常州市A卷-2023年中考数学金榜预测卷（江苏地区专用）

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2022—2023学年常州市中考金榜预测卷A

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下列哪一个数是﹣3的相反数（　　）
A．3 B．﹣3 C．13 D．-13
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数．
【解答】解：根据相反数和倒数的定义得：
﹣3的相反数为3；
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，a的相反数是﹣a．
2．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．m2•m3＝m6 B．m8÷m4＝m2 C．3m+2n＝5mn D．（m3）2＝m6
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算法则进行计算即可．
【解答】解：m2•m3＝m2+3＝m5，因此选项A不正确；
m8÷m4＝m8﹣4＝m4，因此选项B不正确；
3m与2n不是同类项，因此选项C不正确；
（m3）2＝m3×2＝m6，因此选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算方法，掌握计算方法是正确计算的前提．
3．（2分）计算（﹣2）2，22，（﹣2）3，23，联系这些具体数的乘方，下列各式错误的是（　　）
A．（﹣2）2＞0 B．22＝（﹣2）2 C．22＝﹣22 D．（﹣3）3＝﹣33
【分析】先计算（﹣2）2，22，（﹣2）3，23，再比较大小即可．
【解答】解：∵（﹣2）2＝4，
22＝4，
（﹣2）3＝﹣8，
23＝8，
﹣22＝﹣4
（﹣3）3＝﹣27
﹣33＝﹣27
∴C错误，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的乘方，确定底数是关键，要特别注意﹣22和（﹣2）2的区别．
4．（2分）下列命题错误的是（　　）
A．菱形和矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．矩形的对角线互相平分且相等
C．菱形的对角线把菱形分成四个等腰三角形
D．等腰梯形在同一底边上的两个内角相等
【分析】利用矩形、菱形的性质、等腰梯形的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、菱形和矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，正确，不符合题意；
C、菱形的对角线将菱形分成了四个直角三角形，故原命题错误，符合题意；
D、等腰梯形在同一底边上的两个内角相等，正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
5．（2分）如图，AD、AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD＝30°，OB⊥AD，交AC于点B，若OB＝2，则BC的长等于（　　）

A．2 B．3 C．25-4 D．23
【分析】首先连接CD，由圆周角定理可得，∠C＝90°，又由∠CAD＝30°，OB⊥AD，OB＝2，即可求得OA，AB的长，然后在Rt△ACD中，由三角函数的性质，即可求得答案．
【解答】解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OB⊥AD，
∴∠AOB＝∠C＝90°，
在Rt△AOB中，∠CAD＝30°，OB＝2，
∴AB＝2OB＝4，OA=OBtan30°=23，
∴AD＝2OA＝43，
在Rt△ABC中，AC＝AD•cos30°＝43×32=6，
∴BC＝AC﹣AB＝6﹣4＝2．
故选：A．

【点评】此题考查了圆周角定理、含30°直角三角形的性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
6．（2分）如图，已知∠AEF＝∠EGH，AB∥CD，则下列判断中不正确的是（　　）

A．∠AEF＝∠EFD B．AB∥GH C．∠BEF＝∠EGH D．GH∥CD
【分析】根据平行线的判定可得出AB∥GH，再根据已知条件得出AB∥GH∥CD，再由平行线的性质进行判定即可．
【解答】解：∵∠AEF＝∠EGH，
∴AB∥GH，
∵AB∥CD，
∴AB∥GH∥CD，故B、D正确；
∴∠AEF＝∠EFD，故A正确；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
7．（2分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE交BD于点F，若BF＝2，则BD的长度是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】根据矩形和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，
∴△AFD∽△EFB，
∴ADBE=DFBF，
∵E是BC的中点，
∴BE：AD＝1：2，
∴DFBF=2，
∵BF＝2，
∴DF＝4，
∴BD＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
8．（2分）如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（2，2） C．（2，2） D．（2，2）
【分析】首先根据点A在抛物线y＝ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；
【解答】解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，
∴4＝a×（﹣2）2，
解得：a＝1
∴解析式为y＝x2，
∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），
∴OB＝OD＝2，
∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴CD∥x轴，
∴点D和点P的纵坐标均为2，
∴令y＝2，得2＝x2，
解得：x＝±2，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为：（2，2）
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得抛物线的解析式，然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．（2分）若代数式x-3x-5有意义，则x的取值范围为　x≥3且x≠5　．
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出算式，计算得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，x﹣5≠0，
解得，x≥3且x≠5，
故答案为：x≥3且x≠5．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数、分式分母不为0是解题的关键．
10．（2分）23.05亿用科学记数法表示为 　2.305×109　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：23.05亿＝2305000000＝2.305×109．
故答案为：2.305×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
11．（2分）甲、乙二人各射击5次，命中环数如表

