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福建省三明市建宁县2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷 (含答案)
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这是一份福建省三明市建宁县2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷 (含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省三明市建宁县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）2023年癸卯年（兔年）春节即将来临．春节期间，贴春联，送祝福一直是我们的优良传统．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列不等式的解集中，不包括﹣3的是（ ）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣4 D．x＞﹣4
3．（4分）若等腰三角形两边长分别是2和4，则它的第三条边长是（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．6
4．（4分）a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式的变形正确的是（ ）
A．a+m＞b+m B．﹣a+2＜﹣b+2 C．2a＞2b D．
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的周长为（ ）
A．9 B．12 C．6 D．15
6．（4分）如图，直线y1＝kx+b与直线y2＝mx﹣n交于点P（1，m），则不等式mx﹣n＞kx+b的解集是（ ）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1
7．（4分）已知点P（1，a）与Q（b，2）关于y轴对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，AC＝6，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（4分）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）不等式﹣3x＞1的解集为 ．
12．（4分）已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，用不等式可表示为 ．
13．（4分）如图，将△ABC沿着射线BC向右平移4个单位，平移后所得图形是△DEF，AD＝2CE，那么BC的长是 ．
14．（4分）如图所示图案，绕它的中心至少旋转 后可以和自身重合．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为 ．
16．（4分）若不等式组的解集为﹣1＜x＜3，则（a+2）（b﹣3）的值是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或
17．（8分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（8分）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件： （写出一个条件即可），
求证：△ABC≌△ABD．
19．（8分）解不等式组：，并把解集用数轴表示出来．
20．（8分）某学校八年级学生在参加综合实践活动中，看到工人师傅在材料的边角处
画直角时，有时用“三弧法”，如图所示，方法是：
（1）画线段AB，分别以A、B为圆心，AB为半径画弧，两弧交于C点；（2）在BC延长线上截取CD＝CB；
（3）连接AD，则得到直角∠BAD．你知道这是为什么吗？请说明理由．
21．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）在图中画出对称中心O的位置，并以O为坐标原点，单位长度为1，建立平面直角坐标系．
（2）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（3）在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C1，并结合建立的平面直角坐标系，写出M点的坐标．
22．（10分）如图，已知，线段a，b．
（1）求作等腰三角形ABC，使得AB＝AC＝a，BC＝b（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，点D，E，分别在边AC，AB上，若∠ABC＝n∠ABD，∠ACB＝n∠ACE，求证：BD＝CE．
23．（10分）为庆祝两会的胜利召开，某中学举行了以“两会”为主题的知识竞赛，现决定购买同一品牌的钢笔和自动铅笔作为获奖学生的奖品，到文教店查看定价后发现，购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
（1）求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元；
（2）经协商，文教店给予该校购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅笔的优惠，如果学校需要自动铅笔的支数是钢笔的支数的2倍还多8支，且学校购买钢笔和自动铅笔的总费用少于670元，那么学校最多可购买多少支该品牌的钢笔？
24．（12分）已知直线y1＝ax+b经过点A（3，0），并且与直线y2＝3x交于点B（1，m）．
（1）求直线y1的解析式；
（2）在所给出的平面直角坐标系中，画出直线y1，y2的图象，并结合画出的图象写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围；
（3）若点P（n，1）在△ABO内部（不包括边界），求n的取值范围．
25．（14分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连结AD．
（1）求∠ABD的度数（用含α的式子表示）；
（2）证明：AD⊥BC；
