2023年山东省济宁市泗水县中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省济宁市泗水县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日是第个世界环境日，其主题是“海洋存亡，匹夫有责”，目前全球海洋总面积约为平方公里，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是(    )

A. 或 B.  C.  D.

6.  如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如果关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是(    )

A.  B.
C. 且 D. 且

8.  如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  国庆假期，甲乙两人沿相同的路线前往距离学校的抚州三栽花园游玩，图中和分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程千米随时间分变化的函数图象，以下说法：甲比乙晚分钟到达；甲平均速度为千米小时；甲乙相遇时，乙走了千米；甲乙相遇后分钟，乙到达目的地；其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，平面内有公共端点的六条射线，，，，，，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字，，，，，，，，则数字“”在(    )

A. 射线上 B. 射线上 C. 射线上 D. 射线上

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  函数中的自变量的取值范围是______．

12.  分解因式：______．

13.  已知关于，的方程组的解是，则直线与的交点坐标为______ ．

14.  如图，在中，，，观察尺规作图的痕迹，则的度数为______ ．

15.  如图，的直径经过弦的中点，若，，则的半径为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为小时，将它分为个等级：，，，，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：

请你根据统计图的信息，解决下列问题：
本次共调查了______名学生；
在扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为______；
请补全条形统计图；
在等级中有甲、乙、丙、丁人表现最为优秀，现从人中任选人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．

18.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，．

求反比例函数和一次函数的解析式；
根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．

19.  本小题分
云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进，两种类型的头盔，已知购进个类头盔和个类头盔共需元；购进个类头盔和个类头盔共需元．
，两类头盔每个的进价各是多少元？
在销售中，该商场发现类头盔每个售价元时，每个月可售出个；每个售价提高元时，每个月少售出个．设类头盔每个元，表示该商家每月销售类头盔的利润单位：元，求关于的函数解析式并求最大利润．

20.  本小题分
如图，是的直径，为上一点，连接，于点，是直径延长线上一点，且．

求证：是的切线；
若，，求的长．

21.  本小题分
数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
如图，边长为的等边三角形中，点沿线段方向由向运动，点同时从出发，以相同的速度沿射线方向运动，过点作，连结交射线于点求线段与的数量关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答，：
特殊情况探索结论
当点恰好在点处时，易知线段与的关系是：______直接写出结论
特例启发解答题目
猜想：线段与是中的关系，进行证明：
辅助线为“过点作交于点”，
请你利用全等三角形的相关知识完成解答；
拓展结论设计新题
如果点运动到了线段的延长线上如图，刚才的结论是否仍成立？请你说明理由．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点且直线过点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
求抛物线的函数解析式；
当的面积最大时，求点的坐标；
在的条件下，在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是倒数的定义，乘积是的两数互为倒数．
根据倒数的定义解答即可．
【解答】
解：的倒数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为，故B正确．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．
 

3.【答案】 

【解析】解： ，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，逐项分析判断即可求解．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
所调查学生睡眠时间的众数是；
共有名学生，中位数是第、个数的平均数，
所调查学生睡眠时间的中位数是．
故选：．
直接利用众数以及中位数的概念分别分析求出即可．
此题主要考查了众数、中位数的概念，正确把握中位数的概念是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
解得，，
当等腰三角形的三边为、、时，该等腰三角形的周长是；
当等腰三角形的三边为、、时，不符合三角形三边的关系，舍去，
综上所述，三角形的周长为．
故选：．
先利用因式分解法解方程得到，，再根据等腰三角形的性质，当等腰三角形的三边为、、时，易得该等腰三角形的周长；当等腰三角形的三边为、、时，由于，不符合三角形三边的关系，故舍去．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
 

6.【答案】 

【解析】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是，大圆半径是，
则大圆面积为：，小圆面积为：，
故这个几何体的体积为：．
故选：．
直接利用三视图得出几何体的形状，再利用圆柱体积求法得出答案．
此题主要考查了由三视图判断几何体，正确判断出几何体的形状是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
方程的解是非负数，
，
，
，
，
，
的取值范围是且．
故选：．
解分式方程求出，又方程的解是非负数，且分式方程的分母不能是，即可求出的取值范围．
本题考查分式方程的解，解一元一次不等式，关键是注意分式方程的分母不能是．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，


