2023届天津市高三三模数学试题含解析

这是一份2023届天津市高三三模数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届天津市高三三模数学试题 一、单选题1．已知，，则“”是“函数是奇函数”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据函数奇偶性的定义和性质得出“函数是奇函数”的等价条件，再根据“” 或；由充分必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：函数的定义域为，若函数为奇函数，则，当时，，若为奇函数，则，即，，即函数为奇函数的充要条件是，，或， “”推不出“函数是奇函数”，“函数是奇函数” 可以得到“”；则“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件．故选：．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．属于基础题．2．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，为的两个不相等的非空子集，且，知，再判断选项中的命题是否正确．【详解】解：，，，，，，故选：．3．设、，若（为虚数单位）是一元二次方程的一个虚根，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】分析可知实系数一元二次方程的两个虚根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，即可得解.【详解】因为是实系数一元二次方程的一个虚根，则该方程的另一个虚根为，由韦达定理可得，所以.故选：C.4．函数的大致图像为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合函数的定义域，零点，时函数值的符号进行判断.【详解】由知，，排除C选项；函数没有定义，排除B；时，，根据指数函数的单调性可知，，又弧度是第二象限角，故，于是时，，排除D.故选：A.5．某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（    ）A．的数据较更集中B．C．甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于D．【答案】D【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解.【详解】对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；对于B，因为c与 之间的与密度曲线围成的面积 与密度曲线围成的面积 ， ，正确；对于C， ， 甲种茶青每500克超过 的概率 ，正确；对于D，由B知： ，错误；故选：D.6．已知函数，，若，，，则、、的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】判断出函数是偶函数，且在区间上单调递增，然后比较、、三个数的大小，由此可得出、、的大小关系.【详解】，该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，当时，，任取，，则，，所以，，，，即，所以，函数在上单调递增，，，则，即.故选：A.【点睛】本题考查函数值的大小比较，解题的关键在于分析函数的单调性与奇偶性，考查推理能力，属于中等题.7．中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体；对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（    ）A．24 B．28 C．32 D．36【答案】B【分析】根据给定条件，利用四棱锥、三棱柱的体积公式结合给定数据建立关系式，求出长方体的体积作答.【详解】如图，令四棱锥的底面边长为a，高为h，三棱柱的高为b，依题意，四棱锥的体积，即，三棱柱的体积，即有，因此，于是长方体的体积，所以该正四棱台的体积为.故选：B【点睛】关键点睛：求几何体的体积，将给定的几何体进行恰当的分割，转化为可求体积的几何体求解是关键.8．已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.【详解】设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点.根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，所以MO是的中位线，所以，又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为.所以，，双曲线C的渐近线方程为，设，T到两渐近线的距离之和为S，则，由，即，又T在上，则，即，解得，，由，故，即距离之和为.故选：A.【点睛】由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程.9．已知，，若对，，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的取值不可能是.A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意首先确定函数的值域，然后数形结合得到关于的不等式，求解不等式可得的取值范围，据此可得选项.【详解】，其中，由题意可知：，即：，则函数的值域为的子集，设函数的最小正周期为，在区间上的值域为，则：，即：，解得.结合选项可知实数的取值不可能是.故选D.【点睛】本题主要考查双量词问题的处理方法，三角函数的图像与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题10．在的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中含x项的系数为________．【答案】【分析】先写出的展开式的通项，然后利用前三项的系数成等差数列来列方程求得，再令通项中的的次数为1可求得，进而可求出展开式中含x项的系数.【详解】的展开式通项为，根据前三项的系数成等差数列得，解得或（舍去）令，得，展开式中含x项的系数.故答案为：.11．已知直线平分圆，则圆中以点为中点的弦弦长为________【答案】【分析】由圆的标准方程确定圆心坐标和半径，由题意可知该直线经过圆心，求出a，利用几何法求弦长即可求解.【详解】由，得，因为直线平分圆C，所以该直线经过圆心C，得，解得.则，当圆心C与该点的连线与弦垂直时，满足题意，所以圆C以点为中点的弦弦长为.故答案为：. 三、双空题12．现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率为________；甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为，的数学期望为，则________．【答案】     ；     4.【分析】根据超几何分布，即可求解甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率；当时，X的取值可能是2，3，4；当时，X的取值可能是0，1，2，利用超几何分布分布求出对应的概率，结合数学期望的公式分布计算即可求解.【详解】由题可知，甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率；当时，X的取值可能是2，3，4，且，，，则．