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2023年浙江省嘉兴市上海外国语大学秀洲外国语学校中考数学一模试卷
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这是一份2023年浙江省嘉兴市上海外国语大学秀洲外国语学校中考数学一模试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省嘉兴市上海外国语大学秀洲外国语学校中考数学一模试卷
一、选择题（本题有10小题。每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．a的相反数为﹣3，则a等于（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．
2．不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某校举行演讲比赛，计划在九年级选取1名主持人，报名情况为：九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名．若从这12名同学中随机选取1名主持人，则九（1）班同学当选的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算一定正确的是（ ）
A．2a+2a＝2a2 B．a2•a3＝a6
C．（2a2）3＝6a6 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
6．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cosα＝，则点P的坐标为（ ）
A．（5，13） B．（5，12） C．（13，5） D．（12，5）
7．若反比例函数y＝（k＜0）的图象经过A（﹣2，a），B（﹣3，b），C（2，c）三点，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b
8．如图，BC与⊙O相切于点B，CO连接并延长后交⊙O于点A，连接AB，若∠BAC＝36°，则∠C的度数为（ ）
A．36° B．24° C．18° D．15°
9．如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，点C，D在x轴上，AB，BD分别交y轴于点E，F，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
10．如图，分别以正方形ABCD的两条边AD、CD为边向外作两个正三角形，即△ADG与△CDF，然后延长GA，FC交于点E，得到一个“镖型”ABCE．已知正方形ABCD的边长为2，则“镖型”ABCE的周长为（ ）
A．8+ B．4+4 C．4+4 D．8+4
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式：2x2﹣2y2＝ ．
12．若一个圆锥底面圆的半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为 ．
13．若一组数据6，x，3，5，4的众数是3，则这组数据的中位数是 ．
14．如图，在直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A（﹣2，0），B（3，0）．现固定点A，B在x轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上的点D′，则点C的对应点C′的坐标为 ．
15．已知点A（m+2，y1），B（m﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且y2＜y1．则m的取值范围为 ．
16．如图，边长为2的正方形ABCD中，动点F在边CD上，射线BF上取一点G，使∠AGB＝30°，当动点F从点C出发向终点D运动时，点G的运动路径长为 ，线段BG的最大值是 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分。解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（1）计算：cos60°×（）2；
（2）化简：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2．
18．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．
19．赵老师为了了解所教班级学生体育锻炼的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类，A：优秀；B：良好；C：一般；D：较差，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）在本次调查中，赵老师一共调查了 名学生．
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）在此次调查后，赵老师从被调查的A、D类学生中各选取一名同学，用画树状图求出所选的两名同学恰好都是女生的概率．
20．如图，在“7×7”的方格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在格点上（在小方格顶点上的点称为格点），按如下要求画图：
（1）在图1中画一个以线段AB为对角线的平行四边形ACBD，要求点C，D在格点上，平行四边形ACBD的面积为6；
（2）在图2中画一个以线段AB为边的平行四边形ABEF，要求点E，F在格点上，平行四边形ABEF有一个内角的度数为45°．
21．如图，直线y＝﹣x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（6，0）．在x轴的负半轴上有一点C（﹣4，0），直线AB上有一点D，且CD＝OD．
（1）求b的值及点D的坐标；
（2）在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为a，作点P关于y轴的对称点Q，当点Q落在△CDO内（不包括边界）时，求a的取值范围．
22．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
23．某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线A﹣B﹣C表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝9米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间GH也是用篱笆隔开），如图，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE＝ 米（用含x的代数式表示）；
②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为66平方米，求饲养场EF的长；
（2）饲养场的宽EF为多少米时，饲养场BDEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA方向向点A运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC方向向点C运动．当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．连结PQ，在射线PC上截取PM＝PQ，以PQ，PM为邻边作菱形PQNM，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t＝3时，求菱形PQNM的面积．
（2）当△PCQ的面积为菱形PQNM面积的时，求t的值．
（3）作点B关于直线PQ的对称点B′．
①当∠BQB'＝2∠ABC时，求线段BB'的长．
②当点B′落在菱形PQNM的边上时，请直接写出的值．
参考答案
一、选择题（本题有10小题。每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．a的相反数为﹣3，则a等于（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．
【分析】根据相反数的定义解答即可．