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
7
8
6
8
6
乙
9
5
6
7
8
那么射击技术稳定的是　甲　．
【分析】方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算．
【解答】解：甲的方差=15[(7-7)2+2(6-7)2+2(8-7)2]=0.8；
乙的方差=15[(9-7)2+(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2]=2，
∵S2乙＞S2甲．
∴甲的成绩更稳定，
故答案为：甲
【点评】本题考查方差的定义，方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法．
12．（2分）分解因式：m2﹣n2＝　（m+n）（m﹣n）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），
故答案为：（m+n）（m﹣n）．
【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，熟记公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题关键．
13．（2分）如果m是方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，那么代数式2m2﹣6m的值为 　8　．
【分析】先把m代入方程x2﹣3x﹣4＝0，得到m2﹣3m＝4，再代入代数式2m2﹣6m，即可求出答案．
【解答】解：把m代入方程x2﹣3x﹣4＝0，得到m2﹣3m＝4，
所以代数式2m2﹣6m＝2（m2﹣3m）＝2×4＝8；
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝40cm，现利用该三角形裁剪一个最大的圆，则该圆半径是　10　cm．

【分析】先利用勾股定理计算AB的长，再利用面积法可得结论．
【解答】解：由题意得：该三角形裁剪的最大的圆是Rt△ABC的内切圆，设AC边上的切点为D，连接OA、OB、OC，OD，

∵∠ACB＝90°，AC＝30cm，BC＝40cm，
∴AB=302+402=50cm，
设半径OD＝rcm，
∴S△ACB=12AC⋅BC=12AC⋅r+12BC⋅r+12AB⋅r，
∴30×40＝30r+40r+50r，
∴r＝10，
则该圆半径是 10cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查了勾股定理和三角形的内切圆，熟练掌握三角形内切圆的性质是关键，并学会利用面积法计算三角形内切圆的半径．
15．（2分）已知正n边形的一个内角为140°，则n等于 　9　．
【分析】根据多边形的内角和定理列出方程，求解即可．
【解答】解：法一、由题意，得（n﹣2）×180＝140n，
解得n＝9．
故答案为：9．
法二、∵正n边形的一个内角为140°，其外角都为40°．
由于多边形的外角和为360°，
所以n为：360÷40＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，掌握正多边形的性质和多边形的内角和定理是解决本题的关键．
16．（2分）若抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+m﹣2的顶点在坐标轴上，则m的值为 　0或23　．
【分析】当顶点在x轴上时，可知抛物线与x轴只有一个交点，由对应一元二次方程的判别式为0可求得m的值，当顶点在y轴上时，可知一次项系数为0，可求得m的值．
【解答】解：当顶点在x轴上时，
令y＝0可得方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣2＝0，则Δ＝0，即（2m）2﹣4×（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得m=23；
当顶点在y轴上时，可知其对称轴为y轴，则2m＝0，解得m＝0；
综上可知m的值为0或23．
故答案为：0或23．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，分顶点在x轴上和y轴上两种情况，分别得到关于m的方程是解题的关键．
17．（2分）等边三角形ABC的边长为6，点E在AC边上从点A向点C运动，同时点F在BC边上从点C向点B运动，速度相同，连接AF，BE相交于点P．当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长　433π　．

