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中考数学专题特训第十一讲：平面直角坐标系与函数(含详细参考答案)
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这是一份中考数学专题特训第十一讲：平面直角坐标系与函数(含详细参考答案)，共23页。
中考数学专题复习第十一讲：平面直角坐标系与函数
【基础知识回顾】
一、 平面直角坐标系：
1、定义：具有 的两条 的数轴组成平面直角坐标系，两条数轴分别称 轴 轴或 轴 轴，这两系数轴把一个坐标平面分成的四个部分，我们称作是四个
2、有序数对：在一个坐标平面内的任意一个点可以用一对 来表示，如A（a .b），（a .b）即为点A的 其中a是该点的 坐标，b是该点的 坐标平面内的点和有序数对具有 的关系。
3、各象限内点的特点：平面内点的坐标特征
① P（a .b）：第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
X轴上 Y轴上
②对称点：P对称点
③特殊位置点的特点：P（a .b）若在一、三象限角的平分线上，则
若在二、四象限角的平分线上，则
④对坐标轴的距离：P（a .b）到x轴的距离 到y轴的距离 到原点的距离
⑤坐标平面 内点 的 平移：将点P（a .b）向左右平移h个点位，对应点坐标为 或
向上（下）平移K个点位，对应点坐标为 或
【赵老师提醒：坐标平面内点的坐标所具备的特征必须结合坐标平面去理解和记忆，不可生硬死记一些结论】
二、确信位置常用的方法：
一、一般由两种：1、 平面直角坐标系中的有序数时 2、 方位角与距离
三、函数的有关概念：
1、常量与变量：在某一变化过程中，始终保持 的量叫做常量，数值发生 的量叫做变量
【赵老师提醒：常量与变量是相对的，在一个变化过程中，用一个量在不同情况下可以是常量，也可以是变量，要根据问题的条件来确定】
2、函数：
⑴、函数的概念：一般的在某个 过程中如果有两个变量x、y对于x德每一个确定的值，y都有 的值与之对应，我们就成x是 y是x的
⑵、自变量的取值范围：
主要有两种情况：①、解析或有意义的条件，常见分式和二次根式两种情况
②、实际问题有意义的条件：必须符合实际问题的背景
⑶、函数的表示方法：
通常有三种表示函数的方法：①、 法②、 法③、 法
⑷、函数的同象：
对于一个函数，把自变象x和函数y的每对对应值作为点的 与
在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫做这个函数的同象
【赵老师提醒：1、在确定自变量取值范围时要注意分式和二次根式同时存在，应保证两者都有意义，即被开数应 同时分母应
2、函数的三种表示方法应根据实际需要选择，有时需同时使用几种方法
3、函数同象是在自变量取值范围内无限个点组成的图形，同象上任意一点的坐标是解析式方程的一个解，反之满足解析式方程的每一个解都在函数同象上】
【重点考点例析】
考点一：平面直角坐标系中点的特征
例1 （2012•扬州）在平面直角坐标系中，点P（m，m-2）在第一象限内，则m的取值范围是 ．
思路分析：根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出m的范围．
解：由第一象限点的坐标的特点可得：，
解得：m＞2．
故答案为：m＞2．
点评：此题考查了点的坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正．
对应训练
1．（2012•怀化）在平面直角坐标系中，点（-3，3）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1．B
考点二：平面直角坐标系与其只是
例2 （2012•济南）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（ ）
A．（2，0） B． （﹣1，1） C． （﹣2，1） D． （﹣1，﹣1）
考点： 点的坐标。810360
专题： 规律型。
分析： 利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
解答： 解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇；
…
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵2012÷3=670…2，
故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；
此时相遇点的坐标为：（﹣1，﹣1），
故选：D．
点评： 此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．
对应训练
2．（2012•莆田）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣1） B． （﹣1，1） C． （﹣1，﹣2） D． （1，﹣2）
考点： 点的坐标。810360
专题： 规律型。
分析： 根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
解答： 解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB=1﹣（﹣1）=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣（﹣2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2012÷10=201…2，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，
即点B的位置，点的坐标为（﹣1，1）．
故选B．
点评： 本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2012个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
考点三：函数的概念及函数自变量的取值范围
例3 （2012•凉山州）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
思路分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，根据分式有意义的条件，x≠0．就可以求出自变量x的取值范围．
解：根据题意得：x+1≥0且x≠0
解得：x≥-1且x≠0．
点评：本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
对应训练
3．（2012•衡阳）函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞-2 B．x≥2 C．x≠-2 D．x≥-2
3．A
考点四：函数图象的运用
例4 （2012•鸡西）一天晚饭后，小明陪妈妈从家里出去散步，如图描述了他们散步过程中离家的距离S（米）与散步时间t（分）之间的函数关系，下面的描述符合他们散步情景的是（ ）
A．从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了B．从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了
C．从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，18分钟后开始返回
思路分析：根据图象可知，有一段时间内时间在增加，而路程没有增加，意味着有停留，与x轴平行后的函数图象表现为随时间的增多路程又在增加，由此即可作出判断．
解：A、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了，图象为梯形，错误；
B、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了，描述不准确，错误；
C、从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了，图形为上升和下降的两条折线，错误；
D、从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，18分钟后开始返回从家出发，符合图象的特点，正确．
故选D．
点评：考查了函数的图象，读懂图象是解决本题的关键．首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据函数图象用排除法判断．
