【精校版】2018年福建省宁德市中考数学试卷【带答案】

这是一份【精校版】2018年福建省宁德市中考数学试卷【带答案】，共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018年福建省宁德市中考数学试卷
　
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂〕
1．（4分）﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
2．（4分）已知一个几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（　　）

A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱
3．（4分）如图，点M在线段AB上，则下列条件不能确定M是AB中点的是（　　）

A．BM=AB B．AM+BM=AB C．AM=BM D．AB=2AM
4．（4分）在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（　　）
A．4 B．8 C．10 D．13
5．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．﹣5+2=﹣7 B．6÷（﹣2）=﹣3 C．（﹣1）2017=1 D．﹣20=1
6．（4分）如图所示的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是（　　）

A．①：同分母分式的加减法法则 B．②：合并同类项法则
C．③：提公因式法 D．④：等式的基本性质
7．（4分）某创意工作室6位员工的月工资如图所示，因业务需要，现决定招聘一名新员工，若新员工的工资为4500元，则下列关于现在7位员工工资的平均数和方差的说法正确的是（　　）

A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差变小
C．平均数不变，方差不变 D．平均数变小，方差不变
8．（4分）如图，直线ι是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线ι上，则m的值是（　　）

A．﹣5 B． C． D．7
9．（4分）函数y=x3﹣3x的图象如图所示，则以下关于该函数图象及其性质的描述正确的是（　　）

A．函数最大值为2 B．函数图象最低点为（1，﹣2）
C．函数图象关于原点对称 D．函数图象关于y轴对称
10．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC 和AC上，若AD=AE，则下列结论错误的是（　　）

A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AED
C．∠CDE=∠BAD D．∠AED=2∠ECD
　
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题卡的相应位置）
11．（4分）2016年9月26日，我国自主设计建造的世界最大球面射电望远镜落成启用．该望远 镜理论上能接收到13 700 000 000光年以外的电磁信号．数据13 700 000 000光年用科学记数法表示为　 　光年．
12．（4分）一元二次方程x（x+3）=0的根是　 　．
13．（4分）若矩形的面积为a2+ab，长为a+b，则宽为　 　．
14．（4分）甲、乙两位同学参加物理实验考试，若每人只能从A、B、C、D四个实验中随机抽取一个，则甲、乙两位同学抽到同一实验的概率为　 　．
15．（4分）将边长为2的正六边形ABCDEF绕中心O顺时针旋转α度与原图形重合，当α最小时，点A运动的路径长为　 　．

16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，AC与OB交于点D （8，4），反比例函数y=的图象经过点D．若将菱形OABC向左平移n个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则n的值为　 　．

　
三、解答题（本大题有9小题，共86分.请在答题卞的相应位置作答）
17．（8分）化简并求值：x（x﹣2）+（x+1）2，其中x=﹣2．
18．（8分）已知：不等式≤2+x
（1）解该不等式，并把它的解集表示在数轴上；
（2）若实数a满足a＞2，说明a是否是该不等式的解．
19．（8分）如图，E，F为平行四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
求证：AE=CF．

20．（8分）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的．写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题．

21．（8分）某初中学校组织200位同学参加义务植树活动，每人植树的棵数在5至10之间．甲、乙两位同学分别调查了30位同学的植树情况，并将收集的数据进行了整理，绘制成统计表分别为表1和表2：
表1：甲调查九年级30位同学植树情况统计表（单位：棵）
每人植树情况
7
8
9
10
人数
3
6
15
6
频率
0.1
0.2
0.5
0.2
表2：乙调查三个年级各10位同学植树情况统计表（单位：棵）
每人植树情况
6
7
8
9
10
人数
3
6
3
11
6
频率
0.1
0.2
0.1
0.4
0.2
根据以上材料回答下列问题：
（1）表1中30位同学植树情况的中位数是　 　棵；
（2）已知表2的最后两列中有一个错误的数据，这个错误的数据是　 　，正确的数据应该是　 　
（3）指出哪位同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况，并用该样本估计本次活动200位同学一共植树多少棵？
22．（10分）如图，在边长为1的正方形组成的5×8方格中，△ABC的顶点都在格点上．
（1）在给定的方格中，以直线AB为对称轴，画出△ABC的轴对称图形△ABD．
（2）求sin∠ABD的值．

