2023年浙江省嘉兴市上海外国语大学秀洲外国语学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年浙江省嘉兴市上海外国语大学秀洲外国语学校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算：的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  为了了解家里的用水情况，以便能更好的节约用水，小方把自己家至月份的用水量绘制成如图的折线图，那么小方家这个月的月用水量最大是(    )
 

A. 月 B. 月 C. 月 D. 月

3.  如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某学习小组名学生参加“生活中的数学知识竞赛”，他们的得分情况如表：

那么这名学生所得分数的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  如图，在中，，，在上，且，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交边于点，连接，若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，经过的顶点，与边，分别交于点，，与边相切若，，，则线段长度的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  若分式的值为，则的值是______．

13.  一个不透明的袋中，装有个黄球，个红球，个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率是______．

14.  如图，四边形内接于，的半径为，，则弧的长为______．

15.  如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为______ ．

16.  如图，在平面直角坐标系中，，，是轴上动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，取中点为的度数为______ ，的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
化简：．

18.  本小题分
如图，在方格纸中，每个小正方形边长都是，平行四边形的四个顶点都在小方格的顶点上，按下列要求画一个面积与平行四边形面积相等的四边形，使它的顶点均在方格的顶点上．四边形的边用实线表示，顶点写上规定的字母．
在图甲中画一个矩形．
在图乙中画一个菱形．
 

19.  本小题分
如图，、相交于点，，．
求证：≌．
若，求的度数．

20.  本小题分
为了解学生每周课外体育活动时间的情况，某学校随机调查了其中的名学生，对这名学生每周课外体育活动时间单位：小时进行了统计根据所得数据绘制了一幅不完整的统计图，并知道每周课外体育活动时间在小时的学生人数占根据以上信息及统计图解答下列问题：
请补全条形统计图；
求这名学生每周课外体育活动时间的平均数；
已知该校共有名学生，请估计每周课外体育活动时间不少于小时的学生有多少人？

21.  本小题分
如图是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图，从侧面看，立柱高米，踏板静止时踏板连杆与上的线段重合，长为米，当踏板连杆绕着点旋转到处时，测得，此时点距离地面的高度为米，求和的长参考数据：，，
 

22.  本小题分
如图，直线和抛物线都经过点，．
求的值和抛物线的解析式；
求不等式的解集．直接写出答案

23.  本小题分
某公司销售一种进价为元个的计算器，其销售量万个与销售价格元个的变化如下表：

同时，销售过程中的其他开支不含进价总计万元．
观察并分析表中的与之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出万个与元个的函数解析式．
求出该公司销售这种计算器的净得利润万元与销售价格元个的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
该公司要求净得利润不能低于万元，请写出销售价格元个的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？

24.  本小题分
婆罗摩芨多是公元世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；
若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是______填序号
矩形菱形正方形
如图，中，，以为弦的交于，交于，连接、、，，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长；
如图，四边形为的内接四边形，连接，，，，，，已知，
求证：四边形是“婆氏四边形”；
当时，求半径的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：
故选：．
根据有理数的加法法则：绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得．
此题主要考查了有理数的加法，关键是掌握异号两数相加的计算法则，注意结果符号的判断．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．读懂统计图，掌握统计图的特点是解决问题的关键．
根据折线统计图的特点结合图形即可求解．
【解答】
解：由折线图可知，小方家这个月的月用水量最大是吨，对应月份是月，故ACD错误，B正确．
故选B．  

3.【答案】 

【解析】解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较窄的矩形．
故选：．
根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形．
 

4.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，不能合并，A错误；
，B错误；
，C正确；
，D错误，
故选：．
根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则计算，判定即可．
本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方，掌握相关的法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：
解不等式，得
，
解不等式，得
，
由可得，，
故原不等式组的解集是．
故选：．
根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等实数根，
，
解得：．
故选：．
根据一元二次方程的定义可得出，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：在这一组数据中是出现次数最多的，故众数是；
排序后处于中间位置的那个数是，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．
故选：．
众数是一组数据中出现次数最多的数据；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；可得答案．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故选：．
根据已知易得，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，然后利用平角定义可得，从而可得，进而可得∽，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角构造相似模型是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，
，
，
，
，
，
过点作于，则，
在中，，
在中，．
故选：．
利用基本作图得到，再证明得到，过点作于，利用等腰三角形的性质得到则，接着利用勾股定理计算出，然后利用勾股定理计算出的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：与相切于，当是圆的直径时，的长最小，
连接，，作于，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
与相切于，当是圆的直径时，的长最小，由等腰直角三角形的性质求出圆的直径长，由锐角的正弦求出，即可求出的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是明白当的高是圆的直径时，的长最小．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项都是平方项；符号相反．
直接利用平方差公式分解则可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：依题意得：且，
解得．
故答案是：．
分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．
本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
 

13.【答案】 

【解析】解：一个不透明的袋中，装有个黄球，个红球，个白球共个球，
从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率是．
故答案为．
让黄球的个数除以球的总数即为摸到黄球的概率．
本题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，，