例5 （2012•铁岭）如图，ABCD的边长为8，面积为32，四个全等的小平行四边形对称中心分别在ABCD的顶点上，它们的各边与ABCD的各边分别平行，且与ABCD相似．若小平行四边形的一边长为x，且0＜x≤8，阴影部分的面积的和为y，则y与x之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
思路分析：根据平行四边形的中心对称性可知四块阴影部分的面正好等于一个小平行四边形的面积，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方列式求出y与x之间的函数关系式，然后根据二次函数图象解答．
解：∵四个全等的小平行四边形对称中心分别在ABCD的顶点上，
∴阴影部分的面积等于一个小平行四边形的面积，
∵小平行四边形与ABCD相似，
∴，
整理得，
又0＜x≤8，
纵观各选项，只有D选项图象符合y与x之间的函数关系的大致图象．
故选D．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据平行四边形的对称性与相似多边形的面积的比等于相似比的平方求出y与x的函数关系是解题的关键．
对应训练
4．（2012•绥化）甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（ ）
A．甲队率先到达终点B．甲队比乙队多走了200米路程
C．乙队比甲队少用0.2分钟
D．比赛中两队从出发到2.2秒时间段，乙队的速度比甲队的速度快
4．C
4．解：A、由函数图象可知，甲走完全程需要4分钟，乙走完全程需要3.8分钟，乙队率先到达终点，本选项错误；
B、由函数图象可知，甲、乙两队都走了1000米，路程相同，本选项错误；
C、因为4-3.8=02分钟，所以，乙队比甲队少用0.2分钟，本选项正确；
D、根据0～2.2分钟的时间段图象可知，甲队的速度比乙队的速度快，本选项错误；
故选C．
5．（2012•绥化）如图，点A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OC-
-DO的路线做匀速运动，设运动的时间为t秒，∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y（度）与t（秒）之间函数关系最恰当的是（ ）
A． B． C． D．
考点：动点问题的函数图象．分析：根据动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小，当P在
CD
上运动时，∠APB不变，当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大，即可得出答案．解答：解：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；
当P在上运动时，∠APB不变；
当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大．
故选C．点评：本题主要考查了动点问题的函数图象，用到的知识点是圆周角、圆内的角及函数图象认识的问题．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
【聚焦山东中考】
1．（2012•威海）函数y=的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B． x≥3 C． x≠3 D． x＜﹣3
考点： 函数自变量的取值范围。810360
分析： 一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
解答： 解：根据题意得到：x﹣3＞0，
解得x＞3．
故选A．
点评： 本题考查了函数式有意义的x的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
2．（2012•菏泽）点P（-2，1）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．B
3．（2011•青岛）如图，若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．（-4，3） B．（4，3） C．（-2，6） D．（-2，3）
3．A
4．（2012•日照）洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）．在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间函数关系的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．D
解：每浆洗一遍，注水阶段，洗衣机内的水量从0开始逐渐增多，
清洗阶段，洗衣机内的水量不变且保持一段时间，
排水阶段，洗衣机内的水量开始减少，直至排空为0，
纵观各选项，只有D选项图象符合．
故选D．
5．（2012•济宁）周一的升旗仪式上，同学们看到匀速上升的旗子，能反应其高度与时间关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．D
解：∵旗子是匀速上升的，且开始时是拿在同学手中，
∴旗子的高度与时间关系是一次函数关系，并且随着时间的增大高度在不断增大，
纵观各选项，只有D选项图象符合．
故选D．
7．（2012•临沂）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．B
解：①0≤x≤4时，
∵正方形的边长为4cm，
∴y=S△ABD-S△APQ
=×4×4-•t•t
=-t2+8，
②4≤x≤8时，
y=S△BCD-S△CPQ
=×4×4-•（8-t）•（8-t）
=-（8-t）2+8，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选B．
8．（2012•莱芜）下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序（ ）
①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）
②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）
③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）
④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）
A．①②③④ B． ③④②① C． ①④②③ D． ③②④①
考点： 函数的图象。810360
专题： 图表型。
分析： ①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案．
解答： 解：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；
②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；
④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低；
①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系．
故顺序为③②④①．
故选D．
点评： 本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012•柳州）如图，P1、P2、P3这三个点中，在第二象限内的有（ ）
A．P1、P2、P3 B． P1、P2 C． P1、P3 D． P1
考点： 点的坐标。810360
分析： 根据点的坐标的定义，确定出这三个点的位置，即可选择答案．
解答： 解：由图可知，P1在第二象限，
点P2在y轴的正半轴上，
点P3在x轴的负半轴上，
所以，在第二象限内的有P1．
故选D．
点评： 本题考查了点的坐标，主要是对象限内的点与坐标轴上点的认识，是基础题．
2．（2012•龙岩）在平面直角坐标系中，已知点P（2，﹣3），则点P在（ ）
A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 点的坐标。810360
分析： 根据各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）可以得到答案．
解答： 解：∵横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P（2，﹣3）在第四象限，
故选D．
点评： 此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