23．（10分）如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A，B两点，点D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若 BF=10，sin∠BDE=，求DE的长．

24．（13分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m＞0，四边形ABCD是矩形．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，求m，n的值；
（2）在图2中，画出矩形ABCD，简要说明点C，D的位置是如何确定的，并直接用含m的代数式表示点C的坐标；
（3）探究：当m为何值时，矩形ABCD的对角线AC的长度最短．

25．（13分）如图，抛物线l：y=（x﹣h）2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将抛物线ι在x轴下方部分沿轴翻折，x轴上方的图象保持不变，就组成了函数ƒ的图象．
（1）若点A的坐标为（1，0）．
①求抛物线l的表达式，并直接写出当x为何值时，函数ƒ的值y随x的增大而增大；
②如图2，若过A点的直线交函数ƒ的图象于另外两点P，Q，且S△ABQ=2S△ABP，求点P的坐标；
（2）当2＜x＜3时，若函数f的值随x的增大而增大，直接写出h的取值范围．

　

2017年福建省宁德市中考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂〕
1．（4分）（2017•宁德）﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
【考点】15：绝对值．菁优网版权所有
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选A．
【点评】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
　
2．（4分）（2017•宁德）已知一个几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（　　）

A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱
【考点】U3：由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆锥．
故选C．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
　
3．（4分）（2017•宁德）如图，点M在线段AB上，则下列条件不能确定M是AB中点的是（　　）

A．BM=AB B．AM+BM=AB C．AM=BM D．AB=2AM
【考点】ID：两点间的距离．菁优网版权所有
【分析】直接利用两点之间的距离定义结合线段中点的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A、当BM=AB时，则M为AB的中点，故此选项错误；
B、AM+BM=AB时，无法确定M为AB的中点，符合题意；
C、当AM=BM时，则M为AB的中点，故此选项错误；
D、当AB=2AM时，则M为AB的中点，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了两点之间，正确把握线段中点的性质是解题关键．
　
4．（4分）（2017•宁德）在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（　　）
A．4 B．8 C．10 D．13
【考点】K6：三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据三角形三边的关系得到3＜BC＜13，然后对各选项进行判断．
【解答】解：∵AB=5，AC=8，
∴3＜BC＜13．
故选D．
【点评】本题考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边．
　
5．（4分）（2017•宁德）下列计算正确的是（　　）
A．﹣5+2=﹣7 B．6÷（﹣2）=﹣3 C．（﹣1）2017=1 D．﹣20=1
【考点】1G：有理数的混合运算；6E：零指数幂．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；511：实数．
【分析】各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式=﹣3，不符合题意；
B、原式=﹣3，符合题意；
C、原式=﹣1，不符合题意；
D、原式=﹣1，不符合题意，
故选B
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
6．（4分）（2017•宁德）如图所示的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是（　　）

A．①：同分母分式的加减法法则 B．②：合并同类项法则
C．③：提公因式法 D．④：等式的基本性质
【考点】6B：分式的加减法．菁优网版权所有
【分析】根据分式的加减法法则计算即可．
【解答】解：①：同分母分式的加减法法则，正确；
②：合并同类项法则，正确；
③：提公因式法，正确，
④：分式的基本性质，故错误；
故选D．
【点评】此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键．
　
7．（4分）（2017•宁德）某创意工作室6位员工的月工资如图所示，因业务需要，现决定招聘一名新员工，若新员工的工资为4500元，则下列关于现在7位员工工资的平均数和方差的说法正确的是（　　）

A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差变小
C．平均数不变，方差不变 D．平均数变小，方差不变
【考点】W7：方差；W1：算术平均数．菁优网版权所有
【分析】根据平均数、方差的定义即可解决问题．
【解答】解：由题意原来6位员工的月工资平均数为4500元，
因为新员工的工资 为4500元，所以现在7位员工工资的平均数是4500元，
由方差公式可知，7位员工工资的方差变小，
故选B．
【点评】本题考查方差的定义、平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
　
8．（4分）（2017•宁德）如图，直线ι是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线ι上，则m的值是（　　）

