甘肃省张掖市甘州中学2022-2023学年八年级下学期5月期中数学试题

这是一份甘肃省张掖市甘州中学2022-2023学年八年级下学期5月期中数学试题，共12页。试卷主要包含了如果关于x的不等式，函数y＝kx+b等内容，欢迎下载使用。

甘州中学八年级数学期中考试卷
一．选择题（共10小题，共30分）
1．已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角为（　　）
A．50° B．60° C．30° D．40°
2．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．5，6，7 B．1，4，9 C．3，4，5 D．5，11，12
3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x2+2x+3＝x（x+2）+3 B．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy﹣2y2
C．3x2﹣12y2＝3（x+2y）（x﹣2y） D．2（x+y）＝2x+2y
4．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．﹣2a＜﹣2b C．＜ D．﹣a＞﹣b
5．多项式2x2﹣2y2分解因式的结果是（　　）
A．2（x+y）2 B．2（x﹣y）2 C．2（x+y）（x﹣y） D．2（y+x）（y﹣x）
6．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＞1，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1
7．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
8．如图，△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC长等于（　　）

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
9．函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为（　　）

A．x＞0 B．x＜0 C．x＞2 D．x＜2
10．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠AMC＝120°；③PQ＝PB；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题，共32分）
11．不等式9﹣3x＞0 的非负整数解是 　 　．
12．若x2+px+q＝（x+2）（x﹣4），则p= 　 　,q= 　 　
13．当k取　 　时，100x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于E．若∠A＝40°，则∠EBC的度数是　 　．

15．已知a﹣b＝3，ab＝-2，则a2b﹣ab2的值为 　 　．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上的一点，且DA＝DB，DC＝AC．则∠B＝　 　度．

17．如图是一次函数y1＝ax+b，y2＝kx+c的图象，观察图象，写出同时满足y1＞0，y2＞0时x的取值范围：　 　．

18．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝2，则CD的长度是　 　．

三．解答题（共10小题，共88分）
19．（4分）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要在∠AOB内部修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）

20．（16分）（一）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
（1）4x+5≥6x﹣3 （2）



（二）把下列各式因式分解：
（1）a（m﹣n）﹣3b（n﹣m）； （2）x3﹣8x2+16x．



21．（6分）已知x+y＝1，求x2+xy+y2的值．




22．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．求证：AE＝2CE．

23．（8分）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，请判断△ABC的形状．




24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD＝CE．




25．（8分）根据图中信息解答问题．
（1）求m，n的值；
（2）求出P点的坐标；
（3）当x为何值时，y1＞y2．

26．（10分）在毕节市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和一体机，经过市场考察得知，购进3台笔记本电脑和2台一体机需要4.5万元，购进2台笔记本电脑和3台一体机需要5.5万元．
（1）求笔记本电脑和一体机的单价？
（2）根据学校实际，需购进笔记本电脑和一体机共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案．哪种方案费用最低．







27．（10分）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：
（1）不论x，y为何有理数，x2+y2﹣10x+8y+45的值均为 　 　．
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
（2）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值．
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．





28．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？






























参考答案
一．选择题（共10小题，共30分）
1．【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为70°，∴顶角＝180°﹣70°×2＝40°．
故选：D．
2．【解答】解：A、∵52+62≠72，故不能围成直角三角形，此选项错误；
B、∵12+42≠92，故不能围成直角三角形，此选项错误；C、∵32+42＝52，能围成直角三角形，此选项正确；
D、∵52+112≠122，故不能围成直角三角形，此选项错误．
故选：C．
3．【解答】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．【解答】解：A．a＞b，则a﹣3＞b﹣3，所以A选项不符合题意；B．a＞b，则﹣2a＜﹣2b，所以B选项符合题意；
C．a＞b，则，所以C选项不符合题意；D．a＞b，则﹣a＜﹣b，所以D选项不符合题意．
故选：B．
5．【解答】解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y），
故选：C．
6．【解答】解：∵关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＞1，∴a+1＞0，即a＞﹣1．
故选：C．
7．【解答】解：∵OB平分∠ABC，∴∠DBO＝∠OBC，∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC，∴∠DOB＝∠DBO，∴BD＝OD，
同理可得：CE＝OE，∴DE＝DO+OE＝BD+CE＝5，
故选：A．
8．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，由题意得，BC+CE+BE＝18，则BC+CE+AE＝18，即BC+AC＝18，又BC＝8，∴AC＝10cm，
故选：C．
9．【解答】解：函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，
所以当x＜2时，函数值大于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．
故选：D．
10．【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，
∴∠PBQ＝60°，∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确；
∴∠BAP＝∠BDQ，
∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°，∴∠AMC＝120°，故②正确；
在△ABP和△DBQ中，，∴△ABP≌△DBQ（ASA），∴BP＝BQ，∴△BPQ为等边三角形，
∴PQ＝PB，故③正确；∵△ABE≌△DBC，∴AE＝CD，S△ABE＝S△DBC，∴点B到AE、CD的距离相等，
∴B点在∠AMC的平分线上，即：MB平分∠AMC，故④正确．
故选：D．
二．填空题（共8小题，共32分）
11．【解答】解：9﹣3x＞0，移项得﹣3x＞﹣9，，解得x＜3，
故不等式9﹣3x＞0的非负整数解为0，1, 2．
故答案为：0，1, 2．
12．【解答】解：∵x2+px+q＝（x+2）（x﹣4），∴p＝2+（﹣4）＝﹣2．q= 2×（﹣4）=-8
故答案为：﹣2．-8
13．【解答】解：∵100x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，∴k＝±40，
故答案为：±40
14．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∵AB的垂直平分线DE，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°．
15．【解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝-2，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝-2×3＝-6．
故答案为：-6．
16．【解答】解：在△ACD中，∵∠C＝90°，DC＝AC，∴∠ADC＝∠CAD＝45°，
又∵DA＝DB，∴∠B＝∠DAB，而∠ADB＝∠B+∠DAB，∴∠B+∠DAB＝45°，∴∠B＝22.5°．
故答案为22.5．
17．【解答】解：根据图象和图中数据可知，同时满足y1＞0，y2＞0时，x的取值范围﹣2＜x＜1．
故答案为：﹣2＜x＜1．
18．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4．∴BC＝＝＝2，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝，CM＝BC×cos30°＝3，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝，∴CD＝CM﹣MD＝3﹣．
故答案是：3﹣．