【分析】由等边三角形的性质证明△AEB≌△CFA可以得出AE＝BFAE＝CF，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，由弧线长公式就可以得出结论．
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝∠C＝60°．
在△AEB和△CFA中，
AB=AC∠BAC=∠CAE=CF，
∴△AEB≌△CFA（SAS），
∴AE＝CF．
点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，
此时△ABP为等腰三角形．且∠ABP＝∠BAP＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∵AB＝6，
∴OA＝23，
∴点P的路径是：nπr180=120π⋅23180=433π．
故答案为：43π3．

【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，弧线长公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．
18．（2分）如图，已知△ABC的三个顶点都在方格图的格点上，则cosC的值为　31010　．

【分析】在CB的延长线上取格点D，则∠ADC＝90°，由勾股定理求出AC，则cosC的值可得．
【解答】解：在CB的延长线上取格点D，则∠ADC＝90°，如图，

在Rt△ADC中，AC=AD2+CD2=22+62=210．
∴cosC=CDAC=6210=31010．
故答案为：31010．
【点评】本题主要考查了解直角三角形．本题是网格问题，将所求三角函数值的角度放在合适的直角三角形是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分84分）
19．（8分）（1）16÷（﹣2）3﹣（13）﹣1+20；
（2）先化简，再求值：2x（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣2），其中x＝﹣1．
【分析】（1）根据负整数指数幂的运算法则计算；
（2）根据单项式乘多项式的运算法则、平方差公式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝16÷（﹣8）﹣3+20＝﹣2﹣3+20＝15；
（2）原式＝2x2﹣6x﹣x2+4＝x2﹣6x+4，
当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2﹣6×（﹣1）+4＝11．
【点评】本题考查的是实数的混合运算、整式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
20．（8分）（1）解方程：1x-2-1-x2-x=-3；
（2）解不等式组2x+5≤3(x+2)3x-1＜5．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）去分母得：1+1﹣x＝﹣3x+6，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解；
（2）2x+5≤3(x+2)①3x-1＜5②，
由①得x≥﹣1，
由②得x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
21．（6分）图①、图②是美仁中学初三（1）班女同学参加中考体测试报名情况的条形和扇形统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）求该班女同学的人数，并将图①补充完整；
（2）若该校初三全年级共有100名女同学，试估计全年级报考“800米跑”的女同学人数．

【分析】（1）首先根据部分占得百分比计算总人数，然后进一步计算跳绳的人数；
（2）根据样本中的百分比估算总体．
【解答】解：（1）女同学的人数6÷30%×60%＝12（人）；
图形如图所示：

（2）全年级报考“800米跑”的女同学人数100×（1﹣60%﹣30%）＝10（人）．
答：估计全年级报考“800米跑”的女同学人数有10人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（8分）一个不透明的口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．
（1）求第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是 　13　；
（2）请用树状图或列表法的一种，求两次摸出球上的数字的积为奇数的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸出球上的数字的积为奇数的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是13，
故答案为：13；
（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两次摸出球上的数字的积为奇数的结果有4种，
∴两次摸出球上的数字的积为奇数的概率为49．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）已知△ABC，小明按如下步骤作图（如图）：
①以A为圆心，AB长为半径画弧；
②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．根据以上步骤作图，解答下列问题：
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，EC＝4，求AB的长．

【分析】（1）直接根据SSS证明全等；
（2）根据全等得∠BCA＝∠DCA＝45°，又由CD＝CB得∠CBD＝∠CDB＝45°，所以得出BE的长，再由直角△ABE中，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可以求出AB＝8．
【解答】证明：（1）∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）∵△ABC≌△ADC；
∴∠BCA＝∠DCA＝45°，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝45°，
∴CE＝BE＝4，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△AEB中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BE＝2×4＝8．
【点评】本题是通过基本作图来考查了全等三角形的性质和判定，属于基础题，难度不大；关键是运用全等三角形的对应角相等得出45°角，再利用等角对等边得出边的关系．
24．（8分）“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储D处调集救援物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C、B、A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O．已知：OA⊥AD，∠ODA＝15°，∠OCA＝30°，∠OBA＝45°，CD＝20km．若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O？（在物资搬运能力上每个码头工作效率相同，参考数据：2≈1.4，3≈1.7）．

