三年 (2020-2022 ) 高考真题汇编 专题03导数及其应用(选择题、填空题)（理科专用）

专题03导数及其应用(选择题、填空题)（理科专用）

【2022年全国甲卷】

1．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.

【详解】

解法1：构造函数

因为当

故，故，所以；

设，

，所以在单调递增，

故，所以，

所以，所以，故选A

解法2：不等式放缩

因为当，

取得：，故

，其中，且

当时，，及

此时，

故，故

所以，所以，故选A

解法3：泰勒展开

设，则，，

，计算得，故选A.

解法4：构造函数

因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，

故选：A．

解法5：【最优解】不等式放缩

因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．

故选：A．

【整体点评】

法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；

法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．

【2022年新高考1卷】

2．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.

【详解】

方法一：构造法

设，因为，

当时，，当时，

所以函数在单调递减，在上单调递增，

所以，所以，故，即，

所以，所以，故，所以，

故，

设，则,

令，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

又，

所以当时，，

所以当时，，函数单调递增，

所以，即，所以

故选：C.

方法二：比较法

解： ， ， ，

① ，

令

则 ，

故 在 上单调递减，

可得 ，即 ，所以 ；

② ，

令

则 ，

令 ，所以 ，

所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，

所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以

故

【2021年新高考1卷】

3．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；

解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】

在曲线上任取一点，对函数求导得，

所以，曲线在点处的切线方程为，即，

由题意可知，点在直线上，可得，

令，则.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，

由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，

当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.

【点睛】

解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.

【2020年新课标1卷理科】

4．函数的图像在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.

【详解】

，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题

【2020年新课标3卷理科】

5．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ）

A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

【答案】D

【解析】

【分析】

根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.

【详解】

设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.

【2022年新高考1卷】

6．已知函数，则（    ）

A．有两个极值点 B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.

【详解】

由题，，令得或，

令得，

所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；

因，，，

所以，函数在上有一个零点，

当时，，即函数在上无零点，

综上所述，函数有一个零点，故B错误；

令，该函数的定义域为，，

则是奇函数，是的对称中心，

将的图象向上移动一个单位得到的图象，

所以点是曲线的对称中心，故C正确；

令，可得，又，

当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.

故选：AC.

【2022年全国乙卷】

7．曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．

【答案】         

【解析】

【分析】

分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；

【详解】

解法一：（化为分段函数，分段求）

分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；

解： 因为，

当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；

当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；

解法二：（根据函数的对称性，数形结合）

当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；

因为是偶函数，图象为：

所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.

解法三：

因为，

当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；

当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；

故答案为：；.

【2022年新高考1卷】

8．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．

【答案】

【解析】

【分析】

法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.

【详解】

[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为，所以方程的两个根为，

即方程的两个根为，

即函数与函数的图象有两个不同的交点，

因为分别是函数的极小值点和极大值点，

所以函数在和上递减，在上递增，

所以当时，，即图象在上方

当时，，即图象在下方

，图象显然不符合题意，所以．

令，则，

设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，

则切线的斜率为，故切线方程为，

则有，解得，则切线的斜率为，

因为函数与函数的图象有两个不同的交点，

所以，解得，又，所以，

综上所述，的取值范围为．

[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导

=0的两个根为

因为分别是函数的极小值点和极大值点，

所以函数在和上递减，在上递增，

设函数，则，

若，则在上单调递增，此时若，则在

上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数

且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；

若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.

【整体点评】

法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；

法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．

【2022年新高考2卷】

9．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．

【答案】

【解析】

【分析】

设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.

【详解】

∵，∴，

设切点为,则,切线斜率,

切线方程为：,

∵切线过原点，∴,

整理得：,

∵切线有两条，∴,解得或,

∴的取值范围是,

故答案为：

2021年甲卷理科】

10．曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．

【详解】

由题，当时，，故点在曲线上．

求导得：，所以．

故切线方程为．

故答案为：．

【2021年新高考2卷】

11．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．

【答案】

【解析】

【分析】

结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.

【详解】

由题意，，则，

所以点和点，,

所以，

所以，

所以，

同理,

所以.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.