2023届四川省宜宾市高三三模数学（文）试题含解析

2023届四川省宜宾市高三三模数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简集合，根据集合的运算和集合的关系的定义依次判断各选项即可.

【详解】因为对数不等式的解集为，

所以，又，

所以，A错误；

，B错误；

，C正确，D错误；

故选：C.

2．已知复数，且，其中a是实数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由共轭复数的概念得，根据复数相等的充要条件即可求解.

【详解】因为，所以，

所以，

所以，解得.

故选:B.

3．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（    ）

A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件

C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件

【答案】B

【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.

【详解】由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：,

事件3可表示为：,事件4可表示为：,

因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误；

因为为不可能事件，为必然事件，

所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；

因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误；

因为为不可能事件，不为必然事件，

所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；

故选：B.

4．已知p：，q：表示椭圆，则p是q的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由椭圆方程的定义化简命题，根据充分条件和必要条件的定义即可判断结论.

【详解】若方程表示椭圆，

则，

解得或，

故：或，又p：，

所以p是q的必要不充分条件，

故选：C.

5．已知角的终边上一点的坐标，其中a是非零实数，则下列三角函数值恒为正的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据定义求出，然后逐一对各个选项分析判断即可得出结果.

【详解】因为角的终边上一点的坐标且a是非零实数，所以根据三角函数的定义知，，，，

选项A，，故选项A正确；

选项B，，因为的正负不知，故选项B错误；

选项C，，因为的正负不知，故选项C错误；

选项D，，因为的正负不知，故选项D错误；

故选：A.

6．已知数列的前n项和为，则使得最小时的n是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】分与讨论项的正负即可求解.

【详解】当时，数列恒为负，

当时，数列恒为正，

所以当时最小.

故选:B.

7．已知两个平面，，两条直线l，m，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，，，则

D．若l，m是异面直线，，，，，则

【答案】D

【分析】根据直线、平面的位置关系一一判断求解.

【详解】对于A，若，，则或或与相交，A错误；

对于B，若，，，则与可以相交或平行，B错误；

对于C，若，，，，则与可以相交或平行，C错误；

对于D，因为，，所以存在直线，

因为l，m是异面直线，所以l与相交，

因为，所以，

又因为，，所以，D正确，

故选:D.

8．若函数的最小值是，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用导数求出函数在上的极小值，然后对实数的取值进行分类讨论，结合可求得实数的取值范围.

【详解】当时，，则，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，函数的极小值为，

因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减，

此时，函数在上无最小值，不合乎题意；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

此时，函数在上的极小值为，且，则，

综上所述，.

故选：A.

9．已知点是圆上的一个动点，点是直线上除原点外的任意一点，则向量在向量上的投影的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】取点，则，设点，其中，利用向量投影的定义以及三角恒等变换可求得向量在向量上的投影的最大值.

【详解】取点，则，设点，其中，

所以，向量在向量上的投影为

，

若向量在向量取最大值，则，

所以，

，

因为，则，

当且仅当时，等号成立，故向量在向量上的投影的最大值是为.

故选：A.

10．已知曲线，直线，垂直于轴的直线分别与、交于、两点，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设直线的方程为，其中，求出点、的坐标，可得出，利用导数求出函数的最小值，即为所求.

【详解】设直线的方程为，其中，

由可得，即点，由可得，则，

由图象可知，，令，其中，则，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，，

故选：D.

11．如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与地面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中，则在图1中（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用条件求出，再利用图1和图2中水的体积相等，求出，从而求出结果.

【详解】因为DA，DB，DC三条棱与地面所成角均相等，所以三棱锥为正三棱锥，设正方体的棱长为2，则，所以，则图1中，则，所以.

故选：D.

12．在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】由余弦定理及同角三角函数的基本关系可求与，故，根据二次函数的性质即可求解.

【详解】由余弦定理可得，

所以.

因为，，所以，即，解得.

所以

，

当时，.

故选：C.

二、填空题

13．在等比数列中，，，则___________.

【答案】

【分析】利用等比数列的通项公式可求得结果.

【详解】设等比数列的公比为，则，

所以，所以，

所以.

故答案为：

14．甲，乙，丙3名大学生分到A，B两个学校实习，每个学校至少分到1人，则甲，乙二人在同一个学校实习的概率是______．

【答案】

【分析】利用捆绑法结合古典概型分析运算.

【详解】每个学校至少分到1人，共有种不同的安排方法，

甲，乙二人在同一个学校实习，共有种不同的安排方法，

所以甲，乙二人在同一个学校实习的概率是.

故答案为：.

15．音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则______．

【答案】0

【分析】根据条件求出和，再求的值.

【详解】相邻两个音的频率比分别为，，，，，，

由题意，，，

.

故答案为：0.

16．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，离心率为，过作渐近线的垂线交C于A，B两点，若，则的周长为______．

【答案】18

【分析】根据题意设直线的方程，利用弦长公式求得，再结合双曲线的定义运算求解.

【详解】由题意可得：焦点在x轴上，，

则双曲线C：，渐近线，

不妨设直线，

联立方程，消去y得，

则，

可得，解得，

可得，

由双曲线的定义可得，

则，

可得，

所以的周长.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

三、解答题

17．在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，．

(1)证明：；

(2)求的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)5

【分析】（1）利用二倍角公式，两角和正弦公式化简条件等式可得，由此证明结论；

（2）结合余弦定理知，利用基本不等式求其最小值.