【分析】利用三角形外角性质计算出∠COD＝15°，则CO＝CD＝20，在Rt△OCA中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出OA=12OC＝10，CA=3OA≈17，在Rt△OBA中利用等腰直角三角形的性质计算出BA＝OA＝10，OB=2OA≈14，则BC＝7，然后根据速度公式分别计算出在三个码头装船，运抵小岛所需的时间，再比较时间的大小进行判断．
【解答】解：∵∠OCA＝∠D+∠COD，
∴∠COD＝30°﹣15°＝15°，
∴CO＝CD＝20（km），
在Rt△OCA中，∵∠OCA＝30°，
∴OA=12OC＝10，CA=3OA＝103≈17（km），
在Rt△OBA中，∵∠OBA＝45°，
∴BA＝OA＝10，OB=2OA≈14，
∴BC＝17﹣10＝7（km），
当这批物资在C码头装船，运抵小岛O时，所用时间=2050+2025=1.2（小时）；
当这批物资在B码头装船，运抵小岛O时，所用时间=20+750+1425=1.1（小时）；
当这批物资在A码头装船，运抵小岛O时，所用时间=20+1750+1025=1.14（小时）；
所以这批物资在B码头装船，最早运抵小岛O．
【点评】本题考查了解直角三角形：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．

【分析】（1）把A，B两点的坐标代入y=kx中可计算k和m的值，确定点B的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；
（2）如图，设AB与x轴交于点D，证明CD⊥x轴于D，根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD即可求得．
【解答】解：（1）将A（2，﹣4），B（﹣4，m）两点代入y=kx中，得k＝2×（﹣4）＝﹣4m，
解得，k＝﹣8，m＝2，
∴反比例函数的表达式为y=-8x；
将A（2，﹣4）和B（﹣4，2）代入y＝ax+b中得2a+b=-4-4a+b=2，
解得a=-1b=-2，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣2；
（2）如图，设AB与x轴交于点D，连接CD，
由题意可知，点A与点C关于原点对称，
∴C（﹣2，4）．
在y＝﹣x﹣2中，当x＝﹣2时，y＝0，
∴D（﹣2，0），
∴CD垂直x轴于点D，

∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD=12×4×（2+2）+12×4×（4﹣2）＝8+4＝12．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
26．（8分）已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α，β之间的关系式是 　α＝2β　．
（2）是否存在不同于（1）中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式，若不存在，说明理由．

【分析】（1）先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；
（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同（1）的方法即可得出结论；
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同（1）的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，∠ADE＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，
∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，
∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，
∴α＝2β；
故答案为：α＝2β；
（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，
如图1
设∠ABC＝x，∠ADE＝y，
∴∠ACB＝x，∠AED＝y，
在△ABD中，x+α＝β﹣y，
在△DEC中，x+y+β＝180°，
∴α＝2β﹣180°，
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，
如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．
综上所述：α＝2β﹣180°或α＝180°﹣2β．


【点评】主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解本题的关键是利用三角形的内角和定理得出等式．
27．（10分）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．
（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p＝　72　时，△PAB的周长最短；
（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a＝　54　时，四边形ABDC的周长最短；
（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝　52　，n＝　-53　（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据题意，设出并找到B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），进而可得直线AB'的解析式，进而可得答案；
（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E＝AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．利用两点间的线段最短，可知四边形ABDC的周长最短等于A'F+CD+AB，从而确定C点的坐标值．
（3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，当且仅当m=52，n=-53；时成立．
【解答】解：（1）设点B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），
设直线AB'的解析式为y＝kx+b，
把A（2，﹣3），B'（4，1）代入得：2k+b=-34k+b=1，
解得k=2b=-7，
∴y＝2x﹣7，
令y＝0得x=72，
即p=72．