解：因为3的相反数是﹣3，所以a＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的定义，熟知概念是关键．
2．不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
解：移项得，2x≤3+1，
合并同类项得，2x≤4，
x的系数化为1得，x≤2．
在数轴上表示为：
．
故选：C．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心点与空心点的区别是解答此题的关键．
3．在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别分析四个选项的三视图，然后得出结论．
解：A选项的主视图与左视图分别是正方形和长方形；
B选项的主视图与左视图都是正方形；
C选项的主视图与左视图都是矩形；
D选项的主视图与左视图都是圆．
故选：A．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
4．某校举行演讲比赛，计划在九年级选取1名主持人，报名情况为：九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名．若从这12名同学中随机选取1名主持人，则九（1）班同学当选的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用一班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案．
解：∵九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名，
∴共有12名同学，
∵九（1）班有2名，
∴P＝＝；
故选：D．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．下列运算一定正确的是（ ）
A．2a+2a＝2a2 B．a2•a3＝a6
C．（2a2）3＝6a6 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可；
解：2a+2a＝4a，A错误；
a2•a3＝a5，B错误；
（2a2）3＝8a6，C错误；
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cosα＝，则点P的坐标为（ ）
A．（5，13） B．（5，12） C．（13，5） D．（12，5）
【分析】过点P作PE⊥x轴于点E．根据a的余弦值和OP，先求出OE，再利用勾股定理求出PE即可．
解：如图，过点P作PE⊥x轴于点E．
设点P的坐标为（x，y），
则OE＝x，PE＝y．
在Rt△OPE中，
∵cosα＝＝，OP＝13，
∴OE＝5．
∴PE＝＝12．
∴P点的坐标为（5，12）．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
7．若反比例函数y＝（k＜0）的图象经过A（﹣2，a），B（﹣3，b），C（2，c）三点，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据A、B、C三点横坐标的特点判断出三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答．
解：∵反比例函数y＝的系数k＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，且y随x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣2，
∴a＞b＞0，
∵2＞0，
∴c＜0，
∴c＜b＜a．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性．
8．如图，BC与⊙O相切于点B，CO连接并延长后交⊙O于点A，连接AB，若∠BAC＝36°，则∠C的度数为（ ）
A．36° B．24° C．18° D．15°
【分析】连接OB，如图，先根据切线的性质得到∠OBC＝90°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝72°，然后利用互余计算∠C的度数．
解：连接OB，如图，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×36°＝72°，
∴∠C＝90°﹣∠BOC＝90°﹣72°＝18°．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
9．如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，点C，D在x轴上，AB，BD分别交y轴于点E，F，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
【分析】设A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，利用三角形的面积公式，结论可求．
解：设点A的坐标为（a，），a＞0．
则OD＝a，OE＝．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为﹣．
∴OC＝．
∴BE＝．
∵AB∥CD，
∴＝．
∴EF＝OE＝，OF＝OE＝．
∴＝1．
＝4．
∴S阴影＝S△BEF+S△ODF＝1+4＝5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
10．如图，分别以正方形ABCD的两条边AD、CD为边向外作两个正三角形，即△ADG与△CDF，然后延长GA，FC交于点E，得到一个“镖型”ABCE．已知正方形ABCD的边长为2，则“镖型”ABCE的周长为（ ）
A．8+ B．4+4 C．4+4 D．8+4
【分析】连接BE，过E作EH⊥CB，交CB的延长线于H，根据直角三角形的三角函数和正方形的性质解答．
【解答】方法一：解：连接BE，过E作EH⊥CB，交CB的延长线于H，
易得，△ABE≌△CBE，即∠ABE＝∠CBE＝＝135°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABH＝90°，∠HBE＝135°﹣90°＝45°
设HE＝HB＝x，则，
解得：x＝，
∴CE＝2x＝，
同理，AE＝，
∴四边形ABCE的周长＝AE+CE+AB+BC＝2+2+＝8+4，
方法二：解：延长CB交AE于点N，
∵ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵△CDF，△ADG是以AD，CD为边的等边三角形，
∴∠GAD＝∠DCF＝60°，
∴∠BAN＝∠180°﹣∠GAD﹣∠DAB＝30°，
∠BCE＝180°﹣∠DCF﹣∠BCD＝30°，
在四边形ADCE中，
∠E＝360°﹣∠CDA﹣∠DAE﹣∠DCE＝30°，
∴∠E＝NCE＝30°，
∴NC＝NE，
在Rt△ABN中，∠BAN＝30°，
设BN＝x，AN＝2x，
∴AB2+BN2＝AN2，
即22+x2＝4x2，解得，x＝，
CN＝NE＝2+，
∴AE＝AN+NE＝2+2，
同理CE＝2+2，
∴镖形周长＝AE+CE+BC+BA＝2（2+2）+2+2＝8+．
故选：D．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角函数解答．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式：2x2﹣2y2＝ 2（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．
故答案为：2（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12．若一个圆锥底面圆的半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为 15π ．
【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．
解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴母线长为5，
∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π，
故答案为：15π．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长＝圆锥的底面周长
