2023年中考数学二轮复习高频考点突破——反比例函数与几何综合(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮复习高频考点突破——反比例函数与几何综合(含答案)，共44页。试卷主要包含了附加题等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与几何综合
1．已知，在平面直角坐标系中，点，是平行四边形OABC的两个顶点，反比例函数的图象经过点B．
（1）求出反比例函数的表达式；
（2）将沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，与y轴交于点C，轴于点B，且．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）若在y轴上有一点E，使为等腰三角形，求的长；
（3）在反比例函数图象上是否存在点D，使四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标：若不存在，请说明理由．
3．如图，是反比例函数在第一象限图象上一点，连接OA，过A作轴，截取在A右侧，连接OB，交反比例函数的图象于点P．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点B的坐标及OB所在直线解析式；
（3）求的面积．
4．附加题：对于某一函数给出如下定义：若存在实数，当其自变量的值为时，其函数值等于，则称为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度为零．例如，下图中的函数有0，1 两个不变值，其不变长度等于1．

（1）分别判断函数有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度_________；
（2）函数．
①若其不变长度为零，求的值；
②若，求其不变长度的取值范围；
（3）记函数的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为．函数的图象由和两部分组成，若其不变长度满足，则的取值范围为_________．
5．如图，点是反比例函数(＞)图象上的一点. 过点分别作轴、轴的平行线，分别与轴、轴交于点，，与经过点(，)的双曲线．(，＞)交于点，，连接．
（1）求的值；
（2）连接，．若点的横坐标为，求△的面积；
（3）若直线分别与轴，轴交于点，，求证：．

6．在平面直角坐标系中，过点P（0，a）作直线l分别交（m＞0、x＞0）、（n＜0、x＜0）于点M、N，
（1）若m＝2，MN∥x轴，＝6，求n的值；
（2）若a＝5，PM＝PN，点M的横坐标为4，求m－n的值；
（3）如图，若m＝4，n＝－6，点A(d，0)为x轴的负半轴上一点，B为x轴上点A右侧一点，AB＝4，以AB为一边向上作正方形ABCD，若正方形ABCD与（m＞0、x＞0）、（n＜0、x＜0）都有交点，求d的范围．

7．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点A(4，a)、B(－8，－2)．
（1）求k、b的值；
（2）求关于x的不等式的解集；
（3）若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图像上，且A、B、P、Q恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出点P的坐标．

8．如图所示，M、N、P在第二象限，横坐标分别是﹣4、﹣2、﹣1，双曲线y＝过M、N、P三点，且MN＝NP．
（1）求双曲线的解析式；
（2）过P点的直线l交x轴于A，交y轴于B，且PA＝4AB，且交y＝于另一点Q，求Q点坐标；
（3）以PN为边（顺时针方向）作正方形PNEF，平移正方形使N落在x轴上，点P、E对应的点P′、E'正好落在反比例函数y＝上，求F对应点F′的坐标．

9．如图，已知双曲线y=和直线y=-x+2，P是双曲线第一象限上一动点，过P作y轴的平行线，交直线y=-x+2于Q点，O为坐标原点．
    
（1）求直线y=-x+2与坐标轴围成三角形的周长；
（2）设△PQO的面积为S，求S的最小值．
（3）设定点R（2，2），以点P为圆心，PR为半径画⊙P，设⊙P与直线y=-x+2交于M、N两点．
①判断点Q与⊙P的位置关系，并说明理由；
②求S△MON=S△PMN时的P点坐标．
10．如图，一次函数y1＝kx+2图象与反比例函数y2＝图象相交于A，B两点，已知点B的坐标为(3，﹣1)．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式kx﹣≤﹣2的解集；
（3）点C为x轴上一动点，当S△ABC＝3时，求点C的坐标．