3．（2012•资阳）如图所示的球形容器上连接着两根导管，容器中盛满了不溶于水的比空气重的某种气体，现在要用向容器中注水的方法来排净里面的气体．水从左导管匀速地注入，气体从右导管排出，那么，容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
3．C
解：∵水从左导管匀速地注入，气体从右导管排出时，
容器内剩余气体的体积随着注水时间的增加而匀速减少，
∴容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是C．
故选C．
4．（2012•河池）下列图象中，表示y是x的函数的个数有（ ）
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 函数的概念。810360
分析： 根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
解答： 解：第一个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
第二个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
第三个图象，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；
第四个图象，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象．
综上所述，表示y是x的函数的有第一个、第二个，共2个．
故选B．
点评： 本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
5．（2012•自贡）伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度匀速原路返回学校．这一情景中，速度v和时间t的函数图象（不考虑图象端点情况）大致是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 函数的图象。810360
分析： 往返路程相同，先慢，速度小，时间长，后快，速度大，时间短，由此判断函数图象．
解答： 解：依题意，回家时，速度小，时间长，返校时，速度大，时间短，
故选A．
点评： 主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
6．（2012•重庆）2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行．小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为S．下面能反映S与t的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 函数的图象。810360
专题： 数形结合。
分析： 根据题意，把图象分为四段，第一段，小丽从出发到往回开，第二段到遇到妈妈，第三段与妈妈聊了一会，第四段，接着开往比赛现场分析图象，然后选择答案．
解答： 解：根据题意可得，S与t的函数关系的大致图象分为四段，
第一段，小丽从出发到往回开，与比赛现场的距离在减小，
第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大，
第三段与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变，
第四段，接着开往比赛现场，与比赛现场的距离逐渐变小，直至为0，
纵观各选项，只有B选项的图象符合．
故选B．
点评： 本题考查了函数图象的知识，读懂题意，把整个过程分解成分段图象是解题的关键．
7．（2012•岳阳）如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 动点问题的函数图象。810360
专题： 动点型。
分析： 过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，则可证明△ENK≌△ENL，从而得出重叠部分的面积不变，继而可得出函数关系图象．
解答： 解：如右图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，
∵点E是正方形的对称中心，
∴EN=EM，
由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL，
在Rt△ENK和Rt△EML中，，
故可得△ENK≌△ENL，即阴影部分的面积始终等于正方形面积的．
故选B．
点评： 此题考查了动点问题的函数图象，证明△ENK≌△ENL，得出阴影部分的面积始终等于正方形面积的是解答本题的关键．
8．（2012•厦门）已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示
x
﹣1
0
1
y
﹣1
1
3
则y与x之间的函数关系式可能是（ ）
A．y=x B． y=2x+1 C． y=x2+x+1 D．
考点： 函数关系式。810360
分析： 观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出符合要求的关系式．
解答： 解：A．y=x，根据表格对应数据代入得出y≠x，故此选项错误；
B．y=2x+1，根据表格对应数据代入得出y=2x+1，故此选项正确；
C．y=x2+x+1，根据表格对应数据代入得出y≠x2+x+1，故此选项错误；
D．y=，根据表格对应数据代入得出y≠，故此选项错误．
故选：B．
点评： 此题主要考查了求函数关系式，本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的对应变化规律是解题关键．
9．（2012•十堰）一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车离乙地的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．甲、乙两地的路程是400千米 B． 慢车行驶速度为60千米/小时
C．相遇时快车行驶了150千米 D． 快车出发后4小时到达乙地
考点： 函数的图象。810360
分析： 根据函数的图象中的相关信息逐一进行判断即可得到答案．
解答： 解：观察图象知甲乙两地相距400千米，故A选项正确；
慢车的速度为150÷2.5=60千米/小时，故B选项正确；
相遇时快车行驶了400﹣150=250千米，故C选项错误；
快车的速度为250÷2.5=100千米/小时，用时400÷100=4小时，故D选项正确．
故选C．
点评： 本题考查了函数的图象的知识，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，通过此类题目的训练能提高同学们的读图能力．
10．（2012•青海）如图反映的过程是：小刚从家去菜地浇水，又去青稞地除草，然后回家，如果菜地和青稞地的距离为a千米，小刚在青稞地除草比在菜地浇水多用了b分钟，则a，b的值分别为（ ）
A．1，8 B． 0.5，12 C． 1，12 D． 0.5，8
考点： 函数的图象。810360
专题： 图表型。
分析： 首先弄清横、总坐标所表示的意义，然后根据各个特殊点来分段分析整个函数图象．
解答： 解：此函数大致可分以下几个阶段：
①0﹣12分种，小刚从家走到菜地；
②12﹣27分钟，小刚在菜地浇水；
③27﹣33分钟，小刚从菜地走到青稞地；
④33﹣56分钟，小刚在青稞地除草；
⑤56﹣74分钟，小刚从青稞地回到家；
综合上面的分析得：由③的过程知，a=1.5﹣1=0.5千米；
由②、④的过程知b=（56﹣33）﹣（27﹣12）=8分钟．
故选D．
点评： 主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
13．（2012•泸州）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：
（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；
（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部份按0.80元/度计算（未超过部份仍按每度电0.50元计算）．
现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 分段函数；函数的图象。810360
专题： 分类讨论。
分析： 根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得解．
解答： 解：根据题意，当0≤x≤100时，y=0.5x，
当x＞100时，y=100×0.5+0.8（x﹣100），
=50+0.8x﹣80，
=0.8x﹣30，
所以，y与x的函数关系为y=，