13．若一组数据6，x，3，5，4的众数是3，则这组数据的中位数是 4 ．
【分析】根据一组数据6，x，3，5，4的众数是3，可以得到x的值，从而可以求得这组数据的中位数，本题得以解决．
解：∵一组数据6，x，3，5，4的众数是3，
∴x＝3，
∴这组数据从小到大排列是：3，3，4，5，6，
∴这组数据的中位数是：4，
故答案为：4．
【点评】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的含义，会求一组数据的中位数．
14．如图，在直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A（﹣2，0），B（3，0）．现固定点A，B在x轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上的点D′，则点C的对应点C′的坐标为 （5，） ．
【分析】由已知条件得到AD′＝AD＝5，根据勾股定理得到OD′，于是得到结论．
解：∵点A（﹣2，0），B（3，0），
∴AB＝5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD′＝AD＝AB＝5，
∵AO＝2，
∴OD′＝＝＝，
∵C′D′＝5，C′D′∥AB，
∴C′（5，），
故答案为：（5，）．
【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
15．已知点A（m+2，y1），B（m﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且y2＜y1．则m的取值范围为 ﹣2＜m＜2 ．
【分析】由于y＝的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解．
解：由y＝可知图象位于一、三象限，y随x的增大而减小．
∵点A（m+2，y1），B（m﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且y2＜y1．
∴点A（m+2，y1）、B（m﹣2，y2）不在同一象限，则点A（m+2，y1）在第一象限，点B（m﹣2，y2）在第三象限．
∴，解得﹣2＜m＜2．
故答案为﹣2＜m＜2．
【点评】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
16．如图，边长为2的正方形ABCD中，动点F在边CD上，射线BF上取一点G，使∠AGB＝30°，当动点F从点C出发向终点D运动时，点G的运动路径长为 π ，线段BG的最大值是 4 ．
【分析】以AB为边在正方形ABCD内作等边三角形ABO，点O为圆心，OA为半径作圆，可知圆的半径为2，延长AO，BC交于点K，延长BO，AD交于点H，连接BD并延长交⊙O于点M，连接OM，可知G点的运动路径为，根据弧长公式求解，BG的最大值为BH，根据圆的直角即可求解．
解：如图，以AB为边在正方形ABCD内作等边三角形ABO，点O为圆心，OA为半径作圆，
则点G在⊙O上，延长AO，BC交于点K，延长BO，AD交于点H，连接BD并延长交⊙O于点M，连接OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴点K、H、M在⊙O上，
∴∠BKA＝∠AHB＝∠AGB＝∠AMB＝30°，
∵F从点C运动到点D，则G点从K运动到M，
即G点的运动路径为，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MBK＝∠DBK＝45°，∠MOK＝90°，
∴的长为，
∵圆内最长的弦为直径，由图可知BG最大值为BH，
∵BH为⊙O的直径，即BH＝2r＝4，
∴BG最大值为4．
故答案为：π；4．
【点评】本题考查了点的运动，圆周角，弧长公式等知识，正确作出辅助线，找出点G的运动路径是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共66分。解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（1）计算：cos60°×（）2；
（2）化简：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2．
【分析】（1）分别根据算术平方根的定义，特殊角的三角函数值以及有理数的乘方的定义计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式化简即可．
解：（1）原式＝2+
＝2+
＝；
（2）原式＝a2﹣b2+a2+2ab+b2
＝2a2+2ab．
【点评】本题主要考查了实数的运算以及整式的混合运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．
18．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．
【分析】（1）易证得△ABE≌△DCF，即可得AB＝CD；
（2）易证得△ABE≌△DCF，即可得AB＝CD，又由AB＝CF，∠B＝30°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，
∵AB＝CF，∠B＝30°，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D＝．
【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据AAS证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
19．赵老师为了了解所教班级学生体育锻炼的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类，A：优秀；B：良好；C：一般；D：较差，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）在本次调查中，赵老师一共调查了 20 名学生．
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）在此次调查后，赵老师从被调查的A、D类学生中各选取一名同学，用画树状图求出所选的两名同学恰好都是女生的概率．
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）用总人数乘以C类别百分比，再减去其中男生人数可得女生人数，同理求得D类别男生人数，可补全图形；
（3）画出树状图，根据概率公式计算可得．
解：（1）赵老师调查的学生总人数为（1+2）÷15%＝20（人），
故答案为：20；
（2）C类女生人数为20×25%﹣3＝2（人），
D类男生人数为20×（1﹣15%﹣20%﹣25%）﹣1＝1（人），
补全图形如下：
（3）画树状图如下：
所有等可能结果：男女、男女、女男、女女、女男、女女，所选的两名同学恰好都是女生的有2种结果，
所以所选的两名同学恰好都是女生的概率为＝．
【点评】本题考查了概率公式的应用以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．如图，在“7×7”的方格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在格点上（在小方格顶点上的点称为格点），按如下要求画图：
（1）在图1中画一个以线段AB为对角线的平行四边形ACBD，要求点C，D在格点上，平行四边形ACBD的面积为6；
（2）在图2中画一个以线段AB为边的平行四边形ABEF，要求点E，F在格点上，平行四边形ABEF有一个内角的度数为45°．
【分析】（1）作底为2，高为3的平行四边形即可．
（2）利用数形结合的思想作出图形即可．
解：（1）如图，四边形ACBD即为所求作．
（2）如图，四边形ABEF即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．如图，直线y＝﹣x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（6，0）．在x轴的负半轴上有一点C（﹣4，0），直线AB上有一点D，且CD＝OD．
（1）求b的值及点D的坐标；
（2）在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为a，作点P关于y轴的对称点Q，当点Q落在△CDO内（不包括边界）时，求a的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求解．