11．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A（−3，0），B（0，1）

（1）将△ABC沿x轴的正方向平移t个单位，B、C两点的对应点B′、C′正好落在反比例函数y=的图象上．请直接写出C点的坐标和t，k的值；
（2）有一个Rt△DEF，∠D=90°，∠E=60°，DE=2，将它放在直角坐标系中，使斜边EF在x轴上，直角顶点D在（1）中的反比例函数图象上，求点F的坐标；
（3）在（1）的条件下，问是否存在x轴上的点M和反比例函数y=图象上的点N，使得以B′、C′、M、N为顶点的四边形构成平行四边形?如果存在，直接写出所有满足条件的点M和点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A(，3)在反比例函数C：y=(x>0)上，点P是反比例函数C：y=(x>0)上-动点，连接AP，点M在x轴上，且满足MP⊥AP，垂足为P．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P(2，n)，求PM所在直线的解析式；
(3)PB⊥x轴，B为垂足，CA⊥y轴，BP的延长线交AC于点C，当△AMP与△APC相似时，请写出∠AMP与∠BMP的数量关系，并说明理由．

13．小明在课外研究中，设计如下题目：直线过点，，直线与曲线交于点．
（1）求直线和曲线的关系式．（图1）

（2）小明发现曲线关于直线对称，他把曲线与直线的交点叫做曲线的顶点．（图2）
①直接写出点的坐标；
②若点从点出发向上运动，运动到时停止，求此时的面积．
14．如图，矩形OABC的顶点A，C在x，y轴正半轴上，反比例函数过OB的中点D，与BC，AB交于M,N，且已知D(m,2),N(8,n)．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）若将矩形一角折叠，使点O与点M重合，折痕为PQ，求点P的坐标；
（3）如图2，若将沿OM向左翻折，得到菱形OQMR，将该菱形沿射线OB以每秒个单位向上平移t秒．
① 用t的代数式表示和的坐标；
② 要使该菱形始终与反比例函数图像有交点，求t的取值范围．
15．如图，水平放在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点在函数的图象上．

求函数的表达式；
求点的坐标；
将沿轴正方向平移个单位后，判断点能否落在函数的图象上，请说明理由．
16．如图，反比例函数的图象经过点，直线与双曲线交于另一点，作轴于点，轴于点，连接．

（1）求的值；
（2）若，求直线的解析式；
（3）若，其它条件不变，直接写出与的位置关系．
17．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝﹣在第二象限内的图象相交于点A，与x轴的负半轴交于点B，与y轴的负半轴交于点C．

（1）求∠BCO的度数；
（2）若y轴上一点M的纵坐标是4，且AM＝BM，求点A的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P在y轴上，点Q是平面直角坐标系中的一点，当以点A、M、P、Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标．
18．如图1，等腰中，点分别在腰上，连结，若，则称为该等腰三角形的逆等线．
（1）如图1，是等腰的逆等线，若，求逆等线的长；
（2）如图2，若直角的直角顶点恰好为等腰直角底边上的中点，且点分别在上，求证：为等腰的逆等线；
（3）如图3，等腰的顶点与原点重合，底边在轴上，反比例函数的图象交于点，若恰为的逆等线，过点分别作轴于点轴于点，已知，求的长．


参考答案：
1．（1）；（2）在，理由见解析；（3）存在，，，，
【分析】（1）证明，则，故点，故，即可求解；
（2）翻折后点的坐标为：，则，即可求解；
（3）分、、三种情况，分别求解即可．
【解析】解：（1）分别过点、作轴的垂线，垂足分别为：、，

四边形为平行四边形，则，，
，，
故点，故，
则反比例函数表达式为：；
（2）翻折后点的坐标为：，
，

在反比例函数的图象上；
（3）如图示：

当时，点，；
当时，点；
当时，设点，
则，解得：；
综上，点的坐标为：，或或．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
2．（1）反比例函数，一次函数；（2）或或2；（3）
【分析】（1）根据得是等腰三角形，结合得点B坐标和n的值，再结合题意，列方程并求解，即可得到答案；
（2）设点，根据题意得：、,，再结合为等腰三角形，分、、三种情况计算，即可得到答案；
（3）根据题意，设，根据菱形的性质，列方程求解，即可得到答案．
【解析】（1）∵
∴是等腰三角形
∵
∴
∵点
∴点
∵轴于点B，点
∴
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数，一次函数；
（2）设点
∵一次函数与y轴交于点C
∴
∴
∵点    
∴,
若在y轴上有一点E，使为等腰三角形
则分三种可能：或或;
当时