纵观各选项，只有C选项图形符合．
故选C．
点评： 本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键．
14．（2012•六盘水）如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离y（千米）与时间t（分钟）之间的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A． 张大爷去时所用的时间少于回家的时间
B． 张大爷在公园锻炼了40分钟
C． 张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路
D． 张大爷去时速度比回家时的速度慢
考点： 函数的图象。810360
分析： 根据图象可以得到张大爷去时所用的时间和回家所用的时间，在公园锻炼了多少分钟，也可以求出去时的速度和回家的速度，根据可以图象判断去时是否走上坡路，回家时是否走下坡路．
解答： 解：如图，
A、张大爷去时所用的时间为15分钟，回家所用的时间为5分钟，故选项错误；
B、张大爷在公园锻炼了40﹣15=25分钟，故选项错误；
C、据（1）张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路，故选项错误．
D、张大爷去时用了15分钟，回家时候用了5分钟，因此去时的速度比回家时的速度慢，故选项正确．
故选D．
点评： 本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
16．（2012•海南）星期六，小亮从家里骑直行车到同学家去玩，然后返回，图是他离家的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法不一定正确的是（ ）
A． 小亮到同学家的路程是3千米
B． 小亮在同学家逗留的时间是1小时
C． 小亮去时走上坡路，回家时走下坡路
D． 小亮回家时用的时间比去时用的时间少
考点： 函数的图象。810360
专题： 数形结合。
分析： 根据函数图象，结合实际生活意义，对图象进行分析判断即可得解．
解答： 解：A、由图象可知，小亮离家3千米后，路程不再变化，说明小亮到他同学家的路程是3千米，故本选项正确；
B、路程保持3千米的时间为80﹣20=60分钟，也就是1小时，说明小亮在同学家逗留的时间是1小时，故本选项正确；
C、从题目与图象中无法看出是否有上坡与下坡的路段，故本选项错误；
D、去时用的时间为20﹣0=20分钟，
回家时用的时间为95﹣80=15分钟，
∵15＜20，
∴小亮回家时用的时间比去时用的时间少，故本选项正确．
故选C．
点评： 本题考查了函数图象的分析判断能力，根据图象分析出小亮从离开家到回到家的整个过程是解题的关键．
二、填空题
19．（2012•绍兴）小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系是 （只需填序号）．
24．④，②
解：∵小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回，
∴表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是④；
∵父亲看了10分报纸后，用了15分返回家，
∴表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是②．
故答案为：④②．
20．（2012•苏州）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了 秒（结果保留根号）．
20．（4+2）
解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，
∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4-2=2秒，
∵动点P的运动速度是1cm/s，
∴AB=2cm，BC=2cm，
过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
则四边形BCFE是矩形，
∴BE=CF，BC=EF=2cm，
∵∠A=60°，
∴BE=ABsin60°=2×= ，
AE=ABcos60°=2×=1，
∴×AD×BE=3，
即×AD× =3，
解得AD=6cm，
∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3，
在Rt△CDF中，CD==，
所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+=4+，
∵动点P的运动速度是1cm/s，
∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+）÷1=4+（秒）．
故答案为：（4+）．
21．（2012•无锡）函数y=1+中自变量x的取值范围是 ．
考点： 函数自变量的取值范围。810360
专题： 常规题型。
分析： 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解答： 解：根据题意得，2x﹣4≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
点评： 考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
22．（2012•鸡西）函数y=+中，自变量x的取值范围是 ．
考点： 函数自变量的取值范围。810360
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
解答： 解：根据题意得：，
解得：x＜1且x≠0，
故答案是：x＜1且x≠0．
点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
23．（2012•恩施州）当x= 时，函数y=的值为零．
考点： 函数值；分式的值为零的条件。810360
专题： 计算题。
分析： 令函数值为0，建立关于x的分式方程，解分式方程即可求出x的值．
解答： 解：令=0，
去分母得，3x2﹣12=0，
移项系数化为1得，x2=4，
x=2或x=﹣2．
检验：当x=2时，x﹣2=0，故x=2不是原方程的解；
当x=﹣2时，x﹣2≠0，故x=﹣2是原方程的解．
故答案为﹣2．
点评： 本题考查了函数的值和分式值为0的条件，解分式方程时要注意检验．
24．（2012•宁德）五一节某超市搞促销活动：①一次性购物不超过150元不享受优惠；②一次性购物超过150元但不超过500元一律九折；③一次性购物超过500元一律八折．王宁两次购物分别付款120元、432元，若王宁一次性购买与上两次相同的商品，则应付款 元．
考点： 分段函数。810360
分析： 首先计算出两次购买应该付款的数额，然后根据优惠方案即可求解．
解答： 解：一次性购物超过150元，但不超过500元一律9折则在这个范围内最低付款135元，因而第一次付款120元，没有优惠；
第二次购物时：是第二种优惠，可得出原价是432÷0.9=480（符合超过150不高于500）．
则两次共付款：120+480=600元，超过500元，则一次性购买应付款：600×0.8=480元；
当第二次付款是超过500元时：可得出原价是 432÷0.8=540（符合超过500元），
则两次共应付款：120+540=660元，则一次性购买应付款：660×0.8=528元．
则一次性购买应付款：480元或528元．
故答案是：480元或528．
点评： 本题考查了分段函数，确定第二次购物时享受了哪种优惠方案，从而确定第二次购物时应付款数是关键．
三、解答题
26．（2012•无锡）如图1，A、D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．
26．解：（1）连接AD，设点A的坐标为（a，0），
由图2知，DO+OA=6cm，
DO=6-AO，
由图2知S△AOD=4，
∴DO•AO=4，
∴a2-6a+8=0，
解得a=2或a=4，
由图2知，DO＞3，
∴AO＜3，
∴a=2，
∴A的坐标为（2，0），
D点坐标为（0，4），
在图1中，延长CB交x轴于M，
由图2，知AB=5cm，CB=1cm，
∴MB=3，
∴AM= =4．
∴OM=6，
∴B点坐标为（6，3）；
（2）显然点P一定在AB上．设点P（x，y），连PC、PO，则
S四边形DPBC=S△DPC+S△PBC=S五边形OABCD=（S矩形OMCD-S△ABM）=9，
∴×6×（4-y）+×1×（6-x）=9，
即x+6y=12，
同理，由S四边形DPAO=9可得2x+y=9，
由A（2，0），B（6，3）求得直线AB的函数关系式为y=x-，
由 [或 或 ]
解得x=，y=．
