第6讲 函数的奇偶性 第7讲 函数的对称性-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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1. 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称;
2. 是偶函数的图像关于轴对称是奇函数的图像关于原点对称;
3. 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
4. 为偶函数.
5. 若奇函数的定义域包含0 ,则.
通关二、函数奇偶性的运算
通关三、一些重要类型的奇偶函数
1. 函数为偶函数, 函数为奇函数.
2. 函数且为奇函数
3. 函数且为奇函数.
4. 函数且 )为奇函数.
结论一、定义域优先
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.
【例1】若函数是偶函数,定义域为, 则__________.
__________.
【变式】已知偶函数的定义域为 , 则
_________.
结论二、函数的构造
任何一个定义域关于原点对称的函数, 总可以表示为一个奇函数和 一个偶函数的和, 其中.
【例2】已知是奇函数,是偶函数,且, 则_________.
_________.
【变式】已知是奇函数, 是偶函数,且, 则_________.
_________.
结论三、奇函数特性
1. 是奇函数
2. 若 是奇函数,且 有意义,则 .
【例3】若函数 是奇函数,则的值为（ ）.
A.1B. 0C. D.
【变式】若函数 为奇函数,则实数的值（ ）.
.等于 0B. 等于 1C. 等于2D. 不存在
结论四、偶函数特性
1. 是偶函数
2. 若是偶函数,则 .
3. 如果偶函数在轴左侧区间是递减的,右侧区间是递增的,则自变量,，谁距离 轴近,谁的函数值小, 即若 , 则; 反之,若, 则 ;
4. 如果偶函数在轴左侧区间是递增的,右侧区间是递减的,则自变量,，谁距离 轴近, 谁的函数值大, 即若,则; 反之,若 , 则 .
【例4】 设为定义在上的偶函数, 且在上是增函数,若 ,则实数 的取值范围是（ ）
A. В. C. D.
【变式】已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满足 , 则的最小值是（ ）
A.B. 1C. D. 2
结论五、奇偶性与单调性关系
1. 如果奇函数 在区间 上是递增的,那么函数 在区间 上也是递增的;
2. 如果偶函数 在区间 上是递增的,那么函数 在区间
上是递减的.
【例5】设奇函数在上为增函数,且, 则不等式
的解集为_________.
【变式】已知奇函数的定义域为, 且在区间 上单调递减,则满足的实数的取值范围为_________.
第7讲 函数的对称性
对称轴 : 对称轴 :
对称轴 :每个点关于对称轴对称之后还在图像上. 偶函数中两自变量的中点是中间的 0 ,两函数值相等,有 . 因为轴 对称图形上对称两点连线的中点在对称轴上,所以若 和 两点关于 轴对称, , 则两自变量满足 因为中点在对称轴上).
通关二、中心对称
对称中心:每个点绕着对称中心旋转 后还在图像上. 奇函数中两自变量的中点是中间的0, 两函数值中点是0 ,有 . 若将对称中心移到点, 可同理,从出发,向左向右距离相等,使其自变对称,则它们对应的函数值的中点应为, 所以 .当自变量关于对称时, 函数值关于对称.
通关三、常见对称性结论
结论一、型
对函数成立的图像关于直线对称.
【例1】如果函数对任意的实数,都有,那么（ ）
A．B．
C．D．
【变式】 若函数满足,且在上单调递增,则实数的最小值等于_______.
结论二、型
对函数成立的图像关于直线对称.
【例2】 对于函数,若存在常数,使得取定义域内的每一个值,都有,则称为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
【变式】若函数对任意都有,则以下结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
结论三、为偶函数型
为偶函数的图像关于对称.
【例3】函数在上单调递增,且函数是偶函数,则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式】已知定义域为的函数在上为减函数,且函数为偶函数,则（ ）
A．B．C．D．
结论四、型
对函数成立的图像关于点对称.
【例4】若函数满足：,则的图像的对称中心为_______.
【变式】已知函数当时,,且恒成立,则当时,____.
结论五、型
对函数成立的图像关于点对称.
【例5】定义域在上的函数满足,函数关于________对称.
【变式】已知定义域为的函数满足,且函数在区间,上单调递增.如果,且,则的值（ ）
A．可正可负B．恒大于0C．可能为0D．恒小于0
结论六、型
对函数成立的图像关于点对称.
【例6】已知满足,则以下四个选项一定正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是奇函数
【变式】已知函数满足,若函数与图像的交点为,则（ ）
A．0B．C．D．
结论七、为奇函数型
为奇函数的图像关于点对称.
【例7】若函数是奇函数,那么函数的图像关于________对称.
【变式】已知函数是奇函数,当时,,则当时,________.
结论八、型
简单分式函数,由变量分离法得对称中心.
【例8】函数的对称中心是（ ）
A．B．C．D．
【变式】函数的图像的对称中心是,则____.
结论九、含绝对值的函数对称性
1.的图像关于直线对称，且函数的最小值为0;
2.的图像关于直线对称，且函数的最小值为;
3.的图像关于点对称，且函数的值域为,
【例9】设函数的图像关于直线对称,则的值为（ ）
A．3B．2C．1D．
【变式】设函数的图像关于点对称,且函数的最大值为2,则______.
结论十、两个函数的对称性
若函数定义域为,则函数与两函数的图像关于直线对称(由可得).
【例10】对任意的函数在同一直角坐标系中,函数与函数的图像恒（ ）
A．关于轴对称B．关于直线对称
C．关于直线对称 D．关于轴对称
【变式】函数的图像与函数的图像的关系为( )
A．关于对称B．关于对称C．关于对称D．关于对称
结论十一、对称轴斜率为1或－1
1.关于对称的点的坐标为.
2.关于对称的点的坐标为.
【例11】已知函数是奇函数,当时,函数的图像与函数的图像关于对称,则（ ）
A．B．C．D．
【变式】设函数的图像与的图像关于直线对称,且,则（ ）
A．B．1C．2D．4
结论十二、对称性与单调性结论
1.如果函数在对称轴左侧区间是递减的,右侧区间是递增的,则自变量谁距离对称轴近,谁的函数值小,即若,则;反之,若,则;
2.如果函数在对称轴左侧区间是递增的,右侧区间是递减的,则自变量谁距离对称轴近,谁的函数值大,即若,则;反之,若,则.
【例12】已知函数的定义域为,且满足下列两个条件:①对任意的,当时,都有;②是偶函数.若,则的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式】已知定义在上的函数满足,且在上单调递增,则（ ）
A．B．
C．D．
函数图象的对称性
轴对称
中心对称
函数示意图
奇偶性
偶函数
奇函数
满足的关系式
本质
当取的自变量互为相反数时，函数值相等
当取的自变量互为相反数时，函数值也互为相反数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
序号
函数满足的条件
对称轴
（中心）
自对称
轴
对
称
（1）
满足 的函数的图象
，偶函数
（2）
满足 的函数的图象
（或，或）
（3）
满足 的函数的图象
（或，或）
（4）
满足 的函数的图象
中
心
对
称
（5）
满足 的函数的图象
，奇函数
（6）
满足 的函数的图象
（或，或）
（7）
满足 的函数的图象
（8）
满足 的函数的图象
互对称
轴
对
称
（9）
与 两个函数的图象
，即轴
（10）
与两个函数的图象
（11）
与两个函数的图象
（12）
与两个函数的图象
，即轴
（13）
与两个函数的图象
（14）
与两个函数的图象
中
心对称
（15）
与两个函数的图象
（16）
与两个函数的图象
（17）
与两个函数的图象