第12讲 幂的运算及幂函数 第13讲 分段函数-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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知识通关
通关二、幂函数的性质
1. 幕函数在上都有定义；
2. 幕函数的图像过定点；
3. 当时, 幕函数的图像都过点和 , 且在上单调递增；
4. 当时, 幕函数的图像都过点 , 且在上单调递减；
5. 幕函数在第四象限无图像.
结论一、幂函数的图像特征
1. 当时, 函数图像与坐标轴没有交点, 类似于的图像, 且在第一象限内,逆时针方向指数在增大;
2. 当时,函数图像倾向轴, 类似于的图像;
3. 当时, 函数图像倾向轴, 类似于的图像，而且逆时针方向指数在增大，再结合函数的奇偶性可得一般幂函数的图像及性质.
【例1】以下命题正确的是（ ） = 1,2,3,4 \* GB3 ,
= 1 \* GB3 ①幂函数的图像都经过； = 2 \* GB3 ②幂函数的图像不可能出现在第四象限；
= 3 \* GB3 ③当时，函数的图像是两条射线；
= 4 \* GB3 ④若（）是奇函数，则在定义域内为减函数.
A. = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②B. = 2 \* GB3 ② = 4 \* GB3 ④C. = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③D. = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③
【答案】C
【解析】 = 1 \* GB3 ①幂函数的图像不都经过 ,比如 ，因此错误；
= 2 \* GB3 ② 因为当时, , 幂函数的图像不可能出现在第四象限，因此正确；
= 3 \* GB3 ③当时,函数的图像是一条直线，但是去掉, 因此正确;
= 4 \* GB3 ④若（）是奇函数,则在定义域内不具有单调性, 例如, 不正确. 综上,故选 C.
【变式】如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图像,已知 , 相应曲线对应的值依次为 （ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】结合幂函数的单调性及图像,易知曲线对应的值依次为, . 故选 B.
结论二、幂函数比较大小
当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较；
当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；
当幂的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，确定两个幂值的大小；
比较多个幂值的大小，一般也采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0，1,等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系.
【例2】已知且，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为在上为单调递增函数，且，所以
又在R上为单调递减函数，且，所以
综上，.故选D.
【变式】当，下列不等式正确的是（ ）
A.B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，又函数为减函数，在上为增函数，
所以故选D.
结论三、幂函数单调性
若在上是增函数；若在上是减函数.
【例3】幂函数在上是减函数，则实数m的值为（ ）
A.2或1B.1C.2D.2或1
【答案】B
【解析】由于幂函数在上是减函数，
故有，解得故选B.
【变式】已知幂函数在上单调递增.
(1)求实数m的值；
(2)若，求实数k的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由题意得，解得或.因为在上
单调递增，所以，即，所以.
（2）由于在区间上都是减函数，分三种情况讨论：
①当，即时，原不等式成立；
②当且时，有，即，解集为空集；
③当，且，时，有，解得.
综上可知，的取值范围是
第13讲 分段函数
通关一、分段函数的含义
所谓“分段函数”习惯上指在定义域的不同部分，有不同对应法则的函数.
对它应有以下两点基本认识：
（1）分段函数是一个函教，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
通关二、分段函数求值与不等式
1.根据自变量所在的区间代入相应段的函数解析式，若涉及复合函数值，从内到外逐步求值，注意相应自变量所在的区间；
2.已知函数值求自变量(或参数)的值，通过分类讨论化为若干个方程组求解，要充分利用分段函数在各段上的值域，减少运算量；
3.与分段函数有关的不等式问题，充分考虑分段函数的单调性，通过分类讨化为不等式组求解；
4.已知分段函数的函数值求自变量或参数的范围问题，一般画出分段函数的像，观察在相应区间上函数图像与相应直线交点的横坐标的范围，列出函数满足的不等式，从而解出参数范围.
结论一、分段函数求值
设分段函数 已知，求：
（1）判断的范围，即看，还是； （2）代入相应解析式求解.
【例1】若函数，则（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】函数因为，所以
又因为，所以即.故选A.
【变式】已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选B.
结论二、分段函数求根
设分段函数，已知，求：
（1）当时，由，求出；验证是否属于若是则留下，反之则舍去；
（2）当时，由，求出，验证是否属于，若是则留下，反之则舍去；
（3）取以上两种情况并集，写出结论.
【例2】已知，且，则=（ ）
A. B. 2C.3D.
【答案】B
【解析】由题意得，解得；，解得
故，从而故选B.
【变式】已知实数，函数，若，则的值为_________.
【答案】
【解析】①当，即，此时，由，得，计算（舍去）.
②当，即，此时，由，得，
计算得，符合题意.
综上，
结论三、解分段函数不等式
或.
【例3】设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.C. D.
【答案】D
【解析】由或，
所以满足的的取值范围是.故选D.
【变式】已知则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为当时，，所以.又当时，所以，即函数为偶函数.不等式转化为不等式可得或，解得或，所以不等式的解集为.故选C.
结论四、分段函数的单调性
1.分段函数
为单调递增函数
2.分段函数
为单调递减函数
【例4】已知是R上的减函数，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数在R上单调递减，故当时，单调递减，因此，得；当时，单调递减，故0综上，的取值范围是.故选C.
【变式】已知函数，当时，，则的取值范围是（ ）
【答案】A
【解析】因为当时，，所以是R上的单调减函数.
因为，所以，所以故选A.
结论五、分段函数的奇偶性
1.判断函数的奇偶性可以利用特殊值，利用求参数的值，一般令a=1或a=2.
2.若分段图像均易作出，可以利用图像法.对于某些不易作图的分段函数，在判断奇偶性时就需要用定义法了，在代入过程中要注意的范围.
【例5】若函数为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为函数为偶函数，所以，解得.
又因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以.
故选C.
【变式】若函数为奇函数，则实数a的值为（ ）
A. 2B. C.1D.
【答案】B
【解析】因为为奇函数，所以，当时，，
所以，又时，，所以故选B.