∴P（，），
设直线PD的函数关系式为y=kx+4，
则=k+4，
∴k=- ，
∴直线PD的函数关系式为y=-x+4．
中考数学专题复习第十一讲：平面直角坐标系与函数
【基础知识回顾】
一、 平面直角坐标系：
1、定义：具有 的两条 的数轴组成平面直角坐标系，两条数轴分别称 轴 轴或 轴 轴，这两系数轴把一个坐标平面分成的四个部分，我们称作是四个
2、有序数对：在一个坐标平面内的任意一个点可以用一对 来表示，如A（a .b），（a .b）即为点A的 其中a是该点的 坐标，b是该点的 坐标平面内的点和有序数对具有 的关系。
3、各象限内点的特点：平面内点的坐标特征
① P（a .b）：第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
X轴上 Y轴上
②对称点：P对称点
③特殊位置点的特点：P（a .b）若在一、三象限角的平分线上，则
若在二、四象限角的平分线上，则
④对坐标轴的距离：P（a .b）到x轴的距离 到y轴的距离 到原点的距离
⑤坐标平面 内点 的 平移：将点P（a .b）向左右平移h个点位，对应点坐标为 或
向上（下）平移K个点位，对应点坐标为 或
【赵老师提醒：坐标平面内点的坐标所具备的特征必须结合坐标平面去理解和记忆，不可生硬死记一些结论】
二、确信位置常用的方法：
一、一般由两种：1、 平面直角坐标系中的有序数时 2、 方位角与距离
三、函数的有关概念：
1、常量与变量：在某一变化过程中，始终保持 的量叫做常量，数值发生 的量叫做变量
【赵老师提醒：常量与变量是相对的，在一个变化过程中，用一个量在不同情况下可以是常量，也可以是变量，要根据问题的条件来确定】
2、函数：
⑴、函数的概念：一般的在某个 过程中如果有两个变量x、y对于x德每一个确定的值，y都有 的值与之对应，我们就成x是 y是x的
⑵、自变量的取值范围：
主要有两种情况：①、解析或有意义的条件，常见分式和二次根式两种情况
②、实际问题有意义的条件：必须符合实际问题的背景
⑶、函数的表示方法：
通常有三种表示函数的方法：①、 法②、 法③、 法
⑷、函数的同象：
对于一个函数，把自变象x和函数y的每对对应值作为点的 与
在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫做这个函数的同象
【赵老师提醒：1、在确定自变量取值范围时要注意分式和二次根式同时存在，应保证两者都有意义，即被开数应 同时分母应
2、函数的三种表示方法应根据实际需要选择，有时需同时使用几种方法
3、函数同象是在自变量取值范围内无限个点组成的图形，同象上任意一点的坐标是解析式方程的一个解，反之满足解析式方程的每一个解都在函数同象上】
【重点考点例析】
考点一：平面直角坐标系中点的特征
例1 （2012•扬州）在平面直角坐标系中，点P（m，m-2）在第一象限内，则m的取值范围是 ．
思路分析：根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出m的范围．
解：由第一象限点的坐标的特点可得：，
解得：m＞2．
故答案为：m＞2．
点评：此题考查了点的坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正．
对应训练
1．（2012•怀化）在平面直角坐标系中，点（-3，3）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1．B
考点二：平面直角坐标系与其只是
例2 （2012•济南）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（ ）
A．（2，0） B． （﹣1，1） C． （﹣2，1） D． （﹣1，﹣1）
考点： 点的坐标。810360
专题： 规律型。
分析： 利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
解答： 解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇；
…
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵2012÷3=670…2，
故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；
此时相遇点的坐标为：（﹣1，﹣1），
故选：D．
点评： 此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．
对应训练
2．（2012•莆田）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣1） B． （﹣1，1） C． （﹣1，﹣2） D． （1，﹣2）
考点： 点的坐标。810360
专题： 规律型。
分析： 根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
解答： 解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB=1﹣（﹣1）=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣（﹣2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2012÷10=201…2，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，
即点B的位置，点的坐标为（﹣1，1）．
故选B．
点评： 本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2012个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
考点三：函数的概念及函数自变量的取值范围
例3 （2012•凉山州）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
思路分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，根据分式有意义的条件，x≠0．就可以求出自变量x的取值范围．
解：根据题意得：x+1≥0且x≠0
解得：x≥-1且x≠0．
点评：本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
对应训练
3．（2012•衡阳）函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞-2 B．x≥2 C．x≠-2 D．x≥-2
3．A
考点四：函数图象的运用
例4 （2012•鸡西）一天晚饭后，小明陪妈妈从家里出去散步，如图描述了他们散步过程中离家的距离S（米）与散步时间t（分）之间的函数关系，下面的描述符合他们散步情景的是（ ）
A．从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了B．从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了
C．从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，18分钟后开始返回
思路分析：根据图象可知，有一段时间内时间在增加，而路程没有增加，意味着有停留，与x轴平行后的函数图象表现为随时间的增多路程又在增加，由此即可作出判断．
解：A、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了，图象为梯形，错误；
B、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了，描述不准确，错误；
C、从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了，图形为上升和下降的两条折线，错误；
D、从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，18分钟后开始返回从家出发，符合图象的特点，正确．
故选D．
点评：考查了函数的图象，读懂图象是解决本题的关键．首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据函数图象用排除法判断．
例5 （2012•铁岭）如图，ABCD的边长为8，面积为32，四个全等的小平行四边形对称中心分别在ABCD的顶点上，它们的各边与ABCD的各边分别平行，且与ABCD相似．若小平行四边形的一边长为x，且0＜x≤8，阴影部分的面积的和为y，则y与x之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