∴
∴；
∴
当时

∴
当时

∴
∴或1（舍去）
∴
∴长或或2；
（3）点D在反比例函数图象上，设




若四边形为菱形，则
∴
∴
∴
∴在反比例函数图象上存在点D，使四边形为菱形，点坐标为．
【点评】本题考查了等腰三角形、反比例函数、一次函数、二元一次方程组、一元二次方程、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、反比例函数、一次函数、菱形的性质，从而完成求解．
3．（1）   （2）（9，3）；   （3）5
【分析】（1）直接代入A点坐标课的k的值，进而可得函数解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AB长，然后可得B点坐标．设OB所在直线解析式为y=mx（m≠0）利用待定系数法可求出BO的解析式；
（3）首先联立两个函数解析式，求出P点坐标，过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，连接AP，再确定E点坐标，最后求面积即可．
【解析】解：将点代入，
得：，
则反比例函数解析式为：；
如图，过点A作轴于点C，

则、，
，
轴，且，
点B的坐标为；
设OB所在直线解析式为，
将点代入得，
所在直线解析式为；
联立解析式：，
解得：
可得点P坐标为，
过点P作轴，延长DP交AB于点E，连接AP，

则点E坐标为，
，，，
则的面积．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．
4．（1）函数没有不变值；函数有－1和1两个不变值，其不变长度为2；（2）①；②；（3）m的取值范围为或
【分析】（1）由题意直接根据定义分别求解即可求得答案；
（2）①根据题意首先由函数y=2x2-bx=x，求得x（2x-b-1）=0，然后由其不变长度为零，求得答案；
②由①，利用1≤b≤3，可求得其不变长度q的取值范围；
（3）根据题意由记函数y=x2-2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2，可得函数G的图象关于x=m对称，然后根据定义分别求得函数的不变值，再分类讨论即可求得答案．
【解析】解：（1）∵函数y=x-1，令y=x，则x-1=x，无解；
∴函数y=x-1没有不变值；
∵函数，令y=x，则，解得：x=±1，
∴函数的不变值为±1，q=1-（-1）=2，
故答案为：函数没有不变值；函数有和1两个不变值，其不变长度为2；
（2）①函数的不变长度为零，
令y=x，则x=2x2-bx，
整理得：x（2x-b-1）=0，
∵q=0，
∴x=0且2x-b-1=0，
解得：b=-1；
②解方程，
由①知：x（2x-b-1）=0，
∴x=0或2x-b-1=0，
得


函数的不变长度的取值范围为
（3）∵记函数y=x2-2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2．
∴函数G的图象关于x=m对称，
∴G：，
∵当x2-2x=x时，x3=0，x4=3；
当（2m-x）2-2（2m-x）=x时，△=1+8m，
当△＜0，即m＜时，q=x4-x3=3；
当△≥0，即m≥时，，
当≤m≤0时，
∴x6＜0，
∴（不符合题意，舍去）；
②∵当x5=x4时，m=1，当x6=x3时，m=3；
当0＜m＜1时，x3=0（舍去），x4=3，
此时（舍去）；
当1≤m≤3时，x3=0（舍去），x4=3，
此时；
当m＞3时，x3=0（舍去），x4=3（舍去），
此时（舍去）；
综上所述：m的取值范围为1≤m≤3或m＜．
故答案为：的取值范围为或．
【点评】本题属于二次函数的综合题，考查二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．注意掌握分类讨论思想的应用是解答此题的关键．
5．（1）10   （2）24  （3）见解析
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）作轴于，首先求得，则可得到，，然后根据，求得即可；
（3）先根据待定系数法求得直线的解析式，即可求得、的坐标，进而求得，，再利用求得，即可证得．
【解析】解：（1）点在双曲线上，
，
解得：；
（2）过点作轴于点．
点的横坐标为2，
，
点的坐标为，
同理可得，，
点，都在反比例函数的图象上，
，
，
（3）过点作轴于点．
设点，则点，，
设直线的函数关系式为．
，
解得：，
直线的函数关系式为，
∴，，
∴，．
，，
，，
，
∴，
．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，三角形的面积以及三角形全等的判定和性质，熟悉相关性质是解题的关键．
6．（1）－10；（2）40；（3）
【分析】（1）点P（0，a），则点M、N的坐标分别为（，a）、（，a），则S△MON＝6＝×MN×OP＝×（−）×a，即可求解；
（2）点M、N的坐标分别为（，a）、（，a），PM＝PN，则＝−，解得：m＝−n，即可求解；
（3）若正方形ABCD与（m＞0、x＞0）、（n＜0、x＜0）都有交点，则HD≥0且CG≥0，由此即可求解．
【解析】解：（1）点P（0，a），则点M、N的坐标分别为（，a）、（，a），
则S△MON＝6＝×MN×OP＝×（−）×a，
解得：n＝−10；
（2）点M、N的坐标分别为（，a）、（，a），
∵PM＝PN，则＝−，
解得：m＝−n，
若a＝5，点M的横坐标为4，则点M（4，5），
故m＝4×5＝20＝−n，
故m−n＝40；
（3）点A（d，0），则点B（d＋4，0），点D、C的坐标分别为（d，4）、（d＋4，4），
设正方形交两个反比例函数于点G、H，则点G、H的坐标分别为（d，−）、（d＋4，），