（2）求出点Q所在直线解析式，通过与CD，OD交点求解．
解：（1）将点A的坐标为（6，0）代入y＝﹣x+b，
解得b＝3．y＝﹣x+3，
∵CD＝OD，点C坐标为（﹣4，0），
∴点D横坐标为﹣2，
当x＝﹣2时，y＝4，
∴点D坐标为（﹣2，4）．
（2）∵点P所在直线解析式为：y＝﹣x+3（0≤x≤6），
点P关于y轴的对称点Q，且点Q落在△CDO内（不包括边界），
∴点Q所在直线解析式为：y＝x+3（﹣6＜x＜0）．
设CD所在直线解析式为：y＝kx+b，将C（﹣4，0），D（﹣2，4）代入解析式得k＝2，b＝8，
即y＝2x+8．
设OD所在直线解析式为：y＝mx，将D（﹣2，4）代入解析式得m＝﹣2，
即y＝﹣2x．
联立方程，解得．
联立方程，解得．
∵点Q横坐标为﹣a，
∴﹣＜﹣a＜﹣，解得＜a＜．
【点评】本题考查一次函数与图形综合问题，解题关键是将点转化为直线通过交点求解．
22．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；
（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．
【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△ADC中，
∴（米），
答：点D与点A的距离为300米．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB是东西走向，
∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，
在Rt△ADE中，
∴（米），
在Rt△BDE中，
∴（米），
∴（米），
答：隧道AB的长为米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
23．某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线A﹣B﹣C表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝9米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间GH也是用篱笆隔开），如图，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE＝ （39﹣3x）（x≥10） 米（用含x的代数式表示）；
②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为66平方米，求饲养场EF的长；
（2）饲养场的宽EF为多少米时，饲养场BDEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解；
②根据矩形的面积公式列方程求解即可；
（2）设饲养场BDEF的面积为S，求出关于EF的长x的函数关系式，根据二次函数的性质及即可解答．
解：（1）①设EF的长为x米，
∵点F在线段BC上，
∴DE＝36﹣2x﹣（x﹣3）＝（39﹣3x）（米）．
∵BC≤9，即DE≤9，
∴x≥10，
故答案为：（39﹣3x）（x≥10）；
②设EF的长为x米，
x（39﹣3x）＝66，
3x2﹣39x+66＝0，
（x﹣11）（3x﹣6）＝0，
x1＝11，x2＝2（不合题意，舍去），
答：饲养场的长EF为11米；
（2）设饲养场BDEF的面积为S，EF的长为x米，
①点F在线段BC上，
则S＝x（39﹣3x）＝﹣3x2+39x＝﹣3（x﹣）2+，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＝时，S有最大值，S最大值＝，x≥时，S随x的增大而减小，
∵BC＝9米，
∴BF＝39﹣3x≤9，解得：x≥10，
∴x＝10时，S有最大值，S最大值＝﹣3×102+39×10＝90（平方米）；
②点F在线段BC的延长线上，
则S＝（39﹣3x+9）x＝﹣x2+24x＝﹣（x﹣8）2+96，
∵a＝﹣＜0，
∴x＝8时，S有最大值，S最大值＝96，BF＝（39﹣3x+9）＝12，
∴x＝8时，S最大值＝96（平方米）；
∵96＞90，
∴饲养场的宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积最大，最大面积为96平方米．
答：饲养场的宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积最大，最大面积为96平方米．
【点评】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA方向向点A运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC方向向点C运动．当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．连结PQ，在射线PC上截取PM＝PQ，以PQ，PM为邻边作菱形PQNM，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t＝3时，求菱形PQNM的面积．
（2）当△PCQ的面积为菱形PQNM面积的时，求t的值．
（3）作点B关于直线PQ的对称点B′．
①当∠BQB'＝2∠ABC时，求线段BB'的长．
②当点B′落在菱形PQNM的边上时，请直接写出的值．
【分析】（1）根据题意，PC＝2t，BQ＝t，BC＝6，当t＝3时，可分别求出PC、QC的长，再由勾股定理求出PQ的长，即可求出菱形PQNM的面积；
（2）先证明当△PCQ的面积为菱形PQNM面积的时，则点C为PM的中点，可知PQ＝2PC，导出QC＝PC，再列方程求出此时t的值；
（3）①可证明当∠BQB'＝2∠ABC时，则PQ∥AB，再由相似三角形的性质列方程求出此时t的值，进而求出BB′的长；
②延长PQ交BB′于点D，有两种情况，点B′落在QN边上，可导出△QBB′和△CPQ都是等腰直角三角形；点B′落在MN边上，可证明CQ＝B′D＝BB′．
解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，
∴CQ⊥PM，
∵PC＝2t，BQ＝t，BC＝6，
∴当t＝3时，则PC＝6，QC＝6﹣t＝3，
∵四边形PQNM是菱形，
∴PM＝PQ＝＝＝，
∴S菱形PQNM＝×3＝．
（2）如图2，∵PQ＝NQ，PM＝NM，MQ＝MQ，
∴△PQM≌△NQM（SSS），
∴S△PQM＝S△NQM＝S菱形PQNM，
∵S△PCQ＝S菱形PQNM，
∴2S△PCQ＝S菱形PQNM，
∴2S△PCQ＝S△PQM，
∴S△PCQ＝S△PQM＝S△MCQ，
∴PC•QC＝MC•QC，
∴PC＝MC，
∴PQ＝PM＝2PC，
∴QC＝＝PC，
∴6﹣t＝×2t，
∴t＝．
（3）①如图3，连接QB′，延长PQ交BB′于点D，
∵点B′与点B关于直线PQ对称，
∴PQ垂直平分BB′，
∴BD＝B′D，BQ＝B′Q，∠BDQ＝90°，
∴∠BQD＝∠B′QD＝∠BQB'，
∵∠BQB'＝2∠ABC，
∴∠ABC＝∠BQB'，
∴∠BQD＝∠ABC，
∴PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
∴，
∴PC＝•QC＝QC＝QC，
∴2t＝（6﹣t），
∴t＝，
∴BQ＝t＝，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵＝sin∠BQD＝sin∠ABC＝＝＝，
∴BD＝BQ＝×＝，
∴BB′＝2×＝．
②如图4，点B′落在QN边上，延长PQ交BB′于点D，
∵QN∥PM，
∴∠BQB′＝∠QCM＝90°，
∴∠BQD＝∠B′QD＝∠BQB'＝45°，
∴∠CPQ＝∠CQP＝∠BQD＝45°，
∴PC＝QC，
∴2t＝6﹣t，
∴t＝2，
∴BQ＝BQ′＝2，CQ＝6﹣2＝4，
∴BB′＝＝＝2，
∴＝＝；
如图5，点B′落在MN边上，延长PQ交BB′于点D，则BD＝B′D，
∵PQ垂直平分BB′，
∴B′D⊥PQ，
∵PM•CQ＝MN•B′D＝S菱形PQNM，且PM＝MN，
∴CQ＝B′D＝BB′，
∴＝，
综上所述，的值为或．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、菱形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数以及分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