当时，X的取值可能是0，1，2，且，，，则．故．故答案为：；4. 四、填空题13．已知，，则的最大值为________ .【答案】【分析】先根据条件确定取值范围，再根据基本不等式以及二次函数性质求最值.【详解】因为，所以，同理可得，因此，而所以，当且仅当时取等号,即的最大值为.【点睛】本题考查利用基本不等式以及二次函数性质求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 五、双空题14．已知函数，则函数存在_____个极值点；若方程有两个不等实根，则的取值范围是___________【答案】     4；      【分析】利用导数研究的单调性和极值，作出的图象；由关于的方程有两个不相等的实数根，得到函数与有一个交点，利用图象法求解．【详解】对于函数．当时，．令，解得：或；令，解得：；所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．而，；，．当时，．令，解得：；令，解得：； 所以在上单调递减，在上单调递增．而；，，．作出的图象如图所示：所以函数存在4个极值点.解关于的方程有两个不相等的实数根,即关于的方程有两个不相等的实数根，只有一个实数根，所以关于的方程有一个非零的实数根，即函数与有一个交点，横坐标．结合图象可得：或，所以的取值范围是．故答案为：4；. 六、填空题15．设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则___________．【答案】2【分析】由O，I分别是三角形的外心和内心，利用与共线得到线段的长度关系，用，表示出相应线段，得到等式.【详解】设内切圆半径为r，过O，I分别作BC的垂线，垂足分别为M，D，则，，因为与共线，所以，又因为，，所以，因为，所以，即，所以.故答案为：2 七、解答题16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA=.（1）若a=，c=，求b的值；（2）若角A的平分线交BC于点D，，a=2，求的面积.【答案】（1）b=4；（2）.【分析】（1）由求出，再根据余弦定理可求出；（2）根据得到，根据角平分线定理得到，根据余弦定理求出，根据三角形面积公式求出，从而可得.【详解】（1）因为tanA=，且，所以， 所以cosA=，由余弦定理得，所以，所以，解得b=4或b=﹣1(舍)，（2）因为，所以，所以，所以，因为∠CAD=∠BAD，所以，即，又因为a=2，由余弦定理得，解得，所以，所以.【点睛】关键点点睛：熟练掌握余弦定理、三角形的面积公式是解题关键.17．如图，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，，，.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成的角.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)30°.【详解】试题分析:（1）根据矩形性质得，再由条件，利用线面垂直判定定理得平面，即得结论（2）先根据线线平行得线面平行：平面，平面，再根据线面平行得面面平行：平面平面，即得线面平行（3）过作与的延长线垂直，则根据二面角定义得就是二面角的平面角，再根据面面垂直判定与性质定理得平面，即是直线与平面所成的角，最后通过解三角形得结果试题解析：证明：（）∵四边形为矩形，∴，又∵，，平面，，∴平面，∵平面，∴．（）∵，平面，平面，∴平面．∵四边形是矩形，∴，又平面，平面，∴平面，又，平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面．（）过作与的延长线垂直，是垂足，连结． ∵，，∴就是二面角的平面角，∴，，∴，，∵，，，∴．∵平面，平面，∴平面平面，又平面平面，，∴平面，∴是直线与平面所成的角，∴，∴，∴直线与平面所成的角为．18．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，，数列满足其中．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）设出数列，的公差和公比，利用已知给的式子，可以求出数列的首项、公差和数列的首项及公比；（Ⅱ），，，分别求和，最后求出.【详解】（Ⅰ）设数列的公差为，数列公比为，，，，所以，因此；（Ⅱ），，，，得，所以.【点睛】本题考查了求等差数列、等比数列的通项公式，以及求数列的和，分类是解题的关键.19．已知、为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且面积的最大值为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于、两点，的面积为，，当点在椭圆上运动时，试问是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，求出的取值范围．【答案】(1)(2)为定值 【分析】（1）根据已知条件可求得的值，结合的值，可得出的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理结合三角形的面积公式可得出，可得出点的坐标，将点的坐标代入椭圆的方程，可求得的值；②当直线的斜率不存在时，设，根据三角形的面积公式以及已知条件求出、的值，可得出点的坐标，将点的坐标代入椭圆的方程，可求得的值.综合可得出结论.【详解】（1）解：当点为椭圆短轴的顶点时，的面积取最大值，可得，，则，因此，椭圆的方程为.（2）解：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，联立可得，，可得，由韦达定理可得，，，原点到直线的距离为，，整理可得，设，由，可得，．又因为点在椭圆上，所以有，整理可得：，即为．由，，可得 ，可得，即有为定值；②当直线的斜率不存在时，设点，则，，所以，，可得，设，由，可得，．由，可得，整理可得.综上所述，为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．20．已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)记，设，为函数图象上的两点，且．（ⅰ）当，时，若在点处的切线相互垂直，求证：；（ii）若在点处的切线重合，求的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ii） 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，判断函数的单调性即可；（2）（ⅰ）求出的解析式，根据基本不等式的性质判断即可；（ii）求出的坐标，分别求出曲线在的切线方程，结合函数的单调性确定的范围即可.【详解】（1），则，当即时，，在上单调递减，当时即时，，令，得或；令，得；此时在和上单调递减，在上单调递增；（2）（ⅰ），据题意有，又，则且，所以，当且仅当，即，时取等号．（ii）要在点处的切线重合，首先需要在点处的切线的斜率相等，而时，，则必有，即，，处的切线方程是：，处的切线方程是：，即，据题意则，，设，，，令，在上恒成立,则在上单调递增,则在上，在上单调递增，则,令，则在上单调递增,所以，故在恒成立即当时的值域是，故，即为所求．【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；（2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.