若正方形ABCD与（m＞0、x＞0）、（n＜0、x＜0）都有交点，
则HD≥0且CG≥0，即，且d＜0，d＋4＞0，
解得：−3≤d≤−，
故d的范围为：−3≤d≤−．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到正方形的性质、解不等式、面积的计算等，综合性强，难度适中．
7．（1）k＝16，b＝2    
（2）    
（3）
【分析】（1）由点B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，可求出k，b的值；
（2）观察两函数图象的上下位置关系，由此可得出不等式的解集；
（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，），分AB为边及AB为对角线两种情况考虑列出关于m，n的方程组，解之即可得出点P的坐标．
【解析】解：（1）∵一次函数y=的图象过点B（-8，-2），
∴-2=-4+b，
∴b=2．
∵反比例函数y=的图象过点B（-8，-2），
∴k=（-8）×（-2）=16．
∴k=16, b=2．
（2）观察函数图象，可知：

当-8＜x＜0或x＞4时，一次函数y=x+2的图象在反比例函数y=的图象上方，
∴不等式的解集为-8＜x＜0或x＞4．
（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，）．
分两种情况考虑：
①AB为边，如图2所示．

当四边形AP1Q1B为平行四边形时,,
解得：
∴点P1的坐标为（0，）
当四边形ABP2Q2为平行四边形时，
解得：
∴点P2的坐标为（0，）
②AB为对角线，如图3所示．

∵四边形APBQ为平行四边形，

解得：
∴点P的坐标为（0，6）．
综上所述：当A，B，P，Q恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点P的坐标为（0，）或（0，）或（0，6）.
【点评】本题是反比例函数与几何综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，关键是运用数形结合思想及分类讨论思想进行解题.
8．（1）双曲线的解析式为y＝﹣；（2）Q（，﹣5）；（3）点F′的坐标为（﹣5，3）．
【分析】（1）先表示出点M，N，P的坐标，进而得出MN2，NP2，建立方程求解，即可得出结论；
（2）分点A在x轴的正半轴或负半轴上，判断出△AOB∽∠PQB，得出比例式，即可得出结论；
（3）先确定出点E，F坐标，设出点N'的坐标，进而得出点E'，F'，P'的坐标，即可得出结论．
【解析】（1）∵双曲线y＝过M、N、P三点，
∴M（﹣4，﹣），N（﹣2，﹣），P（﹣1，﹣k），
∴MN2＝[（﹣4﹣（﹣2）]2+[（﹣）﹣（﹣）]2＝4+，NP2＝1+，
∵MN＝NP，
∴MN2＝NP2，
∴4+＝1+，
∴k＝﹣4或k＝4（由于点P在第二象限，不符合题意，舍去），
∴双曲线的解析式为y＝﹣；
（2）由（1）知，双曲线的解析式为y＝﹣①，
由（1）知，k＝﹣4，
∴P（﹣1，4），
如图1，过点P作PQ⊥y轴于Q，则PQ＝1，
Ⅰ、当点A在x轴正半轴时，
∵PA＝4AB，
∴PB＝3AB，
∵PQ⊥y轴，OA⊥y轴，
∴OA∥PQ，
∴△AOB∽∠PQB，
∴，
∴＝，
∴OA＝，
∴A（，0），
∵P（﹣1，4），
∴直线PA的解析式为y＝﹣3x+1②，
联立①②解得，或，
∴Q（，﹣3），
Ⅱ、当点A在x轴负半轴上，
∵PA'＝A'B'，
∴PB'＝5A'B'，
同（Ⅰ）的方法得，△A'OB'∽△PQB'，
∴，
∴，
∴OA'＝，
∴A'（﹣，0），
∴直线PA'的解析式为y＝﹣5x﹣1③，
联立①③解得，或，
∴Q（，﹣5）；
（3）如图2，由（1）知，k＝﹣4，
∴P（﹣1，4），N（﹣2，2），
∵四边形PNEF是正方形，
∴EN＝PN，∠PNE＝90°，
过点N作y轴的平行线交过点P作x轴的平行线于G，过点E作EH⊥NG于H，
∴∠EHN＝∠NGP＝90°，
∴∠HEN+∠ENH＝90°，∠ENH+∠PNG＝90°，
∴∠HEN＝∠GNP，
∴△EHN≌△NGP（AAS），
∴NH＝PG＝|﹣2﹣（﹣1）|＝1，EH＝NG＝|4﹣2|＝2，
∴E（﹣4，3），
同理：F（﹣3，5），
记点N平移到x轴的N'位置，设N'（m，0），
∵N（﹣1，4），
∴点N向左平移（﹣2﹣m）个单位，再向下平移2个单位，
∴点P，E，F也向左平移（﹣2﹣m）个单位，再向下平移2个单位，得到点P'（m+1，2），E'（m﹣2，1），F'（m﹣1，3），
∴点P′、E'正好落在反比例函数y＝上，
∴b＝2（m+1）＝m﹣2，
∴m＝﹣4，
∴F'（﹣5，3），
即F对应点F′的坐标为（﹣5，3）．

