四川省成都市蓉城名校2023届高三下学期第三次联考数学（理）试卷（含答案）

四川省成都市蓉城名校2023届高三下学期第三次联考数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、若集合，，则(   )

A. B. C.  D.

2、(   )

A. B. C.  D.

3、校园环境对学生的成长是重要的，好的校园环境离不开学校的后勤部门.学校为了评估后勤部门的工作，采用随机抽样的方法调查100名学生对校园环境的认可程度（100分制），评价标准如下：

评价优秀良好合格不合格2023年的一次调查所得的分数频率分布直方图如图所示，则这次调查对后勤部门的评价是(   )

A.优秀 B.良好 C.合格  D.不合格

4、双曲线的离心率为，其渐近线方程为(   )

A.  B.

C.  D.

5、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，，则(   )

A. B. C.  D.

6、一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为4，下底长为2，腰长为的等腰梯形，则该四棱台的体积为(   )

A. B. C.28 D.

7、已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是(   )

A.-2 B.-1 C.1 D.2

8、分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在.分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还具有深刻的科学方法论意义，由此可见分形的重要性.美国物理学大师John Wheeler曾说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人.koch雪花曲线是一种典型的分形曲线，它的制作步骤如下：

第一步：任意画一个正三角形，记为，并把的每一条边三等分；

第二步：以三等分后的每一条边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，记所得图形为；

第三步：把的每一条边三等分，重复第二步的制作，记所得图形为；

同样的制作步骤重复下去，可以得到，，…，直到无穷，所画出的曲线叫做koch雪花曲线.

若下图中的边长为1，则图形的周长为(   )

A.6 B. C.  D.

9、将3个1和3个0随机排成一行，则3个0都不相邻的概率是(   )

A. B. C.  D.

10、已知直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是(   )

A.， B.，

C.， D.，

11、如图，在梯形ABCD中，，，，将沿AC边折起，使得点D翻折到点P，若三棱锥的外接球表面积为，则(   )

A.8 B.4 C.  D.2

12、设函数，其中，e是自然对数的底数（…），则(   )

A.当时， B.当时，

C.当时， D.当时，

二、填空题

13、设i是虚数单位，复数的模长为____________.

14、函数的零点个数为____________.

15、如图，在中，，.延长BA到点D，使得，，则的面积为              .

16、若A，B是抛物线上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为______________.

三、解答题

17、已知等差数列的前n项和为，且，.

（1）求；

（2）设数列满足，求数列的前n项和.

18、随着蓉城生态公园绿道全环贯通，环城绿道骑行成为最热门的户外休闲方式之一.环城绿道全程约100公里，不仅可以绕蓉城一圈，更能360度无死角欣赏蓉城这座城市的发展与魅力.某位同学近半年来骑行了5次，各次骑行期间的身体综合指标评分x与对应用时y（单位：小时）如下表

（1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

（2）建立y关于x的回归方程.

参考数据和参考公式：

相关系数，，，.

19、如图，正三棱柱的体积为，，P是面内不同于顶点的一点，且.

（1）求证：；

（2）经过BC且与AP垂直的平面交AP于点E，当三棱锥E-ABC的体积最大时，求二面角平面角的余弦值.

20、已知椭圆E：的离心率为，且过点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线l：与x轴交于点M，过M作直线，，交E于A，B两点，交E于C，D两点.已知直线AC交l于点G，直线BD交l于点H.试探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.

21、已知函数，其中.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若对任意的，都有.

（ⅰ）求实数m的取值范围；

（ⅱ）证明：对任意的，都有.

22、在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线及曲线的直角坐标方程；

（2）设点A在曲线上，点B在曲线上，求的最小值.

23、已知，，，且，证明：

（1）；

（2）若，则.

参考答案

1、答案：D

解析：，， ，故选D.

2、答案： C

解析：原式，故选C.

3、答案： B

解析：中位数，评价是良好，故选B.

4、答案： B

解析：由， ，渐近线方程为，故选B.

5、答案：D

解析：利用计算即得，故选D.

6、答案：A

解析：由三视图可知该四棱台为正四棱台，且腰长为，则该棱台的高为，

棱台的体积，故选：A.