．
故选：．
由根据圆周角定理得出，根据可得出结论．
本题考查的是扇形面积的计算及圆周角定理，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由函数图象可得，
乙比甲提前分钟到达，故正确，
甲的平均速度是：千米小时，故错误，
设对应的函数解析式为，
则，得，
即对应的函数解析式为，
设对应的函数解析式为，
则，得，
即对应的函数解析式为，
由，得，
甲乙相遇时，乙走了千米，故正确，
甲乙相遇后，乙用分钟到达目的地，故正确，
故选：．
由图象可直接判断，设对应的函数解析式为，设对应的函数解析式为，分别求出和的函数解析式，进而求出相遇时的路程和时间，可判断，结合图象可判断．
本题考查了一次函数图象的实际应用，能够根据图象提取出条件是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：通过观察已知图形，发现共有六条射线，
数字到每六个数字一个循环，
，
在射线上，
故选：．
通过观察已知图形，发现共有六条射线，数字依次落在每条射线上，因此六个数字依次循环，算出有多少个循环即可．
本题考查数字的变化类，观察已知图形，找到变化规律是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：；
故答案为．
根据算术平方根的被开方数大于或等于，分式有意义的条件是分母不为；分析原函数式可得，解不等式即可．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是算术平方根时，被开方数为非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，分解要彻底．
 

13.【答案】 

【解析】解：把代入得：，
关于，的方程组的解是，
即：，解得：，
则有直线为：；
联立，解得：，
直线与的交点坐标为，
故答案为：．
把代入即可求出的值，进而求出的值，联立，再根据二元一次方程组和一次函数的关系，即可进行解答．
本题主要考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组和一次函数的关系，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解是对应两个一次函数图象交点的横坐标和纵坐标．
 

14.【答案】 

【解析】解：是线段的垂直平分线，，
是的角平分线，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由作图可知，是线段的垂直平分线，是的角平分线，求出，，再利用三角内角和定理即可求解．
本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角内角和等知识，熟悉掌握有关知识是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示
是的直径，且经过弦的中点，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理可得
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
；
故答案为：．
连接，由垂径定理得出，由三角函数求出，由勾股定理得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】先计算特殊角的正切值、负整数指数幂、二次根式化简和去绝对值，再进行实数的加减运算，即可作答．
本题考查实数的运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值等考点的运算．
 

17.【答案】；

等级人数为名，
补全图形如下：

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为，
所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率． 

【解析】

【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
由等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
用乘以等级人数所占比例即可得；
根据四个等级人数之和等于总人数求出等级人数，从而补全图形；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：本次共调查学生名，
故答案为：；
扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为，
故答案为：；
见答案．  

18.【答案】解：反比例的图象过点，
即，
，
反比例函数的解析式为，
点在函数的图象上，
，，
，
一次函数过、两点，
即，
解得，
一次函数的解析式为；
由图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 

【解析】先用待定系数法求解反比例函数解析式，从而得出点的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可；
根据图象，即可进行解答．
本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤是解题的关键．
 

19.【答案】解：设类头盔每个的进价是元，类头盔每个的进价是元，
根据题意得：，
解得，
答：类头盔每个的进价是元，类头盔每个的进价是元；
根据题意得：，
，，
当时，有最大值，最大值为，
关于的函数解析式为，最大利润为元． 

【解析】设类头盔每个的进价是元，类头盔每个的进价是元，根据购进个类头盔和个类头盔共需元；购进个类头盔和个类头盔共需元列出方程组，解方程组即可；
根据总利润每个类头盔的利润销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
本题考查二次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析和方程组．
 

20.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：，
，
设，，
，，
∽，
，
，
． 

【解析】连接，根据圆周角定理得到，根据余角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，求得，于是得到结论；
设，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．
 

21.【答案】解：；
如图所示，过点作，交于点，则，

是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
又点与的运动速度相同，
，
，
在和中，
，
≌，
，
为等边三角形，，
，
；
仍成立，
理由：如图所示，过点作，交的延长线于点，则，

是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
又点与的运动速度相同，
，
，
在和中，
，
≌，
，
为等边三角形，，
，
． 

【解析】

【分析】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形和等边三角形，依据等边三角形三线合一以及全等三角形的对应边相等进行推导．
根据为等边三角形，，即可得出，进而得到；
过点作，交于点，则，先判定是等边三角形，再根据等量代换得到，进而判定≌，得到，再根据为等边三角形，，得出，最后得出；
过点作，交的延长线于点，则，运用中的方法进行推导，即可得出．
【解答】
解：与的关系是：．
理由：如图所示，当点恰好在点处时，点与点重合，

为等边三角形，，
，
，
故答案为；
见答案；
见答案．  

22.【答案】解：令，得，
解得，
，
令，得，
，
点与点关于轴对称，
，
把、点坐标代入中，得
，
解得，，
抛物线的解析式为：；
设，则，，
则，
的面积，
当时，的面积最大，
此时，点的坐标为；

由知，，，
当时，轴，则；
当时，轴，则；
当时，设，则，
即，
解得，，
或
综上，存在以，，三点为顶点的三角形是直角三角形．其点坐标为或或或 

【解析】由一次函数图象与坐标轴交点、的坐标，再由对称求得点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
设，则，，由三角形的面积公式求得的面积关于的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得的值，进而得点的坐标；
分三种情况：为直角顶点；为直角顶点；为直角顶点．分别得出点的坐标．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．