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质，表示出点E'，F'的坐标是解本题的关键．
9．（1）；（2）当时，；（3）①点在上，理由见解析；②或．
【分析】（1）先求直线y=-x+2与坐标轴的交点A,B坐标，利用勾股定理求AB，即可得△OAB的周长。
（2）设，即可得出S=，利用二次函数最值即可求得
（3）①利用勾股定理或两点之间距离公式可求得PR2和PQ2，由PQ=PR，可得点Q在⊙P上；
②根据等腰直角三角形性质可得OE=，PD=,再由,可得OE=PD，进而可得，从而可求得点P的坐标。
【解析】解：（1）如图，在中，令，得，令，得，解得，
∴，
∴，，
∴的周长
；
（2）设，则，
∴
∴
∴当时，；

（3）①点在上．如图2，设，
由（2）知，
∴
过点作轴，过点作轴，
与交于，则
∴，
∴
∴
∴
∴点在上；

②如图3，过点作于，过点作于，则
∵，
∴，
∴，
∵轴
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴或．

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象应用，涉及的知识点较多，对知识点的掌握要求比较高。
10．（1）y1＝﹣x+2，y2＝；（2）﹣1≤x＜0或x≥3；（3）(，0)或(，0)
【分析】（1）将B的坐标（3，﹣1）分别代入一次函数y1＝kx+2图象与反比例函数y2＝中，可求出k、m的值，进而确定函数关系式，
（2）求出一次函数与反比例函数图象的交点坐标，根据图象得出不等式的解集，
（3）求出一次函数与x轴的交点坐标，根据S△ABC＝3，可以求出CM的长，分两种情况进行解答即可．
【解析】解：（1）把B（3，﹣1）分别代入y1＝kx+2和y2＝得：
﹣1＝3k+2，m＝3×（﹣1），
∴k＝﹣1，m＝﹣3，
∴一次函数和反比例函数的解析式分别为y1＝﹣x+2，y2＝，
（2）由题意得：
，解得：，，
∴A（﹣1，3）
不等式kx﹣≤﹣2的解集，即kx+2≤的解集，由图象可得，﹣1≤x＜0或x≥3，
∴不等式kx﹣≤﹣2的解集为﹣1≤x＜0或x≥3．
（3）直线y＝﹣x+2与x轴的交点M（2，0），即OM＝2，
∵S△ABC＝3，
∴S△AMC+S△BMC＝3
即：×CM×3+CM×1＝3，
解得：CM＝，
①当点C在M的左侧时，OC1＝2﹣＝，
∴点C的坐标为（，0），
②当点C在M的右侧时，OC2＝2+＝，
∴点C的坐标为（，0），
综合上述，点C的坐标为（，0）或（，0）．