A．﹣5 B． C． D．7
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】待定系数法求出直线解析式，再将点A代入求解可得．
【解答】解：将（﹣2，0）、（0，1）代入，得：

解得：，
∴y=x+1，
将点A（3，m）代入，得：+1=m，
即m=，
故选：C．
【点评】本题主要考查直线上点的坐标特点，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
　
9．（4分）（2017•宁德）函数y=x3﹣3x的图象如图所示，则以下关于该函数图象及其性质的描述正确的是（　　）

A．函数最大值为2 B．函数图象最低点为（1，﹣2）
C．函数图象关于原点对称 D．函数图象关于y轴对称
【考点】E6：函数的图象；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标；R6：关于原点对称的点的坐标．菁优网版权所有
【专题】532：函数及其图像．
【分析】观察函数图象，得出正确的表述即可．
【解答】解：观察图形得：函数没有最大值，没有最低点，函数图象关于原点对称，
故选C
【点评】此题考查了函数的图象，关于x轴、y轴对称的点的坐标，以及关于原点对称的点的坐标，认真观察图形是解本题的关键．
　
10．（4分）（2017•宁德）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC 和AC上，若AD=AE，则下列结论错误的是（　　）

A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AED
C．∠CDE=∠BAD D．∠AED=2∠ECD
【考点】KH：等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C正确，选项D错误，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB=∠ACB+∠CAD，选项A正确；
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，选项B正确；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠AED=∠CDE+∠C，
∴∠CDE+∠C+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，选项C正确；
∵∠AED=∠ECD+∠CDE，∠ECD≠∠CDE，
∴选项D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．
　
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题卡的相应位置）
11．（4分）（2017•宁德）2016年9月26日，我国自主设计建造的世界最大球面射电望远镜落成启用．该望远 镜理论上能接收到13 700 000 000光年以外的电磁信号．数据13 700 000 000光年用科学记数法表示为　1.37×1010　光年．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：13 700 000 000=1.37×1010，
故答案为：1.37×1010．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
　
12．（4分）（2017•宁德）一元二次方程x（x+3）=0的根是　x=0或﹣3　．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】利用分解因式法即可求解．
【解答】解：x（x+3）=0，
∴x=0或x=﹣3．
故答案为：x=0或x=﹣3．
【点评】此题主要考查了利用因式分解的方法解一元二次方程，解题的关键是熟练进行分解因式．
　
13．（4分）（2017•宁德）若矩形的面积为a2+ab，长为a+b，则宽为　a　．
【考点】4H：整式的除法．菁优网版权所有
【分析】根据多项式除以多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：矩形的宽=（a2+ab）÷（a+b）
=a，
故答案为：a．
【点评】本题考查的是整式的除法，掌握多项式除以多项式的运算法则、因式分解是解题的关键．
　
14．（4分）（2017•宁德）甲、乙两位同学参加物理实验考试，若每人只能从A、B、C、D四个实验中随机抽取一个，则甲、乙两位同学抽到同一实验的概率为　　．
【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；543：概率及其应用．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙两位同学抽到同一实验的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：列表如下：

A
B
C
D
A
AA
BA
CA
DA
B
AB
BB
CB
DB
C
AC
BC
CC
DC
D
AD
BD
CD
DD
所有等可能的情况有16种，其中甲乙两位同学抽到同一实验的情况有AA，BB，CC，DD，4种情况，
则P==，
故答案为：
【点评】此题考查了列表法与树状图法，概率=所求情况数与总情况数之比．
　
15．（4分）（2017•宁德）将边长为2的正六边形ABCDEF绕中心O顺时针旋转α度与原图形重合，当α最小时，点A运动的路径长为　　．