思路分析：根据平行四边形的中心对称性可知四块阴影部分的面正好等于一个小平行四边形的面积，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方列式求出y与x之间的函数关系式，然后根据二次函数图象解答．
解：∵四个全等的小平行四边形对称中心分别在ABCD的顶点上，
∴阴影部分的面积等于一个小平行四边形的面积，
∵小平行四边形与ABCD相似，
∴，
整理得，
又0＜x≤8，
纵观各选项，只有D选项图象符合y与x之间的函数关系的大致图象．
故选D．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据平行四边形的对称性与相似多边形的面积的比等于相似比的平方求出y与x的函数关系是解题的关键．
对应训练
4．（2012•绥化）甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（ ）
A．甲队率先到达终点B．甲队比乙队多走了200米路程
C．乙队比甲队少用0.2分钟
D．比赛中两队从出发到2.2秒时间段，乙队的速度比甲队的速度快
4．C
4．解：A、由函数图象可知，甲走完全程需要4分钟，乙走完全程需要3.8分钟，乙队率先到达终点，本选项错误；
B、由函数图象可知，甲、乙两队都走了1000米，路程相同，本选项错误；
C、因为4-3.8=02分钟，所以，乙队比甲队少用0.2分钟，本选项正确；
D、根据0～2.2分钟的时间段图象可知，甲队的速度比乙队的速度快，本选项错误；
故选C．
5．（2012•绥化）如图，点A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OC-
-DO的路线做匀速运动，设运动的时间为t秒，∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y（度）与t（秒）之间函数关系最恰当的是（ ）
A． B． C． D．
考点：动点问题的函数图象．分析：根据动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小，当P在
CD
上运动时，∠APB不变，当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大，即可得出答案．解答：解：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；
当P在上运动时，∠APB不变；
当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大．
故选C．点评：本题主要考查了动点问题的函数图象，用到的知识点是圆周角、圆内的角及函数图象认识的问题．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
【聚焦山东中考】
1．（2012•威海）函数y=的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B． x≥3 C． x≠3 D． x＜﹣3
考点： 函数自变量的取值范围。810360
分析： 一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
解答： 解：根据题意得到：x﹣3＞0，
解得x＞3．
故选A．
点评： 本题考查了函数式有意义的x的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
2．（2012•菏泽）点P（-2，1）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．B
3．（2011•青岛）如图，若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．（-4，3） B．（4，3） C．（-2，6） D．（-2，3）
3．A
4．（2012•日照）洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）．在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间函数关系的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．D
解：每浆洗一遍，注水阶段，洗衣机内的水量从0开始逐渐增多，
清洗阶段，洗衣机内的水量不变且保持一段时间，
排水阶段，洗衣机内的水量开始减少，直至排空为0，
纵观各选项，只有D选项图象符合．
故选D．
5．（2012•济宁）周一的升旗仪式上，同学们看到匀速上升的旗子，能反应其高度与时间关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．D
解：∵旗子是匀速上升的，且开始时是拿在同学手中，
∴旗子的高度与时间关系是一次函数关系，并且随着时间的增大高度在不断增大，
纵观各选项，只有D选项图象符合．
故选D．
7．（2012•临沂）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．B
解：①0≤x≤4时，
∵正方形的边长为4cm，
∴y=S△ABD-S△APQ
=×4×4-•t•t
=-t2+8，
②4≤x≤8时，
y=S△BCD-S△CPQ
=×4×4-•（8-t）•（8-t）
=-（8-t）2+8，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选B．
8．（2012•莱芜）下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序（ ）
①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）
②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）
③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）
④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）
A．①②③④ B． ③④②① C． ①④②③ D． ③②④①
考点： 函数的图象。810360
专题： 图表型。
分析： ①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案．
解答： 解：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；
②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；
④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低；
①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系．
故顺序为③②④①．
故选D．
点评： 本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012•柳州）如图，P1、P2、P3这三个点中，在第二象限内的有（ ）
A．P1、P2、P3 B． P1、P2 C． P1、P3 D． P1
考点： 点的坐标。810360
分析： 根据点的坐标的定义，确定出这三个点的位置，即可选择答案．
解答： 解：由图可知，P1在第二象限，
点P2在y轴的正半轴上，
点P3在x轴的负半轴上，
所以，在第二象限内的有P1．
故选D．
点评： 本题考查了点的坐标，主要是对象限内的点与坐标轴上点的认识，是基础题．
2．（2012•龙岩）在平面直角坐标系中，已知点P（2，﹣3），则点P在（ ）
A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 点的坐标。810360
分析： 根据各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）可以得到答案．
解答： 解：∵横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P（2，﹣3）在第四象限，
故选D．
点评： 此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
3．（2012•资阳）如图所示的球形容器上连接着两根导管，容器中盛满了不溶于水的比空气重的某种气体，现在要用向容器中注水的方法来排净里面的气体．水从左导管匀速地注入，气体从右导管排出，那么，容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
3．C
解：∵水从左导管匀速地注入，气体从右导管排出时，