【点评】考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系以及三角形面积等知识，分类讨论思想在本题的解答中得以体现．
11．（1）C（−4，3），t=6，k=6；（2）满足条件的点F的坐标为（−3，0）或（+3，0）；（3）存在，点N（3，2），M（7，0）时，四边形MNC′B′是平行四边形，当N′（−3，−2），M（−7，0）时，四边形M′N′B′C′是平行四边形
【分析】（1）过C点作CH⊥x轴，构造△CAH≌△ABO，从而确定C点坐标，根据坐标平移规律沿x轴的正方向平移t个单位可得B′（t、1）、C′（-4+t，3），根据反比例函数性质可求出t，然后可求出k；
（2）分情况画出斜边在x轴，直角顶点D在反比例图象上，先求出直角三角形斜边的高，即D点的y值，即可解决问题．
（3）分两种情形：①线段B′C′为平行四边形的边时．②线段B′C′是对角线时，分别求解即可．
【解析】（1）如图1中，过C点作CH⊥x轴，垂足为H，
∵∠BAC=∠AOB=∠CHA=90°，

∴∠CAH+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAH=∠ABO，
∵AC=AB，
∴△CHA≌△AOB（AAS），
∴AH=OB=1，OA=CH=3，
∴C（−4，3），B（0，1），
由题意（−4+t，3），（t，1），
∵,都在y=上，
∴（−4+t）×3=t×1，
∴t=6，
∴（6，1），
∴k=6．
（2）如图2中，作DH⊥x轴于H．
在Rt△DEF中，∵∠EDF=90°，∠DEF=60°，DE=2，

∴EF=4，DF=，
∵⋅DF⋅DE=⋅EF⋅DH，
∴DH=，
∴FH=3，EH=1，D（，），
∴OF=−3，
∴F（−3，0），
当点在点右侧时，（+3，0）．
综上所述，满足条件的点F的坐标为（−3，0）或（+3，0）．
（3）由（1）可知：（6，1），（2，3）．

当点N（3，2），M（7，0）时，四边形是平行四边形，
当（−3，−2），M（−7，0）时，四边形是平行四边形．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．（1）y=；（2）y=x﹣；（3）∠AMP=∠BMP或∠AMP+∠BMP=90°，理由见解析．
【分析】（1）k=×3=2，故反比例函数的解析式为：y=；
（2）先求出点P的坐标，然后得到点C的坐标，再证明△APC∽△PMB，得到点M的坐标，根据待定系数法，即可求出直线的解析式.
（3）根据相似三角形的性质，分成两种情况进行讨论，即可得到答案.
【解析】解：（1）∵k=×3=2，
∴反比例函数的解析式为：y=；
(2)∵P（2，n）在反比例函数C：y=(x>0)的图象上，
∴n=1，
∴P(2，1)．
∵PB⊥x轴，MP⊥AP，CA⊥y轴，
∴C(2，3)，∠C=∠APM=∠MBP=90°，
∴∠APC＋∠MPB=90°，∠PMB＋∠MPB=90°
∴∠APC=∠PMB，
∴△APC∽△PMB
∴=，
∴MB=，M(，0)
设PM所在直线的解析式为：y=kx十b，
将P(2，1)，M(，0)代入得，
，
解得：，
∴y=x﹣；
(3)当△AMP与△APC相似时，又∵△APC∽△PMB，
∴△АМР与△PMB相似，
∴∠AMP=∠BMP或∠AMP=∠PBM，
∴∠AMP=∠BMP或∠AMP+∠BMP=90°．
【点评】此题综合考查了反比例函数的综合运用，三角形相似的判定和性质，一次函数的性质，余角的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
13．（1），；（2）①，②．
【分析】（1）把，代入，列出关于k和b的二元一次方程组，求出k和b的值，即可求出直线的解析式，把点代入直线解析式，求出n=1，把 代入，即可求出曲线的解析式.
(2)列方程组，方程组的解，即为P点的坐标，由曲线关于直线对称，，可得点C和点D 关于对称，解点D的坐标，通过做辅助线，分别过点D、点P、点C向x轴作垂线，分别交x轴于点M、点N、点F，得到，求得的面积.
【解析】（1）将点，的坐标代入，
得：，解得
∴直线解析式为：，
∵直线过点
∴把C点坐标代入得，n=1，
∴C点坐标为，
将C点坐标代入，解得m=4，
∴曲线的关系式为：.
(2) ①∵点P是曲线与直线的交点，
∴得到方程组，解得，或，
∵x>0,
∴P点的坐标为
②分别过点D、点P、点C向x轴作垂线，分别交x轴于点M、点N、点F.