四边形内接于，，
，
，
的长，
故答案为
连接，，根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论．
本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作交于点，设每个小正方形的边长为，则，，，，，

，
，
，
在中，，
故答案为：．
过点作交于点，构造出，利用面积相等计算出的值，即可在求出的值．
本题考查解直角三角形的应用，根据题意结合图形合理作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：如图，过作轴，垂足为，

，，
，
，
；
绕点逆时针旋转得到，是中点，
，，
，
过点作，垂足为，
，
，又，
，
在和中，
，
≌，
，即点的横坐标为，则，
，
，则，
点在线段的垂直平分线上，
当在上时，最小，且为，
故答案为：，．
过作轴，垂足为，根据，的坐标可得，即可求出；根据旋转的性质得到，，证明≌，得到，则有，进一步推出，再利用直角三角形斜边中线得到，，可得，从而得到点的运动轨迹，再根据两点之间线段最短可得当在上时，最小，结合坐标求出最小值即可．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理，最值问题，找到最小时的位置是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
根据平方差公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．
此题主要考查了实数的运算以及平方差公式和单项式乘多项式法则等，正确化简各数和掌握运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：矩形的面积平行四边形面积，
矩形的长、宽可以分别为，．
如图甲所示，矩形即为所求：


菱形的面积平行四边形的面积，
菱形的边长为，高为即可．
如图乙所示，菱形即为所求．
 

【解析】本题考查作图应用与设计作图，掌握平行四边形、矩形、菱形的面积的求法是解题的关键，利用面积设计矩形边长、菱形的边长，是一个数形结合的好题目．
根据题意，根据面积相等这个条件，可以设计矩形的长和宽．
根据菱形面积为，可以取菱形边长为，高为，画出图形即可．
 

19.【答案】证明：．
和是直角三角形，
在和中，，
≌；

解：≌，
，
，
． 

【解析】由证明≌即可；
由全等三角形的性质求出，由直角三角形的性质求出，即可得出所求．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出≌是解题关键．
 

20.【答案】解：，，
补全统计图如下：

由题意可得，，
即这名学生每周课外体育活动时间的平均数是；
由题意可得，
全校学生每周课外体育活动时间不少于小时的学生有：人，
即全校学生每周课外体育活动时间不少于小时的学生有人． 

【解析】根据每周课外体育活动时间在小时的学生人数占，可以求得每周课外体育活动时间在小时的学生人数，从而可以求得的学生数，从而可以将条形统计图补充完整，
根据条形统计图的数据计算可以得到这名学生每周课外体育活动时间的平均数；
根据条形统计图，可以估计全校学生每周课外体育活动时间不少于小时的人数．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了样本估计总体．
 

21.【答案】解：过点作于，
则四边形是矩形，
，
设，
，
，
，
在中，，，
，
解得：，且适合此方程，
米，米，
答：和的长分别为米，米． 

【解析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
过点作于，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，设，求得，，，在中，根据，即可求解．
 

22.【答案】解：把点，分别代入直线和抛物线得：
，，
，，，
所以，；

，解得：或． 

【解析】分别把点，代入直线和抛物线，利用待定系数法解得，；
根据题意列出不等式，直接解二元一次不等式即可，或者根据图象可知，的图象上的范围是或．
主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质．要具备读图的能力．
 

23.【答案】解：根据表格中数据可得出：与是一次函数关系，
设解析式为：，
则，
解得：，
故函数解析式为：；

根据题意得出：


，


，
故销售价格定为元个时净得利润最大，最大值是万元．

当公司要求净得利润为万元时，即，解得：，．

如上图，通过观察函数的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于万元，则销售价格的取值范围为：．
而与的函数关系式为：，随的增大而减少，
因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为元个． 

【解析】根据数据得出与是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析式；
根据得出与的函数关系式，求出即可；
首先求出时的值，进而得出元个的取值范围．
此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式、二次函数最值问题等知识，根据已知得出与的函数关系是解题关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：平行四边形为的内接四边形，
，，
，
平行四边形是矩形，
四边形是“婆氏四边形”，
，
矩形是正方形，
故答案为：；
解：，，，
，，
为直径，
，
四边形是“婆氏四边形”，
，
，，
设，则，，
在中，，
解得，
；
证明：如图，设，相交于点，
，，，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
四边形是“婆氏四边形”；
解：过点作交于，过作交于，
，，，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，
设，则，，，
在中，，
当时，有最小值，
半径的最小值为．
先证明平行四边形是矩形，再由定义证明矩形是正方形，即可求解；
根据垂径定理和圆周角定理可得，，，设，则，，在中，用勾股定理可求解；
根据圆周角定理得出，从而得出，即可证明；
过点作交于，过作交于，证明≌，设，则，，，在中，，当时，有最小值，即半径的最小值为．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，理解新定义，二次函数的性质是解题的关键．