2023年浙江省嘉兴市上海外国语大学秀洲外国语学校中考数学一模试卷
一、选择题（本题有10小题。每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．a的相反数为﹣3，则a等于（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．
2．不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某校举行演讲比赛，计划在九年级选取1名主持人，报名情况为：九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名．若从这12名同学中随机选取1名主持人，则九（1）班同学当选的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算一定正确的是（ ）
A．2a+2a＝2a2 B．a2•a3＝a6
C．（2a2）3＝6a6 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
6．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cosα＝，则点P的坐标为（ ）
A．（5，13） B．（5，12） C．（13，5） D．（12，5）
7．若反比例函数y＝（k＜0）的图象经过A（﹣2，a），B（﹣3，b），C（2，c）三点，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b
8．如图，BC与⊙O相切于点B，CO连接并延长后交⊙O于点A，连接AB，若∠BAC＝36°，则∠C的度数为（ ）
A．36° B．24° C．18° D．15°
9．如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，点C，D在x轴上，AB，BD分别交y轴于点E，F，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
10．如图，分别以正方形ABCD的两条边AD、CD为边向外作两个正三角形，即△ADG与△CDF，然后延长GA，FC交于点E，得到一个“镖型”ABCE．已知正方形ABCD的边长为2，则“镖型”ABCE的周长为（ ）
A．8+ B．4+4 C．4+4 D．8+4
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式：2x2﹣2y2＝ ．
12．若一个圆锥底面圆的半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为 ．
13．若一组数据6，x，3，5，4的众数是3，则这组数据的中位数是 ．
14．如图，在直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A（﹣2，0），B（3，0）．现固定点A，B在x轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上的点D′，则点C的对应点C′的坐标为 ．
15．已知点A（m+2，y1），B（m﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且y2＜y1．则m的取值范围为 ．
16．如图，边长为2的正方形ABCD中，动点F在边CD上，射线BF上取一点G，使∠AGB＝30°，当动点F从点C出发向终点D运动时，点G的运动路径长为 ，线段BG的最大值是 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分。解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（1）计算：cos60°×（）2；
（2）化简：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2．
18．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．
19．赵老师为了了解所教班级学生体育锻炼的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类，A：优秀；B：良好；C：一般；D：较差，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）在本次调查中，赵老师一共调查了 名学生．
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）在此次调查后，赵老师从被调查的A、D类学生中各选取一名同学，用画树状图求出所选的两名同学恰好都是女生的概率．
20．如图，在“7×7”的方格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在格点上（在小方格顶点上的点称为格点），按如下要求画图：
（1）在图1中画一个以线段AB为对角线的平行四边形ACBD，要求点C，D在格点上，平行四边形ACBD的面积为6；
（2）在图2中画一个以线段AB为边的平行四边形ABEF，要求点E，F在格点上，平行四边形ABEF有一个内角的度数为45°．
21．如图，直线y＝﹣x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（6，0）．在x轴的负半轴上有一点C（﹣4，0），直线AB上有一点D，且CD＝OD．
（1）求b的值及点D的坐标；
（2）在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为a，作点P关于y轴的对称点Q，当点Q落在△CDO内（不包括边界）时，求a的取值范围．
22．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
23．某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线A﹣B﹣C表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝9米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间GH也是用篱笆隔开），如图，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE＝ 米（用含x的代数式表示）；
②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为66平方米，求饲养场EF的长；
（2）饲养场的宽EF为多少米时，饲养场BDEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA方向向点A运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC方向向点C运动．当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．连结PQ，在射线PC上截取PM＝PQ，以PQ，PM为邻边作菱形PQNM，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t＝3时，求菱形PQNM的面积．
（2）当△PCQ的面积为菱形PQNM面积的时，求t的值．
（3）作点B关于直线PQ的对称点B′．
①当∠BQB'＝2∠ABC时，求线段BB'的长．
②当点B′落在菱形PQNM的边上时，请直接写出的值．
参考答案
一、选择题（本题有10小题。每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．a的相反数为﹣3，则a等于（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．
【分析】根据相反数的定义解答即可．
解：因为3的相反数是﹣3，所以a＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的定义，熟知概念是关键．
2．不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
解：移项得，2x≤3+1，
合并同类项得，2x≤4，
