高教版（2021）通用类第五节 牛顿运动定律及其应用教案

3、重心的计算

(1)     平行力系的中心

F1=F1a

2

F2=F2 a Fn=Fna

F1 向某点O点进行简化

F3 r2

a rn

主矢：F '

  Fi a

 

r1 r3

主矩：MO

Fn

  ri  Fi   ri  Fi a  ( Fi ri ) a

O 显然主矩MO垂直于单位矢量a,

因此主矩垂直于主矢。

简化为一个合力

合力作用线距O点距离为

由合力矩定理：

zy '

R F

F1

M x (FR )   M x (Fi )

F3  FR  yC

  Fi

 yi

C

yz Fn

故： y

  Fi  yi C F 

O C

zy x

类似地：x

  Fi  xi

C C 

xC

yz 同时改变各力的方向：M x (FR )   M x (Fi )

   FR

 zC

  Fi

 zi

z

  Fi

 zi

故： C F 

(2)     重心

物体各微小部分的重力近似组成一个空间平行力系， 此力系的合力大小称为物体的重量（重力），此力系的中心称为物体的重心，亦即物体重力合力的作用点称为物体的重心。

地球表面附近的刚体，其重心相对物体本身来说是

一个确定的几何点，不因物体的位置方位而变。

确定物体的重心在工程上有重要意义。

(3)     确定重心的方法：a. 对称确定法

对称且均质的物体，重心在其对称面、对称轴或对称中心上。

(3) 确定重心的方法：b. 悬挂法

(3) 确定重心的方法：c. 称重实验法

MAF  0

P xC

 F1  l 则

xC 

F1 l

P

MB F  0

F

P  xC  F2   l

xC

 2 l

P

l '  l cos

xC ' 

l2 2

sin  H

l

cos

    H 

l

h  F2    F1    l 

P H

zC 

r  h

 r 

F2    F1    l 

P H

(3)     确定重心的方法：d. 有限分割法

    P  xC

 P1

 x1

    P2

 x2

 ...  Pn

 xn

  Pi

 xi

xC 

 Pi xi P

P  zC

 P1  z1

    P2

 z2

 ...  Pn

 zn

  Pi

 zi

z    Pi zi C  P

    P  yC

 P1 

y1  P2  y2

 ...  Pn  yn

  Pi  yi

yC 

 Pi yi P

计算重心坐标的公式

x   Pi xi C  P

y   Pi yi C  P

z   Pi zi C  P

对均质物体有P=ρVg, 故：

x  Vi xi

C V

y  Vi yi C  V

z  Vi zi C  V

对均质板状物体有P=ρAhg, 故：

x   Ai xi

C A

y   Ai yi C  A

z   Ai zi C  A

例3 已知均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示, 单位为mm。求其

重心坐标。

解: 厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x, y

坐标即可.

用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与重心坐标分别为：

x 1   15 mm

y 1 

45 mm

A 1 

300 mm 2

x        2 

5 mm

y        2 

30 mm

A 2 

400 mm 2

x 3  15mm

y 3 

5mm

A 3 

300 mm 2

利用重心公式，有：

x  

Ai x i

 A1 x1  A2 x 2  A3 x 3

 2mm

C A A  A  A

y  

Ai y i

1 2 3

 A1 y 1  A2 y 2  A3 y 3

 27mm

C A A  A  A

1 2 3

(3) 确定重心的方法：e. 无限分割法

xC 

VxdP

P

yC 

V  ydP P

zC 

VzdP

P

类似地：

对均质物体有

xC 

VxdV

V

yC 

V  ydV V

zC 

VzdV

V

对均质板状物体有

x              

xdA

y              

ydA

z              

zdA

A A A

C A C A C A

例4 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。

解：取如图坐标系，让圆弧位于xoy 平面内， 并被x轴平分。

由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即

yC=0，只需求xC。

取微段dL O

dL Rd

x  R cos

x  Vx  dP

 L

x  gdL



 x  dL

L

C P Lg L

  R2

 

 cos 2R

 d

(3) 确定重心的方法：f. 负面积(体积)法

若物体被切去一部分，重心仍可应用有限分割法的公式来计算，但切去部分的面积或体积应该取负值。

分割原则：

将切掉的部分填充上形成一个完整物体，然后进行分割，按照有限分割法计算，此外填充的那部分也要计算并且在计算时面积或体积要取负值。

例5 已知等厚均质偏心块中R=100mm, r=17mm, b=13mm。求其

重心坐标。

解：用负面积法，物体视作由三部分组成.

上部分半圆+下部分半圆+中间空心圆（负的） 由对称性知xC=0, 故只需确定yC

A   R2

y  4R

1 2 1 3

A  

2 2

(r  b)2

y2 

 4(r  b)

3

A3   

由 yC

r2

  Ai yi

A

y3  0

得 y 

A1 y 1  A2 y 2  A3 y 3

 40.01mm

C A  A  A

1 2 3