∵曲线关于直线对称，
∴当时，点C和点D 关于对称，
∴点D得坐标为（1,4），
∴
，
∴.
【点评】本题主要考查的是反比例函数和一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式和轴对称点的坐标求法，由曲线关于直线对称， 时，得到点C和点D 关于对称，求得点D得坐标是解题的关键．
14．（1）；（2）；（3）①；；②
【分析】（1）由题意得OA=8，因为D为OB的中点，得出D（4，2），代入反比例函数的解析式可得；
（2）求出M点的坐标，再利用勾股定理求出OP的长，可得点P坐标；
（3）①过点O′作O′T⊥x轴，垂足为T，可得△OO′T∽△OBA，进而可表示的坐标，利用勾股定理求出CR，可表示的坐标；
②把R′（2t-3，t+4）代入反比例函数的解析式解答即可．
【解析】解：（1）∵N（8，n），四边形OABC是矩形，
∴OA=8，
∵D为OB的中点，
∴D（4，2），
∴2=，则k=8，
∴y=；
（2）∵D（4，2），
∴点M纵坐标为4，
∴4=，则x=2，
∴M（2，4），
设OP=x，则MP=x，CP=4-x，CM=2，由勾股定理得：（4-x）2+22=x2，
解得：x=，即OP=，
∴P（0，）；
（3）①过点O′作O′T⊥x轴，垂足为T．

可得△OO′T∽△OBA，
∵，
∴=，
∵OO′=，
∴OT=2t，O′T=t，
∴O′（2t，t）；
设CR=x，则OR=RM=x+2，
∴x2+42=（x+2）2，解得x=3，即CR=3，
∴R′（2t-3，t+4）；
②∵R′（2t-3，t+4），
根据题意得：t+4=，
化简得：2t2+5t-20=0，
解得：或（舍去），

【点评】本题主要考查的是反比例函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，求得CR的长是解题的关键．
15．（1）y＝；（2）C点坐标为（5，1）；（3）点C落在函数y＝（k＞0）的图象上．
【分析】（１）将点代入函数即可求ｋ的值，即可得到此函数的解析式；
（２）根据水平放在平面直角坐标系中，可得点Ｃ的纵坐标与点Ｄ的纵坐标相同，且AB=CD，求出AB的长便可得到DC的长，从而可计算求点C的横坐标；
（3）先计算出点C向右平移10个单位后的坐标，然后看此坐标值是否满足函数的解析式，如满足，则在此函数图像上，反之，则不在其图像上．
【解析】解：（1）把点B（3，5）代入y＝（k＞0），
∴k＝3×5＝15，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵点A、D的坐标分别为（﹣2，5）、（0，1），点B（3，5），
∴AB＝3+2＝5，∴CD＝5，
∴C点坐标为（5，1）；
（3）点C落在函数y＝（k＞0）的图象上．
理由如下：
把点（5，1）沿x轴正方向平移10个单位后得到对应点的坐标为（15，1），
而x＝15时，y＝＝1，
∴点C落在函数y＝（k＞0）的图象上．
【点评】本题考查的的知识点有：用待定系数法求函数的解析式及平行四边形的性质的应用，理解题意，通过文字信息找到相应的点的位置特点是关键．
16．(1) ； (2) ；(3) BC∥AD．
【分析】（1）将点A（-4 ,1）代入，求的值；
（2）作辅助线如下图，根据和CH=AE，点D的纵坐标，代入方程求出点D的坐标，假设直线的解析式，代入A、D两点即可；
（3）代入B（0,1），C（2,0）求出直线BC的解析式，再与直线AB的解析式作比较，得证BC∥AD．
【解析】（1） ∵反比例函数的图象经过点A（-4 ,1），
∴
（2）  如图，∵
∴
∴ DH=3
∵ CH=AE=1   
∴CD=2
∴ 点D的纵坐标为﹣2，
把代入得：
∴ 点D的坐标是（2，﹣2）
设：，则
∴
∴ 直线AD的解析式是：
（3） 由题（2）得
B（0,1），C（2,0）
设：，则
解得
∴
∵
∴BC∥AD

