中）的两条切线，分别交抛物线于点,,证明：直线经过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆和抛物线的几何性质即可求解；

（2）设点，，求出直线的方程，利用直线和圆相切,直线和圆相切分别出关于和的一元二次方程，利用韦达定理即可求出直线经过的定点.

【详解】（1）由椭圆方程可知短轴长为，

∴抛物线的焦点到准线的距离，

故抛物线方程为．

（2）∵是抛物线上位于第一象限的点，∴且，∴．

设，，则直线方程为，

即，

∵直线DM：与圆E：相切，

∴，整理可得，，①

同理，直线DN与圆E相切可得，，②

由①②得a，b是方程的两个实根，

∴，，

代入，化简整理可得，

，

令，解得，

故直线MN恒过定点．

22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线：．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求直线l的极坐标方程和曲线的参数方程；

(2)求曲线上一点N到直线l距离的最小值，并求出此时N点的坐标．

【答案】(1)直线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为（为参数）

(2)，．

【分析】（1）利用消元法求出直线的直角坐标方程，再利用直角坐标和极坐标互化公式即可求出直线的极坐标方程，直接根据同角三角函数的平方关系可得曲线的一个参数方程；

（2）设点的坐标为，表示出点到直线的距离，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得出距离最小值，进而求出点的坐标．

【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），消得直线的普通方程为，

将代入直线的普通方程，得直线的极坐标方程为：，

曲线的一个参数方程为：（为参数）．

（2）因为点在曲线上，设，

则到直线的距离为：，其中，，

当，即时取得最小值，，

，

，，

故此时点的坐标为，

综上，曲线上一点到直线距离的最小值为，此时点的坐标为．

23．已知函数，

(1)求不等式的解集N；

(2)设N的最小数为n，正数a，b满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）分类讨论的取值范围去绝对值转化为一次不等式求解；

（2）由题意得，将，代入化简后使用基本不等式求最小值.

【详解】（1），即，

∴或或，

解得或或，

∴不等式的解集．

（2）由（1），

∴，则，，

则

，

当且仅当，即，时等号成立．

∴的最小值为．