容器内剩余气体的体积随着注水时间的增加而匀速减少，
∴容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是C．
故选C．
4．（2012•河池）下列图象中，表示y是x的函数的个数有（ ）
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 函数的概念。810360
分析： 根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
解答： 解：第一个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
第二个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
第三个图象，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；
第四个图象，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象．
综上所述，表示y是x的函数的有第一个、第二个，共2个．
故选B．
点评： 本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
5．（2012•自贡）伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度匀速原路返回学校．这一情景中，速度v和时间t的函数图象（不考虑图象端点情况）大致是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 函数的图象。810360
分析： 往返路程相同，先慢，速度小，时间长，后快，速度大，时间短，由此判断函数图象．
解答： 解：依题意，回家时，速度小，时间长，返校时，速度大，时间短，
故选A．
点评： 主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
6．（2012•重庆）2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行．小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为S．下面能反映S与t的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 函数的图象。810360
专题： 数形结合。
分析： 根据题意，把图象分为四段，第一段，小丽从出发到往回开，第二段到遇到妈妈，第三段与妈妈聊了一会，第四段，接着开往比赛现场分析图象，然后选择答案．
解答： 解：根据题意可得，S与t的函数关系的大致图象分为四段，
第一段，小丽从出发到往回开，与比赛现场的距离在减小，
第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大，
第三段与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变，
第四段，接着开往比赛现场，与比赛现场的距离逐渐变小，直至为0，
纵观各选项，只有B选项的图象符合．
故选B．
点评： 本题考查了函数图象的知识，读懂题意，把整个过程分解成分段图象是解题的关键．
7．（2012•岳阳）如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 动点问题的函数图象。810360
专题： 动点型。
分析： 过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，则可证明△ENK≌△ENL，从而得出重叠部分的面积不变，继而可得出函数关系图象．
解答： 解：如右图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，
∵点E是正方形的对称中心，
∴EN=EM，
由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL，
在Rt△ENK和Rt△EML中，，
故可得△ENK≌△ENL，即阴影部分的面积始终等于正方形面积的．
故选B．
点评： 此题考查了动点问题的函数图象，证明△ENK≌△ENL，得出阴影部分的面积始终等于正方形面积的是解答本题的关键．
8．（2012•厦门）已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示
x
﹣1
0
1
y
﹣1
1
3
则y与x之间的函数关系式可能是（ ）
A．y=x B． y=2x+1 C． y=x2+x+1 D．
考点： 函数关系式。810360
分析： 观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出符合要求的关系式．
解答： 解：A．y=x，根据表格对应数据代入得出y≠x，故此选项错误；
B．y=2x+1，根据表格对应数据代入得出y=2x+1，故此选项正确；
C．y=x2+x+1，根据表格对应数据代入得出y≠x2+x+1，故此选项错误；
D．y=，根据表格对应数据代入得出y≠，故此选项错误．
故选：B．
点评： 此题主要考查了求函数关系式，本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的对应变化规律是解题关键．
9．（2012•十堰）一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车离乙地的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．甲、乙两地的路程是400千米 B． 慢车行驶速度为60千米/小时
C．相遇时快车行驶了150千米 D． 快车出发后4小时到达乙地
考点： 函数的图象。810360
分析： 根据函数的图象中的相关信息逐一进行判断即可得到答案．
解答： 解：观察图象知甲乙两地相距400千米，故A选项正确；
慢车的速度为150÷2.5=60千米/小时，故B选项正确；
相遇时快车行驶了400﹣150=250千米，故C选项错误；
快车的速度为250÷2.5=100千米/小时，用时400÷100=4小时，故D选项正确．
故选C．
点评： 本题考查了函数的图象的知识，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，通过此类题目的训练能提高同学们的读图能力．
10．（2012•青海）如图反映的过程是：小刚从家去菜地浇水，又去青稞地除草，然后回家，如果菜地和青稞地的距离为a千米，小刚在青稞地除草比在菜地浇水多用了b分钟，则a，b的值分别为（ ）
A．1，8 B． 0.5，12 C． 1，12 D． 0.5，8
考点： 函数的图象。810360
专题： 图表型。
分析： 首先弄清横、总坐标所表示的意义，然后根据各个特殊点来分段分析整个函数图象．
解答： 解：此函数大致可分以下几个阶段：
①0﹣12分种，小刚从家走到菜地；
②12﹣27分钟，小刚在菜地浇水；
③27﹣33分钟，小刚从菜地走到青稞地；
④33﹣56分钟，小刚在青稞地除草；
⑤56﹣74分钟，小刚从青稞地回到家；
综合上面的分析得：由③的过程知，a=1.5﹣1=0.5千米；
由②、④的过程知b=（56﹣33）﹣（27﹣12）=8分钟．
故选D．
点评： 主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
13．（2012•泸州）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：
（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；
（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部份按0.80元/度计算（未超过部份仍按每度电0.50元计算）．
现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 分段函数；函数的图象。810360
专题： 分类讨论。
分析： 根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得解．
解答： 解：根据题意，当0≤x≤100时，y=0.5x，
当x＞100时，y=100×0.5+0.8（x﹣100），
=50+0.8x﹣80，
=0.8x﹣30，
所以，y与x的函数关系为y=，
纵观各选项，只有C选项图形符合．
故选C．
点评： 本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键．