（3）如图2，E为直线AC右侧一点，连结EC，EB，ED，若∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，∠CED＝45°，BC＝2，求△DBE的面积．
2022-2023学年福建省三明市建宁县八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）2023年癸卯年（兔年）春节即将来临．春节期间，贴春联，送祝福一直是我们的优良传统．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可．
【解答】解：根据中心对称图形的定义可得：B选项图为中心对称图形，A，C，D都不是．
故选：B．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，充分理解中心对称图形的定义是解题的关键．
2．（4分）下列不等式的解集中，不包括﹣3的是（ ）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣4 D．x＞﹣4
【分析】不包括﹣3即﹣3不在解集内，由此可得出答案．
【解答】解：根据题意，不包括﹣3即﹣3不在解集内，
只有C选项，x≤﹣3，不包括﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的解集，比较基础，观察各选项即可．
3．（4分）若等腰三角形两边长分别是2和4，则它的第三条边长是（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．6
【分析】分情况讨论：①等腰三角形的腰为2，②等腰三角形的腰为4，分别求解即可．
【解答】解分情况讨论：
①等腰三角形的腰为2，
∵2+2＝4，不能构成三角形，
∴等腰三角形的腰不能为2；
②等腰三角形的腰为4，
∵4+4＞2，能构成三角形，
∴第三边长为4，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键．
4．（4分）a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式的变形正确的是（ ）
A．a+m＞b+m B．﹣a+2＜﹣b+2 C．2a＞2b D．
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵a＜b，
∴a+m＜b+m，故此选项不符合题意；
B、∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴﹣a+2＞﹣b+2，故此选项不符合题意；
C、∵a＜b，
∴2a＜2b，故此选项不符合题意；
D、∵a＜b，
∴﹣，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的周长为（ ）
A．9 B．12 C．6 D．15
【分析】首先利用勾股定理得AB＝5，再根据AB＝AD＝BD＝5可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∵分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，
∴AB＝AD＝BD＝5，
∴△ABD的周长为3×5＝15，
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．（4分）如图，直线y1＝kx+b与直线y2＝mx﹣n交于点P（1，m），则不等式mx﹣n＞kx+b的解集是（ ）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1
【分析】利用函数图象，写出直线y2＝mx﹣n在直线y1＝kx+b上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：不等式mx﹣n＞kx+b的解集为x＞1．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7．（4分）已知点P（1，a）与Q（b，2）关于y轴对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出横坐标互为相反数，纵坐标相同，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（1，a）与Q（b，2）关于y轴对称，
∴b＝﹣1，a＝2，
∴a+b＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，AC＝6，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】连接BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD＝AD，再根据等边对等角求出∠ABD＝∠A＝30°，然后求出∠CBD＝30°，故可得出CD＝BD＝AD，根据AC＝6即可得出结论．
【解答】解：连接BD，∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠CBD＝180°﹣90°﹣30°×2＝30°，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴CD＝BD＝AD，
∵AC＝6，
∴3CD＝6，
∴CD＝2．
故选：B．
【点评】本题考查的是含30角的直角三角形，熟知直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
9．（4分）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】张力平均每天读x页，则李永每天读（x+3）页，根据张力读了一周（7天）还没读完可得不等式7x＜98，根据李永不到一周就已读完可得不等式7（x+3）＞98，再联立两个不等式即可．
【解答】解：设张力平均每天读x页，由题意得：
，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，选准不等号．
10．（4分）如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．
【解答】解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝α，