x的系数化为1得，x≤2．
在数轴上表示为：
．
故选：C．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心点与空心点的区别是解答此题的关键．
3．在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别分析四个选项的三视图，然后得出结论．
解：A选项的主视图与左视图分别是正方形和长方形；
B选项的主视图与左视图都是正方形；
C选项的主视图与左视图都是矩形；
D选项的主视图与左视图都是圆．
故选：A．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
4．某校举行演讲比赛，计划在九年级选取1名主持人，报名情况为：九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名．若从这12名同学中随机选取1名主持人，则九（1）班同学当选的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用一班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案．
解：∵九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名，
∴共有12名同学，
∵九（1）班有2名，
∴P＝＝；
故选：D．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．下列运算一定正确的是（ ）
A．2a+2a＝2a2 B．a2•a3＝a6
C．（2a2）3＝6a6 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可；
解：2a+2a＝4a，A错误；
a2•a3＝a5，B错误；
（2a2）3＝8a6，C错误；
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cosα＝，则点P的坐标为（ ）
A．（5，13） B．（5，12） C．（13，5） D．（12，5）
【分析】过点P作PE⊥x轴于点E．根据a的余弦值和OP，先求出OE，再利用勾股定理求出PE即可．
解：如图，过点P作PE⊥x轴于点E．
设点P的坐标为（x，y），
则OE＝x，PE＝y．
在Rt△OPE中，
∵cosα＝＝，OP＝13，
∴OE＝5．
∴PE＝＝12．
∴P点的坐标为（5，12）．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
7．若反比例函数y＝（k＜0）的图象经过A（﹣2，a），B（﹣3，b），C（2，c）三点，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据A、B、C三点横坐标的特点判断出三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答．
解：∵反比例函数y＝的系数k＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，且y随x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣2，
∴a＞b＞0，
∵2＞0，
∴c＜0，
∴c＜b＜a．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性．
8．如图，BC与⊙O相切于点B，CO连接并延长后交⊙O于点A，连接AB，若∠BAC＝36°，则∠C的度数为（ ）
A．36° B．24° C．18° D．15°
【分析】连接OB，如图，先根据切线的性质得到∠OBC＝90°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝72°，然后利用互余计算∠C的度数．
解：连接OB，如图，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×36°＝72°，
∴∠C＝90°﹣∠BOC＝90°﹣72°＝18°．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
9．如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，点C，D在x轴上，AB，BD分别交y轴于点E，F，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
【分析】设A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，利用三角形的面积公式，结论可求．
解：设点A的坐标为（a，），a＞0．
则OD＝a，OE＝．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为﹣．
∴OC＝．
∴BE＝．
∵AB∥CD，
∴＝．
∴EF＝OE＝，OF＝OE＝．
∴＝1．
＝4．
∴S阴影＝S△BEF+S△ODF＝1+4＝5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
10．如图，分别以正方形ABCD的两条边AD、CD为边向外作两个正三角形，即△ADG与△CDF，然后延长GA，FC交于点E，得到一个“镖型”ABCE．已知正方形ABCD的边长为2，则“镖型”ABCE的周长为（ ）
A．8+ B．4+4 C．4+4 D．8+4
【分析】连接BE，过E作EH⊥CB，交CB的延长线于H，根据直角三角形的三角函数和正方形的性质解答．
【解答】方法一：解：连接BE，过E作EH⊥CB，交CB的延长线于H，
易得，△ABE≌△CBE，即∠ABE＝∠CBE＝＝135°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABH＝90°，∠HBE＝135°﹣90°＝45°
设HE＝HB＝x，则，
解得：x＝，
∴CE＝2x＝，
同理，AE＝，
∴四边形ABCE的周长＝AE+CE+AB+BC＝2+2+＝8+4，
方法二：解：延长CB交AE于点N，
∵ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵△CDF，△ADG是以AD，CD为边的等边三角形，
∴∠GAD＝∠DCF＝60°，
∴∠BAN＝∠180°﹣∠GAD﹣∠DAB＝30°，
∠BCE＝180°﹣∠DCF﹣∠BCD＝30°，
在四边形ADCE中，
∠E＝360°﹣∠CDA﹣∠DAE﹣∠DCE＝30°，
∴∠E＝NCE＝30°，
∴NC＝NE，
在Rt△ABN中，∠BAN＝30°，
设BN＝x，AN＝2x，
∴AB2+BN2＝AN2，
即22+x2＝4x2，解得，x＝，
CN＝NE＝2+，
∴AE＝AN+NE＝2+2，
同理CE＝2+2，
∴镖形周长＝AE+CE+BC+BA＝2（2+2）+2+2＝8+．
故选：D．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角函数解答．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式：2x2﹣2y2＝ 2（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．
故答案为：2（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12．若一个圆锥底面圆的半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为 15π ．
【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．
解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴母线长为5，
∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π，
故答案为：15π．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长＝圆锥的底面周长
13．若一组数据6，x，3，5，4的众数是3，则这组数据的中位数是 4 ．
【分析】根据一组数据6，x，3，5，4的众数是3，可以得到x的值，从而可以求得这组数据的中位数，本题得以解决．
解：∵一组数据6，x，3，5，4的众数是3，