【考点】O4：轨迹；R3：旋转对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据题意α最小值是60°，然后根据弧长公式即可求得．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF绕中心O顺时针旋转α度与原图形重合，α最小值是60°，
∴点A运动的路径长==．
故答案为．
【点评】本题考查了旋转对称图形，主要考查了学生的理解能力和计算能力，题目是一道比较好的题目，解此题的关键是求出α的最小值．
　
16．（4分）（2017•宁德）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，AC与OB交于点D （8，4），反比例函数y=的图象经过点D．若将菱形OABC向左平移n个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则n的值为　2　．

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；L8：菱形的性质；Q3：坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【分析】根据菱形的性质得出CD=AD，BC∥OA，根据D （8，4）和反比例函数y=的图象经过点D求出k=32，C点的纵坐标是2×4=8，求出C的坐标，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCO是菱形，
∴CD=AD，BC∥OA，
∵D （8，4），反比例函数y=的图象经过点D，
∴k=32，C点的纵坐标是2×4=8，
∴y=，
把y=8代入得：x=4，
∴n=4﹣2=2，
∴向左平移2个单位长度，反比例函数能过C点，
故答案为：2．
【点评】本题考查了菱形的性质，平移的性质，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点，能求出C的坐标是解此题的关键．
　
三、解答题（本大题有9小题，共86分.请在答题卞的相应位置作答）
17．（8分）（2017•宁德）化简并求值：x（x﹣2）+（x+1）2，其中x=﹣2．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；512：整式．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=x2﹣2x+x2+2x+1=2x2+1，
当x=﹣2时，原式=8+1=9．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
18．（8分）（2017•宁德）已知：不等式≤2+x
（1）解该不等式，并把它的解集表示在数轴上；
（2）若实数a满足a＞2，说明a是否是该不等式的解．
【考点】C6：解一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
（2）根据不等式的解的定义求解可得．
【解答】解：（1）2﹣x≤3（2+x），
2﹣x≤6+3x，
﹣4x≤4，
x≥﹣1，
解集表示在数轴上如下：


（2）∵a＞2，不等式的解集为x≥﹣1，而2＞﹣1，
∴a是不等式的解．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
　
19．（8分）（2017•宁德）如图，E，F为平行四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
求证：AE=CF．

【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，即可证得∠ABE=∠CDF，则可证得△ABE≌△CDF，继而证得结论．
【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△ABE≌△CDF是关键．
　
20．（8分）（2017•宁德）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的．写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题．

【考点】9A：二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【专题】12 ：应用题．
【分析】被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果．
【解答】解：被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，
设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，
根据题意得：，
解得：，
则“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
　
21．（8分）（2017•宁德）某初中学校组织200位同学参加义务植树活动，每人植树的棵数在5至10之间．甲、乙两位同学分别调查了30位同学的植树情况，并将收集的数据进行了整理，绘制成统计表分别为表1和表2：
表1：甲调查九年级30位同学植树情况统计表（单位：棵）
每人植树情况
7
8
9
10
人数
3
6
15
6
频率
0.1
0.2
0.5
0.2
表2：乙调查三个年级各10位同学植树情况统计表（单位：棵）
每人植树情况
6
7
8
9
10
人数
3
6
3
11
6
频率
0.1
0.2
0.1
0.4
0.2
根据以上材料回答下列问题：
（1）表1中30位同学植树情况的中位数是　9　棵；
（2）已知表2的最后两列中有一个错误的数据，这个错误的数据是　11　，正确的数据应该是　12　
（3）指出哪位同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况，并用该样本估计本次活动200位同学一共植树多少棵？
【考点】W4：中位数；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．菁优网版权所有
【分析】（1）根据中位数定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数可得答案；
（2）乙组调查了30人，根据人数和下面的频率可得错误数据为11，应为12；
（3）根据样本要具有代表性可得乙同学抽取的样本比较有代表性，再利用样本估计总体的方法计算即可．
【解答】解：（1）表1中30位同学植树情况的中位数是9棵，
故答案为：9；