（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E＝AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．那么A'（2，3）．
直线A'F的解析式为y﹣（﹣1）=3-(-1)2-1（x﹣1），即y＝4x﹣5，
∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F上，
∴a=54．

（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，
作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，
∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），
∴直线A′B′的解析式为：y=23x-53，
∴M（52，0），N（0，-53）．
m=52，n=-53．

【点评】考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与坐标轴的交点等知识．
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0）、C、（0，﹣2），以AC为一边向右上方作正方形ACDE，其中点D在第四象限，点E在第一象限，过点E作直线l∥y轴，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线l，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）点E的坐标为　（1，1）　，该抛物线的函数表达式为　y=23x2-43x﹣2　；
（2）设抛物线的顶点为M，连接MB．在抛物线上是否存在点N，使∠NBA=12∠MBA？若存在，请求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点D作直线m∥x轴，交直线l于点F，如图2．动点P从抛物线的顶点M出发，沿抛物线的对称轴l向上运动，与此同时，动点Q从点F出发，沿直线m向右运动，连接PQ、PB、BQ．设P、Q两点运动的速度均为1个单位长度/秒，运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

【分析】（1）证明△AOC≌△ESA（AAS）即可求解；
（2）分当BN在∠MBA的内部、的外部两种情况求解即可；
（3）利用S＝S梯形PQTS﹣S△PBS﹣S△QTB，即可求解．
【解答】解：（1）设直线直线l交x轴于点S，

∠EAS+∠CAS＝90°，∠SEA+∠EAS＝90°，
∴∠AES＝∠CAS，
∠AOC＝∠ASE＝90°，AC＝AE，
∴△AOC≌△ESA（AAS），
∴OA＝SE＝1，CO＝AS＝2，
故点E坐标为（1，1），
同理可得点D坐标为（2，1），
由题意得：x=-b2a=1a-b+c=0c=-2，解得：a=23b=-43c=-2
故抛物线的表达式为：y=23x2-43x﹣2…①，
故：答案为：（1，1）、y=23x2-43x﹣2；
（2）存在，理由：
①当BN在∠MBA的内部时，如上图，
设直线BN交直线l于点H，过点H作HG⊥BM交BM于点G，
∠NBA=12∠MBA，∴SH＝HG＝a，
tan∠SBM=SMSB=43=tanα，cosα=35
在Rt△HGM中，HM=83-a，HG＝a，
sin∠HMG＝cosα=HGHM=a83-a=35，解得：a＝1，
即点H的坐标为（1，﹣1），
把点H、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：-1=k+b0=3k+b，解得：k=12b=32，
故直线HB的表达式为：y=12x-32⋯②，
将①②联立并解得：x＝3或-14（舍去x＝3），
故点N的坐标为（-14，-138），
②当BN在∠MBA的外部时，
同理可得：点N的坐标为（-74，198），
故：点N的坐标为（-14，-138）或（-74，198）；
（3）点M（1，-83）、点F（1，﹣1），
当P、Q、B三点共线时，如下图2，

则点Q（1+t，﹣1），点B（3，0），则PF=53-t，FQ＝t，QH＝3﹣t﹣1＝2﹣t，FQ＝t，
此时，tan∠FQP＝tan∠BQH，即53-tt=12-t，解得：t=7±193，
如图，过点Q作QT⊥x轴交于点T，

①当0≤t≤7-193或t＞7+193时，此时点P在x轴下方，
S=12×2（83-t）-t+22×1-12×（53-t）t=12t2-73t+53；
②当7-193＜t＜7+193，此时点P在x轴上方，在点B左方，
同理可得：S=12×（53-t）t+2+t2×1-12×2×（83-t）=-12t2+73t-53
故S=12t2-73t+53(0≤t＜7-193或t＞7+193)-12t2+73t-53(7-193＜t＜7+193)0(t=7±193)．
【点评】本题为二次函数综合应用题，基本的考点是三角形全等、解直角三角形，关键是通过数形结合，正确确定图形的位置，本题难度较大．