∴x＝3，
∴这组数据从小到大排列是：3，3，4，5，6，
∴这组数据的中位数是：4，
故答案为：4．
【点评】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的含义，会求一组数据的中位数．
14．如图，在直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A（﹣2，0），B（3，0）．现固定点A，B在x轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上的点D′，则点C的对应点C′的坐标为 （5，） ．
【分析】由已知条件得到AD′＝AD＝5，根据勾股定理得到OD′，于是得到结论．
解：∵点A（﹣2，0），B（3，0），
∴AB＝5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD′＝AD＝AB＝5，
∵AO＝2，
∴OD′＝＝＝，
∵C′D′＝5，C′D′∥AB，
∴C′（5，），
故答案为：（5，）．
【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
15．已知点A（m+2，y1），B（m﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且y2＜y1．则m的取值范围为 ﹣2＜m＜2 ．
【分析】由于y＝的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解．
解：由y＝可知图象位于一、三象限，y随x的增大而减小．
∵点A（m+2，y1），B（m﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且y2＜y1．
∴点A（m+2，y1）、B（m﹣2，y2）不在同一象限，则点A（m+2，y1）在第一象限，点B（m﹣2，y2）在第三象限．
∴，解得﹣2＜m＜2．
故答案为﹣2＜m＜2．
【点评】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
16．如图，边长为2的正方形ABCD中，动点F在边CD上，射线BF上取一点G，使∠AGB＝30°，当动点F从点C出发向终点D运动时，点G的运动路径长为 π ，线段BG的最大值是 4 ．
【分析】以AB为边在正方形ABCD内作等边三角形ABO，点O为圆心，OA为半径作圆，可知圆的半径为2，延长AO，BC交于点K，延长BO，AD交于点H，连接BD并延长交⊙O于点M，连接OM，可知G点的运动路径为，根据弧长公式求解，BG的最大值为BH，根据圆的直角即可求解．
解：如图，以AB为边在正方形ABCD内作等边三角形ABO，点O为圆心，OA为半径作圆，
则点G在⊙O上，延长AO，BC交于点K，延长BO，AD交于点H，连接BD并延长交⊙O于点M，连接OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴点K、H、M在⊙O上，
∴∠BKA＝∠AHB＝∠AGB＝∠AMB＝30°，
∵F从点C运动到点D，则G点从K运动到M，
即G点的运动路径为，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MBK＝∠DBK＝45°，∠MOK＝90°，
∴的长为，
∵圆内最长的弦为直径，由图可知BG最大值为BH，
∵BH为⊙O的直径，即BH＝2r＝4，
∴BG最大值为4．
故答案为：π；4．
【点评】本题考查了点的运动，圆周角，弧长公式等知识，正确作出辅助线，找出点G的运动路径是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共66分。解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（1）计算：cos60°×（）2；
（2）化简：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2．
【分析】（1）分别根据算术平方根的定义，特殊角的三角函数值以及有理数的乘方的定义计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式化简即可．
解：（1）原式＝2+
＝2+
＝；
（2）原式＝a2﹣b2+a2+2ab+b2
＝2a2+2ab．
【点评】本题主要考查了实数的运算以及整式的混合运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．
18．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．
【分析】（1）易证得△ABE≌△DCF，即可得AB＝CD；
（2）易证得△ABE≌△DCF，即可得AB＝CD，又由AB＝CF，∠B＝30°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，
∵AB＝CF，∠B＝30°，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D＝．
【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据AAS证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
19．赵老师为了了解所教班级学生体育锻炼的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类，A：优秀；B：良好；C：一般；D：较差，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）在本次调查中，赵老师一共调查了 20 名学生．
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）在此次调查后，赵老师从被调查的A、D类学生中各选取一名同学，用画树状图求出所选的两名同学恰好都是女生的概率．
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）用总人数乘以C类别百分比，再减去其中男生人数可得女生人数，同理求得D类别男生人数，可补全图形；
（3）画出树状图，根据概率公式计算可得．
解：（1）赵老师调查的学生总人数为（1+2）÷15%＝20（人），
故答案为：20；
（2）C类女生人数为20×25%﹣3＝2（人），
D类男生人数为20×（1﹣15%﹣20%﹣25%）﹣1＝1（人），
补全图形如下：
（3）画树状图如下：
所有等可能结果：男女、男女、女男、女女、女男、女女，所选的两名同学恰好都是女生的有2种结果，
所以所选的两名同学恰好都是女生的概率为＝．
【点评】本题考查了概率公式的应用以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．如图，在“7×7”的方格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在格点上（在小方格顶点上的点称为格点），按如下要求画图：
（1）在图1中画一个以线段AB为对角线的平行四边形ACBD，要求点C，D在格点上，平行四边形ACBD的面积为6；
（2）在图2中画一个以线段AB为边的平行四边形ABEF，要求点E，F在格点上，平行四边形ABEF有一个内角的度数为45°．
【分析】（1）作底为2，高为3的平行四边形即可．
（2）利用数形结合的思想作出图形即可．
解：（1）如图，四边形ACBD即为所求作．
（2）如图，四边形ABEF即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．如图，直线y＝﹣x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（6，0）．在x轴的负半轴上有一点C（﹣4，0），直线AB上有一点D，且CD＝OD．
（1）求b的值及点D的坐标；
（2）在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为a，作点P关于y轴的对称点Q，当点Q落在△CDO内（不包括边界）时，求a的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求解．
（2）求出点Q所在直线解析式，通过与CD，OD交点求解．
解：（1）将点A的坐标为（6，0）代入y＝﹣x+b，
解得b＝3．y＝﹣x+3，