（2）已知表2的最后两列中有一个错误的数据，这个错误的数据是 11，正确的数据应该是12；

（3）乙同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况，
（3×6+6×7+3×8+12×9+6×10）÷30×200=1680（棵），
答：本次活动200位同学一共植树1680棵．
【点评】此题主要考查了抽样调查，以及中位数，关键是掌握中位数定义，掌握抽样调查抽取的样本要具有代表性．
　
22．（10分）（2017•宁德）如图，在边长为1的正方形组成的5×8方格中，△ABC的顶点都在格点上．
（1）在给定的方格中，以直线AB为对称轴，画出△ABC的轴对称图形△ABD．
（2）求sin∠ABD的值．

【考点】P7：作图﹣轴对称变换；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】（1）根据格点的特点作出点C关于直线AB的对称点D，连接AD，BD即可；
（2）根据格点的特点可知∠DBC=90°，再由轴对称的性质可知∠ABD=∠ABC=45°，据此可得出结论．
【解答】解：（1）如图，△ABD即为所求；

（2）由图可知，∠DBC=90°，
∵点C与点D关于直线AB的对称，
∴∠ABD=∠ABC=45°，
∴sin∠ABD=sin45°=．

【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
　
23．（10分）（2017•宁德）如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A，B两点，点D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若 BF=10，sin∠BDE=，求DE的长．

【考点】ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】（1）先连接OD，根据∠ODB=∠DBE，即可得到OD∥AC，再根据DE⊥AC，可得OD⊥DE，进而得出直线DE是⊙O的切线；
（2）先连接DF，根据题意得到∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，根据=sinF=sin∠BDE=，可得BD=2，在Rt△BDE中，根据sin∠BDE==，可得BE=2，最后依据勾股定理即可得到DE的长．
【解答】解：（1）如图所示，连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠OBC，
∴∠OBD=∠DBE，
∴∠ODB=∠DBE，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线；

（2）如图，连接DF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠FDB=90°，
∴∠F+∠OBD=90°，
∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°，
∴∠F=∠BDE，
在Rt△BDF中，=sinF=sin∠BDE=，
∴BD=10×=2，
∴在Rt△BDE中，sin∠BDE==，
∴BE=2×=2，
∴在Rt△BDE中，DE===4．

【点评】本题主要考查了切线的判定以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形以及直角三角形，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
　
24．（13分）（2017•宁德）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m＞0，四边形ABCD是矩形．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，求m，n的值；
（2）在图2中，画出矩形ABCD，简要说明点C，D的位置是如何确定的，并直接用含m的代数式表示点C的坐标；
（3）探究：当m为何值时，矩形ABCD的对角线AC的长度最短．

【考点】LO：四边形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）先判断出∠ADE=∠BAO，即可判断出△ABO≌△ADE，得出DE=OA=3，AE=OB，即可求出m；
（2）先根据垂直的作法即可画出图形，判断出△ADE≌△CBF，得出CF=1，再判断出△AOB∽△DEA，即可得出OB=，即可得出结论；
（3）先判断出BD⊥x轴时，求出AC的最小值，再求出DM=2，最后用勾股定理求出AE即可得出m．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DE⊥y轴于E，
∴∠AED=∠AOB=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠DAE+∠BAO=90°，
∴∠ADE=∠BAO，
在△ABO和△ADE中，，
∴△ABO≌△ADE，
∴DE=OA，AE=OB，
∵A（0，3），B（m，0），D（n，4），
∴OA=3，OB=m，OE=4，DE=n，
∴n=3，
∴OE=OA+AE=OA+OB=3+m=4，
∴m=1；

（2）画法：如图2，①过点A画AB的垂线l1，
过点B画AB的垂线l2，
②过点E（0，4），画y轴的垂线l3交l1于D，
③过点D画直线l1的垂线交直线l2于点C，
所以，四边形ABCD是所求作的图形，

过点C作CF⊥x轴于F，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠ABO+∠CBF=90°，
∴∠BCF=∠ABO，
同理：∠ABO=∠DAE，
∴∠BCF=∠DAE，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF，
∴DE=BF=n，AE=CF=1，
易证△AOB∽△DEA，
∴，∴，
∴n=，
∴OF=OB+BF=m+，
∴C（m+，1）；

