2023届河南省襄城县实验高级中学等学校高三下学期4月质量检测数学(理)试题含解析
展开2023届河南省襄城县实验高级中学等学校高三下学期4月质量检测数学(理)试题
一、单选题
1.已知集合,,则的子集的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【分析】先求得,由此确定正确答案.
【详解】因为,所以,
即,,
所以,所以的子集个数为.
故选:D
2.复数在复平面内对应的点的坐标为,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据点的坐标,写出,写出,利用复数除法法则计算即可.
【详解】依题意得,则,
.
故选:D
3.人们常将男子短跑的高水平运动员称为“百米飞人”,表中给出了1968年之前部分男子短跑世界纪录产生的年份和世界纪录的数据:
第次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年份 | 1930 | 1936 | 1956 | 1960 | 1968 |
纪录 | 10.30 | 10.20 | 10.10 | 10.00 | 9.95 |
如果变量与之间具有线性相关关系,设用最小二乘法建立的回归直线方程为,则下列说法正确的是( )
A.变量与之间是正相关关系 B.变量与之间的线性相关系数
C. D.下一次世界纪录一定是
【答案】C
【分析】首先求出,,根据回归直线方程必过样本中心点求出,即可得到回归直线方程,即可判断A、B、C,再将代入得到预测值,即可判断D.
【详解】依题意,,
因为回归直线方程必过样本中心点,即,
解得,与成负相关,即相关系数,故选项A,B错误,选项C正确;
所以回归直线方程为,则当时,,
即下一次世界纪录在左右,它是一个预测值,不是确定值,故D错误.
故选:C
4.已知直线与曲线相切,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】设切点,根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率,进而求出,即可求解.
【详解】设切点坐标为,
因为,所以,
所以切线的斜率,解得,
又,即,
所以.
故选:A.
5.已知一个三棱雉的三视图如图所示,正视图为正方形,侧视图和俯视图均为直角三角形,则该几何体外接球的体积是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】将该几何体放入长方体中,借助于长方体的外接球即可求解半径.进而由体积公式即可求解.
【详解】由三视图可知,该几何体为图中三棱锥,其外接球与它所在长方体外接球是同一个,设其外接球的半径为,则有,
所以其外接球的半径,体积为.
故选:B
6.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用诱导公式和三角函数的基本关系,以及正弦的倍角公式,准确化简、计算,即可求解.
【详解】由
故选:D.
7.将的图象向右平移2个单位长度后得到函数的图象,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据函数图象的平移变换和诱导公式可得,如图作出函数,的图象,结合图形即可求解.
【详解】依题设可知,
在平面直角坐标系中,分别作出函数,的图象,如图,
由图可知,当时,.
故原不等式的解集为.
故选:C.
8.设实数,满足约束条件则目标函数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据不等式组,作出如图可行域,作直线:,则是直线的纵截距,结合图形即可求解.
【详解】作出可行域,如图内部(含线段不包含顶点的部分),
作直线:,在直线中,是直线的纵截距,
因此直线向上平移时,增大,由于,因此直线与平行,
所以平移直线,当它与直线重合时,取得最大值,
若直线过点A,,
所以目标函数的值域为.
故选:D.
9.如图,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.0 B. C. D.
【答案】C
【分析】取的中点,连接,,根据,得到为异面直线与所成的角求解.
【详解】解:如图,
取的中点,
连接,.则,所以或其补角即为异面直线与所成的角,
直三棱柱中,因为平面平面,且平面平面,,
所以平面,平面,所以,
依据题意,不妨设,则,,,
所以,
故选:C
10.粽子是中国传统节庆食物之一,端午前,小明买了5个质量各不相同的粽子,其中有2个“八宝粽”和3个“蛋黄粽”,将其随机排成一行,则2个“八宝粽”相邻且不排在两端的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】将5个粽子随机排成一行,先将3个“蛋黄粽”排成一行,由题意把2个“八宝粽”看作一个整体插入3个“蛋黄粽”的中间2个空里,再利用古典概型的概率求解.
【详解】解:将5个粽子随机排成一行,共有种方法,
先将3个“蛋黄粽”排成一行,有种方法,2个“八宝粽”全排列,有种方法,
再把2个“八宝粽”看作一个整体插入3个“蛋黄粽”的中间2个空里,有种方法,
所以共有种方法.
由古典概型的概率公式得.
故选:A
11.已知点在双曲线上,双曲线的左、右焦点分别记为,,已知,,为坐标原点.则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据题意和双曲线的定义可得,,利用勾股定理和可得,即可求解.
【详解】因为,由双曲线的定义得,
所以,,
因为,所以,
又,
所以,,,所以.
故选:B.