∵CD＝OD，点C坐标为（﹣4，0），
∴点D横坐标为﹣2，
当x＝﹣2时，y＝4，
∴点D坐标为（﹣2，4）．
（2）∵点P所在直线解析式为：y＝﹣x+3（0≤x≤6），
点P关于y轴的对称点Q，且点Q落在△CDO内（不包括边界），
∴点Q所在直线解析式为：y＝x+3（﹣6＜x＜0）．
设CD所在直线解析式为：y＝kx+b，将C（﹣4，0），D（﹣2，4）代入解析式得k＝2，b＝8，
即y＝2x+8．
设OD所在直线解析式为：y＝mx，将D（﹣2，4）代入解析式得m＝﹣2，
即y＝﹣2x．
联立方程，解得．
联立方程，解得．
∵点Q横坐标为﹣a，
∴﹣＜﹣a＜﹣，解得＜a＜．
【点评】本题考查一次函数与图形综合问题，解题关键是将点转化为直线通过交点求解．
22．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；
（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．
【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△ADC中，
∴（米），
答：点D与点A的距离为300米．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB是东西走向，
∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，
在Rt△ADE中，
∴（米），
在Rt△BDE中，
∴（米），
∴（米），
答：隧道AB的长为米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
23．某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线A﹣B﹣C表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝9米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间GH也是用篱笆隔开），如图，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE＝ （39﹣3x）（x≥10） 米（用含x的代数式表示）；
②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为66平方米，求饲养场EF的长；
（2）饲养场的宽EF为多少米时，饲养场BDEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解；
②根据矩形的面积公式列方程求解即可；
（2）设饲养场BDEF的面积为S，求出关于EF的长x的函数关系式，根据二次函数的性质及即可解答．
解：（1）①设EF的长为x米，
∵点F在线段BC上，
∴DE＝36﹣2x﹣（x﹣3）＝（39﹣3x）（米）．
∵BC≤9，即DE≤9，
∴x≥10，
故答案为：（39﹣3x）（x≥10）；
②设EF的长为x米，
x（39﹣3x）＝66，
3x2﹣39x+66＝0，
（x﹣11）（3x﹣6）＝0，
x1＝11，x2＝2（不合题意，舍去），
答：饲养场的长EF为11米；
（2）设饲养场BDEF的面积为S，EF的长为x米，
①点F在线段BC上，
则S＝x（39﹣3x）＝﹣3x2+39x＝﹣3（x﹣）2+，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＝时，S有最大值，S最大值＝，x≥时，S随x的增大而减小，
∵BC＝9米，
∴BF＝39﹣3x≤9，解得：x≥10，
∴x＝10时，S有最大值，S最大值＝﹣3×102+39×10＝90（平方米）；
②点F在线段BC的延长线上，
则S＝（39﹣3x+9）x＝﹣x2+24x＝﹣（x﹣8）2+96，
∵a＝﹣＜0，
∴x＝8时，S有最大值，S最大值＝96，BF＝（39﹣3x+9）＝12，
∴x＝8时，S最大值＝96（平方米）；
∵96＞90，
∴饲养场的宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积最大，最大面积为96平方米．
答：饲养场的宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积最大，最大面积为96平方米．
【点评】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA方向向点A运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC方向向点C运动．当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．连结PQ，在射线PC上截取PM＝PQ，以PQ，PM为邻边作菱形PQNM，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t＝3时，求菱形PQNM的面积．
（2）当△PCQ的面积为菱形PQNM面积的时，求t的值．
（3）作点B关于直线PQ的对称点B′．
①当∠BQB'＝2∠ABC时，求线段BB'的长．
②当点B′落在菱形PQNM的边上时，请直接写出的值．
【分析】（1）根据题意，PC＝2t，BQ＝t，BC＝6，当t＝3时，可分别求出PC、QC的长，再由勾股定理求出PQ的长，即可求出菱形PQNM的面积；
（2）先证明当△PCQ的面积为菱形PQNM面积的时，则点C为PM的中点，可知PQ＝2PC，导出QC＝PC，再列方程求出此时t的值；
（3）①可证明当∠BQB'＝2∠ABC时，则PQ∥AB，再由相似三角形的性质列方程求出此时t的值，进而求出BB′的长；
②延长PQ交BB′于点D，有两种情况，点B′落在QN边上，可导出△QBB′和△CPQ都是等腰直角三角形；点B′落在MN边上，可证明CQ＝B′D＝BB′．
解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，
∴CQ⊥PM，
∵PC＝2t，BQ＝t，BC＝6，
∴当t＝3时，则PC＝6，QC＝6﹣t＝3，
∵四边形PQNM是菱形，
∴PM＝PQ＝＝＝，
∴S菱形PQNM＝×3＝．
（2）如图2，∵PQ＝NQ，PM＝NM，MQ＝MQ，
∴△PQM≌△NQM（SSS），
∴S△PQM＝S△NQM＝S菱形PQNM，
∵S△PCQ＝S菱形PQNM，
∴2S△PCQ＝S菱形PQNM，
∴2S△PCQ＝S△PQM，
∴S△PCQ＝S△PQM＝S△MCQ，
∴PC•QC＝MC•QC，
∴PC＝MC，
∴PQ＝PM＝2PC，
∴QC＝＝PC，
∴6﹣t＝×2t，
∴t＝．
（3）①如图3，连接QB′，延长PQ交BB′于点D，
∵点B′与点B关于直线PQ对称，
∴PQ垂直平分BB′，
∴BD＝B′D，BQ＝B′Q，∠BDQ＝90°，
∴∠BQD＝∠B′QD＝∠BQB'，
∵∠BQB'＝2∠ABC，
∴∠ABC＝∠BQB'，
∴∠BQD＝∠ABC，
∴PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
∴，
∴PC＝•QC＝QC＝QC，
∴2t＝（6﹣t），
∴t＝，
∴BQ＝t＝，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵＝sin∠BQD＝sin∠ABC＝＝＝，
∴BD＝BQ＝×＝，
∴BB′＝2×＝．
②如图4，点B′落在QN边上，延长PQ交BB′于点D，
∵QN∥PM，
∴∠BQB′＝∠QCM＝90°，
∴∠BQD＝∠B′QD＝∠BQB'＝45°，
∴∠CPQ＝∠CQP＝∠BQD＝45°，
∴PC＝QC，
∴2t＝6﹣t，
∴t＝2，
∴BQ＝BQ′＝2，CQ＝6﹣2＝4，
∴BB′＝＝＝2，
∴＝＝；
如图5，点B′落在MN边上，延长PQ交BB′于点D，则BD＝B′D，
∵PQ垂直平分BB′，
∴B′D⊥PQ，
∵PM•CQ＝MN•B′D＝S菱形PQNM，且PM＝MN，
∴CQ＝B′D＝BB′，
∴＝，
综上所述，的值为或．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、菱形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数以及分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
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