（3）如图3，由矩形的性质可知，BD=AC，
∴BD最小时，AC最小，
∵B（m，0），D（n，4），
∴当BD⊥x轴时，BD有最小值4，此时，m=n，
即：AC的最小值为4，
连接BD，AC交于点M，过点A作AE⊥BD于E，
由矩形的性质可知，DM=BM=BD=2，
∵A（0，3），D（n，4），
∴DE=1，
∴EM=DM﹣DE=1，
在Rt△AEM中，根据勾股定理得，AE=，
∴m=，即：
当m=时，矩形ABCD的对角线AC的长最短为4．



【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是△ABO≌△ADE，解（2）的关键是△ADE≌△CBF和△AOB∽△DEA，解（3）的关键是作出辅助线，是一道中考常考题．
　
25．（13分）（2017•宁德）如图，抛物线l：y=（x﹣h）2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将抛物线ι在x轴下方部分沿轴翻折，x轴上方的图象保持不变，就组成了函数ƒ的图象．
（1）若点A的坐标为（1，0）．
①求抛物线l的表达式，并直接写出当x为何值时，函数ƒ的值y随x的增大而增大；
②如图2，若过A点的直线交函数ƒ的图象于另外两点P，Q，且S△ABQ=2S△ABP，求点P的坐标；
（2）当2＜x＜3时，若函数f的值随x的增大而增大，直接写出h的取值范围．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）①利用待定系数法求抛物线的解析式，由对称性求点B的坐标，根据图象写出函数ƒ的值y随x的增大而增大（即呈上升趋势）的x的取值；
②如图2，作辅助线，构建对称点F和直角角三角形AQE，根据S△ABQ=2S△ABP，得QE=2PD，证明△PAD∽△QAE，则，得AE=2AD，设AD=a，根据QE=2FD列方程可求得a的值，并计算P的坐标；
（2）先令y=0求抛物线与x轴的两个交点坐标，根据图象中呈上升趋势的部分，有两部分：分别讨论，并列不等式或不等式组可得h的取值．
【解答】解：（1）①把A（1，0）代入抛物线y=（x﹣h）2﹣2中得：
（x﹣h）2﹣2=0，
解得：h=3或h=﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴h＞0，
∴h=3，
∴抛物线l的表达式为：y=（x﹣3）2﹣2，
∴抛物线的对称轴是：直线x=3，
由对称性得：B（5，0），
由图象可知：当1＜x＜3或x＞5时，函数ƒ的值y随x的增大而增大；
②如图2，作PD⊥x轴于点D，延长PD交抛物线l于点F，作QE⊥x轴于E，则PD∥QE，
由对称性得：DF=PD，
∵S△ABQ=2S△ABP，
∴AB•QE=2×AB•PD，
∴QE=2PD，
∵PD∥QE，
∴△PAD∽△QAE，
∴，
∴AE=2AD，
设AD=a，则OD=1+a，OE=1+2a，P（1+a，﹣[（1+a﹣3）2﹣2]），
∵点F、Q在抛物线l上，
∴PD=DF=﹣[（1+a﹣3）2﹣2]，
QE=（1+2a﹣3）2﹣2，
∴（1+2a﹣3）2﹣2=﹣2[（1+a﹣3）2﹣2]，
解得：a=或a=0（舍），
∴P（，）；
（2）当y=0时，（x﹣h）2﹣2=0，
解得：x=h+2或h﹣2，
∵点A在点B的左侧，且h＞0，
∴A（h﹣2，0），B（h+2，0），
如图3，作抛物线的对称轴交抛物线于点C，
分两种情况：
①由图象可知：图象f在AC段时，函数f的值随x的增大而增大，
则，
∴3≤h≤4，
②由图象可知：图象f点B的右侧时，函数f的值随x的增大而增大，
即：h+2≤2，
h≤0，
综上所述，当3≤h≤4或h≤0时，函数f的值随x的增大而增大．


【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的增减性问题、三角形相似的性质和判定，与方程相结合，找等量关系，第二问还运用了