专题03 导数及其应用——【新高考专用】2020-2022三年高考数学真题分类汇编（原卷版+解析版）

专题03  导数及其应用

1．【2022年新高考1卷】设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.

【解析】设，因为，

当时，，当时，

所以函数在单调递减，在上单调递增，

所以，所以，故，即，

所以，所以，故，所以，

故，

设，则,

令，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

又，

所以当时，，

所以当时，，函数单调递增，

所以，即，所以

故选：C.
2．【2021年新高考1卷】若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；

解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.

【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，

所以，曲线在点处的切线方程为，即，

由题意可知，点在直线上，可得，

令，则.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，

由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，

当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.

【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
3．【2022年新高考1卷】已知函数，则（       ）

A．有两个极值点 B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线

【答案】AC

【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.

【解析】由题，，令得或，

令得，

所以在上单调递减，在，上单调递增，

所以是极值点，故A正确；

因，，，

所以，函数在上有一个零点，

当时，，即函数在上无零点，

综上所述，函数有一个零点，故B错误；

令，该函数的定义域为，，

则是奇函数，是的对称中心，

将的图象向上移动一个单位得到的图象，

所以点是曲线的对称中心，故C正确；

令，可得，又，

当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，

故D错误.

故选：AC.
4．【2022年新高考1卷】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．

【答案】

【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.

【解析】∵，∴，

设切点为,则,切线斜率,

切线方程为：,

∵切线过原点，∴,

整理得：,

∵切线有两条，∴,解得或,

∴的取值范围是,

故答案为：
5．【2022年新高考2卷】曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．

【答案】         

【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；

【解析】解： 因为，

当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；

当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；

故答案为：；
6．【2021年新高考2卷】已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．

【答案】

【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.

【解析】由题意，，则，

所以点和点，,

所以，

所以，

所以，同理,

所以.故答案为：

【点睛】解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
7．【2022年新高考1卷】已知函数和有相同的最小值．

(1)求a；

(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

【答案】(1)；(2)见解析

【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当时， 的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.

【解析】(1)的定义域为，而，

若，则，此时无最小值，故.

的定义域为，而.

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，

故.

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，

故.

因为和有相同的最小值，

故，整理得到，其中，

设，则，

故为上的减函数，而，

故的唯一解为，故的解为.

综上，.

(2)由（1）可得和的最小值为.

当时，考虑的解的个数、的解的个数.

设，，

当时，，当时，，

故在上为减函数，在上为增函数，

所以，

而，，

设，其中，则，

故在上为增函数，故，

故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.

设，，

当时，，当时，，

故在上为减函数，在上为增函数，

所以，

而，，

有两个不同的零点即的解的个数为2.

当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，

当时，由（1）讨论可得、均无零点，

故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，

则.

设，其中，故，

设，，则，

故在上为增函数，故即，

所以，所以在上为增函数，

而，，

故在上有且只有一个零点，且：

当时，即即，

当时，即即，

因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，

故，

此时有两个不同的零点，

此时有两个不同的零点，

故，，，

所以即即，

故为方程的解，同理也为方程的解

又可化为即即，

故为方程的解，同理也为方程的解，

所以，而，

故即.

【点睛】函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
8．【2022年新高考2卷】已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，，求a的取值范围；

(3)设，证明：．

【答案】(1)的减区间为，增区间为.(2)，(3)见解析

【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.

【解析】(1)当时，，则，

当时，，当时，，

故的减区间为，增区间为.

(2)设，则，

又，设，

则，

若，则，

因为为连续不间断函数，

故存在，使得，总有，

故在为增函数，故，

故在为增函数，故，与题设矛盾.

若，则，

下证：对任意，总有成立，

证明：设，故，

故在上为减函数，故即成立.

由上述不等式有，

故总成立，即在上为减函数，

所以.

当时，有，       

所以在上为减函数，所以.

综上，.

(3)取，则，总有成立，

令，则，

故即对任意的恒成立.

所以对任意的，有，

整理得到：，

故

，

故不等式成立.

【点睛】函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
9．【2021年新高考1卷】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.

【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令，命题转换为证明：，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.

【解析】(1)的定义域为．

由得，，

当时，；当时；当时，．

故在区间内为增函数，在区间内为减函数，

(2)[方法一]：等价转化

由得，即．

由，得．

由（1）不妨设，则，从而，得，

①令，

则，

当时，，在区间内为减函数，，

从而，所以，

由（1）得即．①

令，则，

当时，，在区间内为增函数，，

从而，所以．

又由，可得，

所以．②

由①②得．

[方法二]【最优解】：变形为，所以．

令．则上式变为，

于是命题转换为证明：．

令，则有，不妨设．

由（1）知，先证．

要证：

．

令，

则，

在区间内单调递增，所以，即．

再证．

因为，所以．

令，

所以，故在区间内单调递增．

所以．故，即．

综合可知．

[方法三]：比值代换

证明同证法2．以下证明．

不妨设，则，

由得，，

要证，只需证，两边取对数得，

即，

即证．

记，则.

记，则，

所以，在区间内单调递减．，则，

所以在区间内单调递减．

由得，所以，

即．

[方法四]：构造函数法

由已知得，令，

不妨设，所以．

由（Ⅰ）知，，只需证．

证明同证法2．

再证明．令．

令，则．

所以，在区间内单调递增．

因为，所以，即

又因为，所以，

即．

因为，所以，即．

综上，有结论得证．

【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.

方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.

方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.

方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
10．【2021年新高考2卷】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点

①；

②．

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；

(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.

【解析】(1)由函数的解析式可得：，

当时，若，则单调递减，

若，则单调递增；

当时，若，则单调递增，

若，则单调递减，

若，则单调递增；

当时，在上单调递增；

当时，若，则单调递增，

若，则单调递减，

若，则单调递增；

(2)若选择条件①：

由于，故，则，

而，

而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.

，

由于，，故，

结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

若选择条件②：

由于，故，则，

当时，，，

而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.

当时，构造函数，则，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

注意到，故恒成立，从而有：，此时：

，

当时，，

取，则，

即：，

而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.

，

由于，，故，

结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
11．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；

（2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.

【解析】（1），，.

，∴切点坐标为(1,1+e),

∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,

切线与坐标轴交点坐标分别为,

∴所求三角形面积为．

（2）［方法一］：通性通法

,，且.

设,则

∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，

当时，,∴,∴成立.

当时， ，，,

∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，

因此

>1,

∴∴恒成立；

当时， ∴不是恒成立.

综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).

［方法二］【最优解】：同构

由得，即，而，所以．

令，则，所以在R上单调递增．

由，可知，所以，所以．

令，则．

所以当时，单调递增；

当时，单调递减．

所以，则，即．

所以a的取值范围为．

［方法三］：换元同构

由题意知，令，所以，所以．

于是．

由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．

令，所以．

当时，单调递增；当时，单调递减．

所以当时，取得最大值为．所以．

［方法四］：

因为定义域为，且，所以，即．

令，则，所以在区间内单调递增．

因为，所以时，有，即．

下面证明当时，恒成立．

令，只需证当时，恒成立．

因为，所以在区间内单调递增，则．

因此要证明时，恒成立，只需证明即可．

由，得．

上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．

当时，因为，显然不满足恒成立．

所以a的取值范围为．

【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；

方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；

方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出；

方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可．