【详解】（1）因为，

所以，

，

又，

∴，

∴，

故．

（2）∵

∴，

当且仅当，即时，等号成立．

∴的最小值为5．

18．近几年，在缺“芯”困局之下，国产替代的呼声愈发高涨，在国家的政策扶持下，国产芯片厂商呈爆发式增长．为估计某地芯片企业的营业收入，随机选取了10家芯片企业，统计了每家企业的研发投入（单位：亿）和营业收入（单位：亿），得到如下数据：

并计算得，，，，．

(1)求该地芯片企业的研发投入与营业收入的样本相关系数r，并判断这两个变量的相关性强弱（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，r精确到0.01）；

(2)现统计了该地所有芯片企业的研发投入，并得到所有芯片企业的研发投入总和为268亿，已知芯片企业的研发投入与营业收入近似成正比．利用以上数据给出该地芯片企业的总营业收入的估计值．

附：相关系数，．

【答案】(1)，两个变量线性相关程度较高

(2)该地芯片企业的总营业收入的估计值为亿元．

【分析】（1）由条件数据求，利用关系，

，求值，代入公式求相关系数即可；

（2）设该地芯片企业的总营业收入的估计值为m，由条件，列关系式求即可.

【详解】（1）因为，，

所以，，又，，，

所以，

，

，

所以，

故两个变量线性相关程度较高．

（2）设该地芯片企业的总营业收入的估计值为m，

则，解得，

所以该地芯片企业的总营业收入的估计值为亿元．

19．如图（1），在边长为的正三角形ABC中，D，E分别为AB，AC中点，将沿DE折起，使二面角为直二面角，如图（2），连接AB，AC．

(1)求四棱锥的体积；

(2)在图（2）中，过点E作平面EFG与平面ABD平行，分别交BC，AC于F，G．求证：平面ABC．

【答案】(1)3

(2)证明见解析

【分析】（1）作DE中点O，连接AO，证明平面BCED，结合锥体体积公式求解；

（2）根据面面平行性质定理证明，，由此可证，根据线面垂直判定定理证明平面AOF，根据平面几何结论证明，由此证明平面ABC．

【详解】（1）作DE中点O，连接AO，

由已知，∴．

因为二面角为直二面角，

所以平面 平面，

又平面 平面，平面，

∴平面BCED．

由已知，，梯形的高为，

所以四棱锥的高为，

梯形的面积，

所以四棱锥的体积

（2）∵平面平面ABD，

平面平面，平面平面，

∴，同理，

又，

∴四边形为平行四边形，

∵，

∴F为BC中点，

∴G为AC的中点，又，

∴，

∵平面，平面，

∴，又

∵，平面

∴平面，平面，

∴，

∵点为直角三角形的斜边的中点，

∴，

因为，GE是公共边，∴，

∴，

故，又

又，平面，

∴平面.

20．已知点在轴右侧，点、点的坐标分别为、，直线、的斜率之积是．

(1)求点的轨迹的方程；

(2)若抛物线与点的轨迹交于、两点，判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

【答案】(1)

(2)直线过定点，定点为

【分析】（1）设点，，利用斜率公式结合已知条件化简可得出点的轨迹的方程；

（2）设、，将抛物线的方程与曲线联立，列出韦达定理，求出直线的方程并化简，即可求得直线所过定点的坐标.

【详解】（1）解：设点，，

因为直线、的斜率之积是，所以，．

整理可得，因此，点的轨迹的方程为.

（2）解：设、，

由得，，可得，

由韦达定理可得，，

因为，，所以，，

因为，

所以，直线的方程为，

即，

所以，直线过定点.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

21．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若，，求实数a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1），讨论与的大小关系即可求单调性；

（2），则，分、与讨论，求出函数的最值即可求解.

【详解】（1）

，

当时，，的增区间为，无减区间；

当时，，由得的增区间，，

由得的减区间；

当时，，由得的增区间，，

由得的减区间.

（2）时，令,

①若，在恒成立，所以在为增函数．

,即，∴a无解.

②若,在恒成立．

∴，解得，∴.

③当时，在为减函数，在为增函数．

.

1）当，即时，，

∴，在上单调递增．

，合题意；

2）当，即时，，

∴，在上单调递减．

，合题意.

综上，a的范围是．

22．在平面直角坐标系中，曲线E的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，射线：与E交于A，B两点，射线：与E交于C，D两点．

(1)求曲线E的极坐标方程；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）把曲线E的参数方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式求解作答.

（2）把、的极坐标方程分别代入曲线E的极坐标方程，利用韦达定理列式求解作答.

【详解】（1）由消去参数得，即，

把代入圆E的普通方程得圆E的极坐标方程：.

（2）把代入得：，

设点，则，于是，

同理，，

因此，而，即，

所以的取值范围是.

23．已知函数的最大值为2．

(1)求的值；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1），根据绝对值三角不等式可求解；

（2）利用“乘1法”证明，又，利用基本不等式证明即可.

【详解】（1），当时取等号，

∵，，∴，

∴由题可知，∴.

（2），

当且仅当时等号成立.

，

当且仅当时等号成立.

∴．