7、答案：A

解析：当时，，

是上的奇函数，

的值域，

的最小值是-2，

故选A.

8、答案：D

解析：图形的边数为，边长为，周长为， 时，

周长为，

故选D.

9、答案：C

解析：采用插空法得，故选C.

10、答案：B

解析： ，

又直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，

，即，

令，，

解得，，

的单调递增区间是，，

故选B.

11、答案：C

解析：如图，设M为AC的中点，为AB的中点，

为的外心，O为三棱锥的外接球球心，

则面ABC，面APC.

由题意得， 为的外心，

设外接球半径为R，

则，即，而， ，

在中，易得，即，由得，四边形为平行四边形，而面ABC，即，四边形为矩形，即面APC，面APC，

，，

故选C.

12、答案： B

解析：令，则，

且，，

当，，

存在一个较小的数使得都有，

当时，，

存在一个较小的数使得都有，

A，C都不正确，

对于选项B，当，则显然成立，

当时，即证明，

也即证明，，

的最小值为，

的最大值为，

，注意不同时取等，

，选项B正确，

对于选项D，当时，（成立），即所以选项D不正确.

故选B.

13、答案：

解析：，模长为.故答案为.

14、答案：1

解析：注意到，作图易知零点个数为1，故答案为1.

15、答案：

解析：在中，由正弦定理，

即，

，，在中，由正弦定理可得，

，故答案为.

16、答案：6

解析：设，，AB中点，

设斜率为k，则，

相减得：，

，即，

设抛物线的焦点为F，，

，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立，

此时满足在抛物线内部，

的最大值为6，故答案为6.

17、答案：(1)

(2)

解析：（1）设的公差为d，由得，，解得，

而，即，

于是，，

；

（2）由得，

数列是以2为首项，4为公比的等比数列，

.

18、答案：(1) y与x的相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y与x的关系

(2)

解析：（1），，

，，，

，

相关系数近似为-1，说明y与x的相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y与x的关系；

（2）由（1）中数据，，

，

y关于x的回归方程为.

19、答案：(1)见解析

(2)

解析：（1）设线段BC的中点为F，则，

，，AP为公共边，

，

，

，又，

面APF，

；

（2）设线段的中点为D，由题意，点P在线段上，

由，得，

三棱锥E-ABC的体积最大，等价于点E到面ABC的距离最大，

面BCE，

，

点E在以AF为直径的圆上，如图，易知，

从而，

由（1）知，，

为二面角的平面角，，

如图，以F为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，

于是，，从而，

二面角平面角的余弦值为.

20、答案：(1)

(2)

解析：（1）由题意，，，解得，

代入点得，解得，，

椭圆E的方程为：；

（2）由题意，，当，斜率都不为0时，设，，

，，，，

当时，由对称性得，

当时，联立方程，得，恒成立，

，，

同理可得：，，

直线AC方程：，

令，得，

同理：，

，

，

当，斜率之一为0时，不妨设斜率为0，则，，

直线AC方程：，

直线BD方程：，

令，得，，

，

，

综上：.

21、答案： (1)

(2)见解析

解析：（1）当时，的定义域为，

，

当时，；当时，，

的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）（ⅰ），

①当时，，（不合题意）；

②当时，，（不合题意）；

③当时，，当，；当，

∴在上单调递减；在上单调递增，

∴当时，的最小值为，

于是，

，解得或，

，

，

综上所述，实数m的取值范围为

（2）由（1）可知当时，，即，

当且仅当时取等，

令，则，即，

令，则，有.

22、答案：(1)

(2)

解析：（1）由

变形得，

则有，

曲线的直角坐标方程为，

，即，

由，代入得，，

曲线的直角坐标方程为；

（2）由（1）得曲线是以为圆心，的圆，

，

设，，

则，

设，

，

当时，，

.

23、答案：(1)见解析

(2)见解析

解析：（1）由，得，

由柯西不等式有，

，当且仅当时等号成立，

，当且仅当，，时等号成立：

（2）由可得

，

当且仅当时取等，

由（1）可得，当且仅当，，时等号成立，

从而，当且仅当，，时等号成立.