在△ABC中，∠ABC＝（180°﹣α），
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，
∴β+（180°﹣α）＝90°，
整理得，α＝2β．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）不等式﹣3x＞1的解集为 x＜﹣ ．
【分析】两边都除以﹣3即可得出答案．
【解答】解：∵﹣3x＞1，
∴x＜﹣，
故答案为：x＜﹣．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12．（4分）已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，用不等式可表示为 a＜﹣b＜b＜﹣a ．
【分析】观察数轴，可知：a＜0＜b，且|a|＞b，进而可得出a＜﹣b＜b＜﹣a．
【解答】解：观察数轴，可知：a＜0＜b，且|a|＞b，
∴a＜﹣b＜0＜b＜﹣a，
∴a＜﹣b＜b＜﹣a．
故答案为：a＜﹣b＜b＜﹣a．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式以及数轴，观察数轴，找出a，b之间的关系是解题的关键．
13．（4分）如图，将△ABC沿着射线BC向右平移4个单位，平移后所得图形是△DEF，AD＝2CE，那么BC的长是 6 ．
【分析】根据平行的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将△ABC沿着射线BC向右平移4个单位，平移后所得图形是△DEF，
∴AD＝4，
∵AD＝2CE，
∴CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离．注意数形结合思想的应用．
14．（4分）如图所示图案，绕它的中心至少旋转 120° 后可以和自身重合．
【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了旋转对称图形以及利用旋转设计图案，正确掌握旋转对称图形的性质是解题关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为 3 ．
【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．判断出∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，判断出∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，即BD＝DF，FE＝CE，然后利用等量代换即可求出线段CE的长．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，
∴BD＝DF＝4，FE＝CE，
∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，平行线段性质的理解和掌握，关键利用两直线平行内错角相等．
16．（4分）若不等式组的解集为﹣1＜x＜3，则（a+2）（b﹣3）的值是 ﹣1 ．
【分析】先解不等式组，再利用已知条件列等式，求出a、b 的值，再计算代数式的值．
【解答】解：，
解得：a+2＜x＜b﹣1，
∵不等式组的解集为﹣1＜x＜3，
∴a+2＝﹣1，b﹣1＝3，
∴a＝﹣3，b＝4，
∴（a+2）（b﹣3）
＝（﹣3+2）×（4﹣3）
＝（﹣1）×1
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握多项式乘多项式，解一元一次不等式组的解法．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或
17．（8分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化成1即可求得不等式的解集，再把它的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：去分母得：2（x﹣2）＞5（x+4）﹣30，
去括号得：2x﹣4＞5x+20﹣30，
移项得：2x﹣5x＞20﹣30+4，
合并同类项得﹣3x＞﹣6，
解得：x＜2，
不等式的解集在数轴上表示如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
18．（8分）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件： AC＝AD（答案不唯一） （写出一个条件即可），
求证：△ABC≌△ABD．
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【解答】解：添加条件：AC＝AD（答案不唯一），
证明：∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ABC和△ABD是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．（8分）解不等式组：，并把解集用数轴表示出来．
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＜1，
不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，
在数轴上表示为：
．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确计算出两个不等式组的解集．
20．（8分）某学校八年级学生在参加综合实践活动中，看到工人师傅在材料的边角处
画直角时，有时用“三弧法”，如图所示，方法是：
（1）画线段AB，分别以A、B为圆心，AB为半径画弧，两弧交于C点；（2）在BC延长线上截取CD＝CB；
（3）连接AD，则得到直角∠BAD．你知道这是为什么吗？请说明理由．
【分析】由作图得AC＝BC＝AB＝CD，再根据等边对等角和三角形的内角和证明．
【解答】解：由作图得：AC＝BC＝AB＝CD，
∴∠CAB＝∠CBA，∠D＝∠CAD，
∵∠CAD+∠D+∠CBA+∠CAB＝180°，
∴2（∠DAC+∠BAC）＝180°，
∴∠DAC+∠CAB＝90°，
即：∠BAD＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握直角三角形的判定定理是解题的关键．