14．（2012•六盘水）如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离y（千米）与时间t（分钟）之间的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A． 张大爷去时所用的时间少于回家的时间
B． 张大爷在公园锻炼了40分钟
C． 张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路
D． 张大爷去时速度比回家时的速度慢
考点： 函数的图象。810360
分析： 根据图象可以得到张大爷去时所用的时间和回家所用的时间，在公园锻炼了多少分钟，也可以求出去时的速度和回家的速度，根据可以图象判断去时是否走上坡路，回家时是否走下坡路．
解答： 解：如图，
A、张大爷去时所用的时间为15分钟，回家所用的时间为5分钟，故选项错误；
B、张大爷在公园锻炼了40﹣15=25分钟，故选项错误；
C、据（1）张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路，故选项错误．
D、张大爷去时用了15分钟，回家时候用了5分钟，因此去时的速度比回家时的速度慢，故选项正确．
故选D．
点评： 本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
16．（2012•海南）星期六，小亮从家里骑直行车到同学家去玩，然后返回，图是他离家的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法不一定正确的是（ ）
A． 小亮到同学家的路程是3千米
B． 小亮在同学家逗留的时间是1小时
C． 小亮去时走上坡路，回家时走下坡路
D． 小亮回家时用的时间比去时用的时间少
考点： 函数的图象。810360
专题： 数形结合。
分析： 根据函数图象，结合实际生活意义，对图象进行分析判断即可得解．
解答： 解：A、由图象可知，小亮离家3千米后，路程不再变化，说明小亮到他同学家的路程是3千米，故本选项正确；
B、路程保持3千米的时间为80﹣20=60分钟，也就是1小时，说明小亮在同学家逗留的时间是1小时，故本选项正确；
C、从题目与图象中无法看出是否有上坡与下坡的路段，故本选项错误；
D、去时用的时间为20﹣0=20分钟，
回家时用的时间为95﹣80=15分钟，
∵15＜20，
∴小亮回家时用的时间比去时用的时间少，故本选项正确．
故选C．
点评： 本题考查了函数图象的分析判断能力，根据图象分析出小亮从离开家到回到家的整个过程是解题的关键．
二、填空题
19．（2012•绍兴）小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系是 （只需填序号）．
24．④，②
解：∵小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回，
∴表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是④；
∵父亲看了10分报纸后，用了15分返回家，
∴表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是②．
故答案为：④②．
20．（2012•苏州）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了 秒（结果保留根号）．
20．（4+2）
解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，
∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4-2=2秒，
∵动点P的运动速度是1cm/s，
∴AB=2cm，BC=2cm，
过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
则四边形BCFE是矩形，
∴BE=CF，BC=EF=2cm，
∵∠A=60°，
∴BE=ABsin60°=2×= ，
AE=ABcos60°=2×=1，
∴×AD×BE=3，
即×AD× =3，
解得AD=6cm，
∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3，
在Rt△CDF中，CD==，
所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+=4+，
∵动点P的运动速度是1cm/s，
∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+）÷1=4+（秒）．
故答案为：（4+）．
21．（2012•无锡）函数y=1+中自变量x的取值范围是 ．
考点： 函数自变量的取值范围。810360
专题： 常规题型。
分析： 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解答： 解：根据题意得，2x﹣4≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
点评： 考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
22．（2012•鸡西）函数y=+中，自变量x的取值范围是 ．
考点： 函数自变量的取值范围。810360
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
解答： 解：根据题意得：，
解得：x＜1且x≠0，
故答案是：x＜1且x≠0．
点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
23．（2012•恩施州）当x= 时，函数y=的值为零．
考点： 函数值；分式的值为零的条件。810360
专题： 计算题。
分析： 令函数值为0，建立关于x的分式方程，解分式方程即可求出x的值．
解答： 解：令=0，
去分母得，3x2﹣12=0，
移项系数化为1得，x2=4，
x=2或x=﹣2．
检验：当x=2时，x﹣2=0，故x=2不是原方程的解；
当x=﹣2时，x﹣2≠0，故x=﹣2是原方程的解．
故答案为﹣2．
点评： 本题考查了函数的值和分式值为0的条件，解分式方程时要注意检验．
24．（2012•宁德）五一节某超市搞促销活动：①一次性购物不超过150元不享受优惠；②一次性购物超过150元但不超过500元一律九折；③一次性购物超过500元一律八折．王宁两次购物分别付款120元、432元，若王宁一次性购买与上两次相同的商品，则应付款 元．
考点： 分段函数。810360
分析： 首先计算出两次购买应该付款的数额，然后根据优惠方案即可求解．
解答： 解：一次性购物超过150元，但不超过500元一律9折则在这个范围内最低付款135元，因而第一次付款120元，没有优惠；
第二次购物时：是第二种优惠，可得出原价是432÷0.9=480（符合超过150不高于500）．
则两次共付款：120+480=600元，超过500元，则一次性购买应付款：600×0.8=480元；
当第二次付款是超过500元时：可得出原价是 432÷0.8=540（符合超过500元），
则两次共应付款：120+540=660元，则一次性购买应付款：660×0.8=528元．
则一次性购买应付款：480元或528元．
故答案是：480元或528．
点评： 本题考查了分段函数，确定第二次购物时享受了哪种优惠方案，从而确定第二次购物时应付款数是关键．
三、解答题
26．（2012•无锡）如图1，A、D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．
26．解：（1）连接AD，设点A的坐标为（a，0），
由图2知，DO+OA=6cm，
DO=6-AO，
由图2知S△AOD=4，
∴DO•AO=4，
∴a2-6a+8=0，
解得a=2或a=4，
由图2知，DO＞3，
∴AO＜3，
∴a=2，
∴A的坐标为（2，0），
D点坐标为（0，4），
在图1中，延长CB交x轴于M，
由图2，知AB=5cm，CB=1cm，
∴MB=3，
∴AM= =4．
∴OM=6，
∴B点坐标为（6，3）；
（2）显然点P一定在AB上．设点P（x，y），连PC、PO，则
S四边形DPBC=S△DPC+S△PBC=S五边形OABCD=（S矩形OMCD-S△ABM）=9，
∴×6×（4-y）+×1×（6-x）=9，
即x+6y=12，
同理，由S四边形DPAO=9可得2x+y=9，
由A（2，0），B（6，3）求得直线AB的函数关系式为y=x-，
由 [或 或 ]
解得x=，y=．
∴P（，），
设直线PD的函数关系式为y=kx+4，
则=k+4，
∴k=- ，
∴直线PD的函数关系式为y=-x+4．
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