三．解答题（共10小题，共88分）
19．（一）【解答】解：如图所示：P点即为所求．

（二）【解答】解：（1）4x+5≥6x﹣3，移项得：4x﹣6x≥﹣3﹣5，合并得：﹣2x≥﹣8，
系数化为1，得：x≤4，不等式的解集在数轴上表示为：
；
（2），解不等式①，得x＞﹣2；解不等式②，得x；
原不等式组的解集为﹣2＜x．在数轴上表示为：
．
20．【解答】解：（1）原式＝a（m﹣n）+3b（m﹣n）＝（m﹣n）（a+3b）；
（2）原式＝x（x2﹣8x+16）＝x（x﹣4）2．
21．【解答】解：x2+xy+y2＝（x+y）2＝×1＝．
22．【解答】解：连接BE，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，∵∠CBE＝30°
∴BE＝2CE，∴AE＝2CE．
23．【解答】解：∵a2﹣b2+ac﹣bc＝0，∴（a2﹣b2）+（ac﹣bc）＝0，∴（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a+b+c）＝0，∵a，b，c是△ABC的三边，∴a+b+c≠0，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形．
24．【解答】证明：∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB，∵AE∥BD，∴∠EAC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠EAC，
∵AD⊥AB，CE⊥AC，∴∠BAD＝∠ACE＝90°，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△CAE，∴AD＝CE．
25．【解答】解：（1）把（0，1）代入y1＝x+n得n＝1；把（3，0）代入y2＝﹣x+m得﹣3+m＝0，解得m＝3；
（2）解方程组得，∴P点坐标为（1，2）；
（3）由图可知：当x＞1时，y1＞y2．
26．【解答】解：（1）设每台笔记本电脑x万元，一体机y万元，根据题意得：，
解得，
答：每台笔记本电脑0.5万元，一体机1.5万元；
（2）设购进m台笔记本电脑，则购进（35﹣m）台一体机，总费用为w元，
依题意，得：w＝0.5m+1.5（30﹣m）＝﹣m+45，∵，解得：15≤m≤17
∵m为整数，∴m＝15，16，17，∴有三种购买方案：第一种：购买笔记本电脑15台，购买一体机15台；
第二种：购买笔记本电脑16台，购买一体机14台；第三种：购买笔记本电脑17台，购买一体机13台；
∵﹣1＜0，∴当m＝17时，费用最低，即购买笔记本电脑17台，购买一体机13台时费用最低．
27．【解答】解：（1）x2+y2﹣10x+8y+45＝x2﹣10x+25+y2+8y+16+4＝（x﹣5）2+（y+4）2+4，
∵（x﹣5）2≥0，（y+4）2≥0，∴x2+y2﹣10x+8y+45＝（x﹣5）2+（y+4）2+4≥4，
∴不论x，y为何有理数，x2+y2﹣10x+8y+45的值均为正数，故选：A；
（2）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，∴x2﹣2xy+y2+y2+4y+4＝0，∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0，∴x﹣y＝0，y+2＝0，
∴x＝y＝﹣2，∴；
（3）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，
∵a，b，c是△ABC的三边长，且c是△ABC中最长的边，∴5≤c＜5+4，即5≤c＜9，
即c的取值范围是5≤c＜9．
28．【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
（2）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，

则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11（秒）．
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，

则BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12（秒）．
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．