12.已知函数对任意都有,且函数的图象关于对称,当时,.则下列结论正确的是( )
A.函数的图象关于点对称
B.函数的图象关于直线对称
C.函数的最小正周期为2
D.当时,
【答案】C
【分析】根据题中条件可得的周期为4且关于对称,结合时,,即可画出函数的图象,由图象即可逐一判断.
【详解】因为函数对任意都有,即恒成立,所以的周期为4.
因为函数的图象关于对称,所以将的图象向右平移一个单位,得到的图象,所以的图象关于对称,
故,因此的图象关于对称,
设,则,
因为函数对任意都有
所以,
所以 所以选项D错误.
作出的图象如图所示:
由图象可知,函数的图象关于点中心对称,关于直线对称,故A,B错误;
对于C:函数的图象可以看成的图象轴上方的图象保留,把轴下方的图象翻折到轴上方,所以函数的最小正周期为2.故C正确.
故选:C
二、双空题
13.已知,是单位向量,,且,则______;______.
【答案】 /
【分析】根据题意,利用,求得,再由,求得的值.
【详解】因为, 是单位向量,且,,
所以,所以,
又因为,可得,所以.
故答案:;.
三、填空题
14.的内角,,所对边分别为,,,若,,,则的面积为______.
【答案】/
【分析】根据题意,由余弦定理求出c,结合三角形的面积公式计算即可求解.
【详解】在中,由余弦定理得,
即,解得.
所以.
故答案为:.
15.已知抛物线:的焦点为,设点在抛物线上,若以线段为直径的圆过点,则______.
【答案】
【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得,进而得斜率关系,联立直线与抛物线的方程即可得交点,由焦半径公式即可求解.
【详解】因为,所以,焦点的坐标为.
设,则直线的斜率为,因为以线段为直径的圆过点,
所以,所以直线的斜率为,
直线的方程为
联立 解得,,
故答案为:
16.设函数有两个不同极值点,若,则的取值范围是______.
【答案】
【分析】由题,结合韦达定理,判别式得,,再令,,进而将转化为的范围问题,再结合导数求最值即可.
【详解】函数,
则
因为有两个不同极值点,
则当时,有两个不相等的实数根
所以解得
因为,
所以,
所以
令,故,
则,所以,
则在上单调递增,
所以,又当趋近于时,趋近于,
所以,即,
所以的取值范围是.
故答案为:
【点睛】关键点点睛:本题解题的关键在于借助函数极值点得到的取值范围,再结合换元法将问题转化为求解函数,值域问题即可得答案.
四、解答题
17.2021年7月中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》,随后各学校积极响应,认真落实.“双减”不仅仅是减轻了学生家庭的经济负担、学生的课业负担,同时也增加了学生每天的体育锻炼时间.经过对某市义务教育阶段各学校学生平均每天体育锻炼时间的抽样调查,得出“双减”政策出台前(图1)与“双减”政策出台后(图2)的两个频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,请解答下列问题:
(1)根据上面两个频率分布直方图,估计“双减”政策出台后,学生平均每天的体育锻炼时间增加多少分钟;
(2)如果把每天平均体育锻炼时间在69分钟以上(含69分钟)的情况定义为“良”,把上述两个样本数据的频率视为概率,试估算出该市在“双减”政策出台后,学生平均每天的体育锻炼时间为“良”的概率.
【答案】(1)5.12分钟
(2)82%
【分析】(1)由频率分布直方图中平均数的计算公式求出“双减”政策出台前、后样本的平均值,相减即可得出答案;
(2)由频率分布直方图求出每天平均体育锻炼时间在69分钟以上的概率即可得出答案.
【详解】(1)设“双减”政策出台前、后样本的平均值分别为,,
则
,
所以(分钟),
所以“双减”政策出台后,学生平均每天的体育锻炼时间增加5.12分钟.
(2)由题意知,样本每天平均体育锻炼时间在69分钟及以上定义为“良”,
“双减”政策出台后,体育锻炼为“良”的学生的概率为
即“双减”政策出台后,体育锻炼为“良”的学生占82%.
18.已知等差数列满足,.
(1)求的通项公式;
(2)等比数列的前项和为,且,再从下列这三个条件中选择两个作为已知条件,求满足的的最大值.
条件①:;
条件②:;
条件③:
【答案】(1)
(2)条件选择见解析,的最大值为10
【分析】(1)根据题意和等差数列的通项公式可得,,求得,即可求解;
(2)由(1),根据等比数列的通项公式求出公比,由前n项求和公式可得,则,解之即可.
【详解】(1)设等差数列的公差为,因为,,
所以,,解得,,
所以;
(2)(i)选择①②:由(1)可知,
所以,,则,
因为,所以
因为,,,所以,
因为数列为等比数列,所以公比,所以,
由,解得.