【点评】本题考查了反比例函数的应用以及两直线平行的判定，掌握反比例函数的性质以及两直线平行的判定定理是解题的关键．
17．（1）∠BCO＝45°；（2）A(﹣4，1)；（3）点Q坐标为(﹣4，﹣4)或(﹣4，6)或(﹣4，)或(4，1)．
【分析】（1）证明△OBC是等腰直角三角形即可解决问题；
（2）如图1中，作MN⊥AB于N．根据一次函数求出交点N的坐标，用b表示点A坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（3）分两种情形：①当菱形以AM为边时，②当AM为菱形的对角线时，分别求解即可．
【解析】（1）∵一次函数y＝﹣x+b的图象交x轴于B，交y轴于C，则B(b，0)，C（0，b），
∴OB＝OC＝﹣b，
∵∠BOC＝90°
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°．
（2）如图1中，作MN⊥AB于N，
∵M（0，4），MN⊥AC，直线AC的解析式为：y＝﹣x+b，
∴直线MN的解析式为：y＝x+4，
联立，解得：，
∴N(，)，
∵MA＝MB，MN⊥AB，
∴NA＝BN，设A(m，n)，
则有，解得：，
∴A(﹣4，b+4)，
∵点A在y＝﹣上，
∴﹣4（b+4）＝﹣4，
∴b＝﹣3，
∴A（﹣4，1）；
（3）如图2中，
由（2）可知A(﹣4，1)，M(0，4)，
∴AM＝＝5，
当菱形以AM为边时，AQ＝AQ′＝5，AQ∥OM，可得Q(﹣4，﹣4)，Q′(﹣4，6)，
当A，Q关于y轴对称时，也满足条件，此时Q(4，1)，
当AM为菱形的对角线时，设P″(0，b)，
则有（4﹣b）2＝42+（b﹣1）2，
∴b＝﹣．
∴AQ″＝MP″＝，
∴Q″(﹣4，)，
综上所述，满足条件的点Q坐标为(﹣4，﹣4)或(﹣4，6)或(﹣4，)或(4，1)．

【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合以及菱形的性质定理，根据题意添加辅助线画出图形，数形结合，式是解题的关键．
18．（1）；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）由是等腰的逆等线，得CF=AE=2，根据勾股定理，即可得到答案；
（2）连接AD，根据等腰直角三角形的性质，得AD=DC=BD，∠EAD=∠FCD=45°，AD⊥BC，从而得∠ADE=∠CDF，进而证：∆ADE≅∆CDF（ASA），即可得到结论；
（3）设OF=x，则DF=，作AG⊥OB于点G，CH⊥AG于点H，易证△ACH≅△DBF(AAS)，得EG=CH=BF，AH=DF，进而得EG=x−4，由△ACH~△COE，得，列出关于x的方程，即可求解．
【解析】（1）∵是等腰的逆等线，
∴CF=AE=2，
∵，
∴AF=5-2=3，
∵，
∴；
（2）连接AD，
∵点为等腰直角底边上的中点，
∴AD=DC=BD，∠EAD=∠FCD=45°，AD⊥BC，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∴∆ADE≅∆CDF（ASA），
∴AE=CF，
∴为等腰的逆等线；
（3）设OF=x，则DF=，
作AG⊥OB于点G，CH⊥AG于点H，
∵CD为的逆等线，
∴AC=BD，
∵是等腰三角形，
∴∠ACH=∠AOB=∠DBF，∠AHC=∠AGO=∠DFB=90°，
在△ACH和△DBF中
∵，
∴△ACH≅△DBF(AAS)，
∴EG=CH=BF，AH=DF，
又∵AO=AB，且AG⊥OB，
∴OG=BG，
∴GF=BG−BF=OG−EG=OE，
∴EG=x−2−2=x−4，
∵△ACH~△COE，
∴，即：，化简得：x2−4x−4=0，解得：x1=，x2= (舍去)，
∴OF=．

【点评】本题主要考查全等三角形，相似三角形和反比例函数的综合，添加辅助线，构造全等三角形与相似三角形，是解题的关键．