2023届安徽省合肥市高三第二次教学质量检测数学试题word版含答案

  合肥市2023年高三第二次教学质量检测

数学试题

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设是虚数单位,复数,则在复平面内所对应的点在().

2.若集合,则.

3.已知等美数列的前项和为,则的值为().

4.Malthus模型是一种重要的数学模型.某研究人员在研究一种细菌繁殖数量与时间关系时,得到的Malthus模型是,其中是时刻的细菌数量,为自然对数的底数.若时刻细菌数量是时刻细菌数量的6.3倍,则约为()

5.已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为,上、下底面的面积之比为,则球的表面积为).

6.某高中学校在新学期增设了“传统文化”、“数学文化”、“综合实践”、“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同,且小明必须选报“数学文化”课程,则两位同学不同的选课方案有().

7.在平面直角坐标系,中,对于点,若,则称点和点互为等差点.已知点是圆上一点,若直线上存在点的等差点,则的取值范用为.

8.设是曲线上的四个动点,若以这四个动点为顶点的正方形有且只有一个,则实数的值为).

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知双曲线的左、右顶点分别为,渐近线为直线,离心率为.过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于点,则.

10.下图是某汽车公司100家销售商2022年新能源汽车销售数据频率分布直方图(単位：辆),则().

A.的值为0.004

B.估计这100家销售商新能源汽车销量的平均数为135

C.估计这100家销售商新能源汽车销量的分位数为212.5

D.若按分层抽样原则从这100家销售商抽取20家,则销囯在内的销售商应抽取5家

11.函数与函数的图像关于点对称,记,则().

A.的值域为

B.的图像关于直线对称

C.在所有实根之和为

D.在上解集为

12.已知正方体的棱长为1,点分别是棱上的动点,是棱的中点,以为底面作三棱柱,顶点也在正方体的表面上.设,则().

A.,直线与直线所成的角均为

B.,使得四面体的体积为

C.当时,直线与平面所成角的正切值为

D.当时,若三棱柱为正三棱柱,则其高为

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知.若,则实数的值为________.

14.若定义域为的奇函数满足,且,则________.

15.第十九届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行.为了让更多的同学了解亚运会,学松团委举行了“迎亚运,猜迷语”活动.甲、乙丙位同学组队代表班级参加此次谜语竞猜活动.比赛共两轮,每人每轮各猜一个谜语.已知甲每轮猜对谜语的概率为,乙每轮猜对谜语的概率为.若甲、乙两人每轮猜对谜语与否互不影响,前后两轮猜对谜语结果也互不影响，则甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为_________.

16.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称为“果圆”，其中,如图.设,是“果圆”与坐标轴的交点,为半椭圆上一点,为半椭圆的焦点.若,则“果圆"的内接矩形面积的最大值为____________.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图,某地需要经过一座山两侧的两点修建一条穿山隧道.工程人员先选取直线上的三点,设在隧道正上方的山顶处测得处的俯角为15°处的俯角为45°，处的俯角为,且测得,试求拟修建的隧道的长.

18.已知数列的前项和为,

(1)求数列的通项公式;

(2)令,求数列的前项和.

19.如图,在多面体中,四边形是菱形,,平面,点是线段的中点.

(1)证朋:平而;

(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.

20.地球上生命体内都存在生物钟.研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况,控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER.PER分为PERI(导致早起倾向)和PERo (导致晚唾倾向).某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验.以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERI突变的Sd指标:

长期试验发现,若实验鼠Sd指标超过10.00,则认定其体征状况严重.

（1）从实验鼠中随机选取3只,记为体征状况严重的只数,求的分布列和数学期望;

(2)若编号的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组,编号的为非GRPE蛋白干预对照组,试依据小概率值的独立性检验,分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关?

附:(其中.

21.已知抛物线的焦点为为其准线与轴的交点,过点作直线与拋物线在第一象限交于点,且.

(1)求的值;

(2)设圆,过点作圆的两条切线分别交抛物线于点,求面积的最大值.

22.已知函数,其中.

(1)若函数图像仅有一条垂直于轴的切线,求的取值范围;

(2)讨论函数零点个数.