所以满足的的最大值为10.
(ii)选择①③:由(1)可知,所以,
所以,因为,所以,
因为数列为等比数列,所以,
因为,所以,
所以,则,
所以,解得.
所以满足的的最大值为10.
(iii)选择②③:由(1)可知,所以,,
所以,因为,所以,
因为数列为等比数列,所以,
解得或,
因为,所以,则,
所以,所以,解得.
所以满足的的最大值为10.
19.如图,多面体中,是平行四边形,⊥平面,⊥,,,,点在棱上.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)若点到平面的距离为,求线段的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】(1)先得到平面,平面,证明出面面平行,从而证明平面;
(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量求解二面角的余弦值;
(3)设,由点到平面距离公式列出方程,求出线段的长.
【详解】(1)因为是平行四边形,所以.
因为平面,平面,
所以平面.
又因为在平面中,,,
所以,
因为平面,平面,
所以平面.
又因为平面,平面,,
所以平面平面.
因为平面,所以平面
(2)因为平面,所以,,
又因为,所以,,两两垂直,如图建立空间直角坐标系,
则,,,所以,.
设平面的一个法向量为,则
即
令,则,.于是.
取平面的法向量为
则
由图可知二面角为锐角,
所以二面角的余弦值是
(3)令线段的长为,则,,所以
因为点到平面的距离
所以,即,得或(舍),
所以线段的长为.
20.已知函数.
(1)若,求的值;
(2)当时,证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)求导,由得到方程,求出;
(2)不等式变形为,构造,求导得到其单调性,得到,故,再构造,求导得到其单调性,得到,故.
【详解】(1)因为,,所以
因为,所以
(2)由已知得,,所以原不等式可化为,
即
令,所以,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
,得,
所以,,则.
设,得
令,此时,时,,单调递减,
时,,单调递增,
则,
所以.所以原不等式成立.
【点睛】常用的放缩不等式有:,,,,等,在证明不等式或求参数取值范围时,使用以上不等式可达到事半功倍的效果.
21.已知点是圆:上的任意一点,点,线段的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设,,过点的直线与轨迹交于,两点(不与轴重合),直线与直线交于点.求证:.
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【分析】(1)根据给定条件,得出,再利用椭圆定义求出轨迹的方程作答.
(2)设出直线的方程,与的方程联立,利用斜率坐标公式证明,,三点共线,即可推理作答.
【详解】(1)圆:的圆心,半径,
依题意,,
因此动点的轨迹是以点,为左右焦点且长轴长为4的椭圆,
长半轴长,半焦距,则短半轴长,
所以椭圆的方程为.
(2)依题意,设直线的方程为,
由消去x得:,设,,
则,,显然有,
直线的斜率,直线的方程为,,
直线的斜率,直线的斜率,
,
于是,,三点共线,所以.
【点睛】方法点睛 :求椭圆的标准方程有两种方法:
①定义法:根据椭圆的定义,确定,的值,结合焦点位置可写出椭圆方程.
②待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为(A>0,B>0,A≠B).
22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程;
(2)已知点,曲线与相交于两点,求.
【答案】(1)曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为
(2)
【分析】(1)根据曲线的参数方程,消去参数求得曲线的普通方程,再由曲线的极坐标方程,结合直角坐标与极坐标的互化公式,求得曲线的直角坐标方程;
(2)把直线的参数方程化简为标准的参数方程(为参数),代入曲线,结合参数的几何意义,即可求解.
【详解】(1)解:由曲线的参数方程为(为参数),消去参数得;
又由曲线的极坐标方程为,即
根据,可得曲线直角坐标方程为.
(2)解:曲线的参数方程为(为参数),即(为参数),
代入,整理得,所以,.
故.
23.已知函数.
(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)设(1)中的最小值为,若实数,满足,求的最小值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】(1)在上恒成立,由绝对值三角不等式得,求解即可;
(2)由题意可得,由均值不等式“1”的代换求解即可.
【详解】(1)因为函数,
且在上恒成立,
所以在上恒成立,
因为由绝对值三角不等式得,
所以恒成立,
即,解得.
所以实数的取值范围是
(2)由已知条件知,所以
所以
,
且仅当,即,时等号成立,故的最小值为1.
2023届河南省济洛平许高三第四次质量检测数学(理)试题含解析: 这是一份2023届河南省济洛平许高三第四次质量检测数学(理)试题含解析,共21页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023届河南省许济洛平高三第三次质量检测数学(理)试题含解析: 这是一份2023届河南省许济洛平高三第三次质量检测数学(理)试题含解析,共19页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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