21．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）在图中画出对称中心O的位置，并以O为坐标原点，单位长度为1，建立平面直角坐标系．
（2）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（3）在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C1，并结合建立的平面直角坐标系，写出M点的坐标．
【分析】（1）连接BF，AD，交点即为对称中心O，再建立平面直角坐标系即可．
（2）根据平移的性质作图即可．
（3）由图可得，△A1B1C1为等腰直角三角形，取格点M，使A1M⊥B1C1即可，进而可得点M的坐标．
【解答】解：（1）如图，连接BF，AD，交于点O，
则点O即为所求．
建立平面直角坐标系如图所示．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
（3）由图可知，A1B1＝A1C1，且∠C1A1B1＝90°，
∴△A1B1C1为等腰直角三角形，
如图，点M即为所求．
M点的坐标为（3，﹣2）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、中心对称、等腰直角三角形的性质，熟练掌握平移和中心对称的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
22．（10分）如图，已知，线段a，b．
（1）求作等腰三角形ABC，使得AB＝AC＝a，BC＝b（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，点D，E，分别在边AC，AB上，若∠ABC＝n∠ABD，∠ACB＝n∠ACE，求证：BD＝CE．
【分析】（1）先在射线BP上截取BC＝b，然后分别以B点、C点为圆心，a为半径画弧，两弧相交于点A，则△ABC满足条件；
（2）利用等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，再证明∠ABD＝∠ACE，然后证明△ABD≌△ACE，从而得到BD＝CE．
【解答】（1）解：如图，△ABC即为所求；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC＝n∠ABD，∠ACB＝n∠ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD＝CE．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质．
23．（10分）为庆祝两会的胜利召开，某中学举行了以“两会”为主题的知识竞赛，现决定购买同一品牌的钢笔和自动铅笔作为获奖学生的奖品，到文教店查看定价后发现，购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
（1）求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元；
（2）经协商，文教店给予该校购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅笔的优惠，如果学校需要自动铅笔的支数是钢笔的支数的2倍还多8支，且学校购买钢笔和自动铅笔的总费用少于670元，那么学校最多可购买多少支该品牌的钢笔？
【分析】（1）设该品牌的钢笔每支的定价是x元，自动铅笔每支的定价是y元，根据“购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该班级可以购买m支该品牌的钢笔，则可以购买（2m+8﹣m）支该品牌的自动铅笔，利用总价＝单价×数量，结合总价少于670元，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该品牌的钢笔每支的定价是x元，自动铅笔每支的定价是y元，
根据题意得，
解得．
答：该品牌的钢笔每支的定价是25元，自动铅笔每支的定价是5元；
（2）设该校可以购买m支该品牌的钢笔，则可以购买（2m+8）支该品牌的自动铅笔，
根据题意，得：25m+5（2m+8﹣m）＜670，
解得：m＜21，
又∵m为正整数，
m的最大值为20．
答：该校最多可购买20支该品牌的钢笔．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（12分）已知直线y1＝ax+b经过点A（3，0），并且与直线y2＝3x交于点B（1，m）．
（1）求直线y1的解析式；
（2）在所给出的平面直角坐标系中，画出直线y1，y2的图象，并结合画出的图象写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围；
（3）若点P（n，1）在△ABO内部（不包括边界），求n的取值范围．
【分析】（1）先把B（1，m）代入y2＝3x求出m得到B（1，3），然后利用待定系数法求直线y1＝kx+b的解析式；
（2）观察函数图象，写出直线y1＝ax+b在直线y2＝3x上方所对应的自变量的范围即可；
（3）计算函数值为1所对应的自变量的值，从而得到n的范围．
【解答】解：（1）把B（1，m）代入y2＝3x得m＝3，
则B（1，3），
把A（3，0），B（1，3）代入y＝ax+b
得，解得；
∴直线y1的解析式为；
（2）由图象可得，当x＜1时，y1＞y2；
（3）当y＝1时，3x＝1，解得 ，
当y＝1时，，解得 ，
所以点P（n，1）在△ABO内部（不包括边界），n的取值范围为 ．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
25．（14分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连结AD．
（1）求∠ABD的度数（用含α的式子表示）；
（2）证明：AD⊥BC；
（3）如图2，E为直线AC右侧一点，连结EC，EB，ED，若∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，∠CED＝45°，BC＝2，求△DBE的面积．
【分析】（1）由等腰三角形的性质与三角形内角和定理可得∠ABC的大小；
（2）连接CD，由旋转的性质可得BC＝BD，∠DBC＝60°，所以证出△BCD为等边三角形，于是BD＝CD，再根据SSS可得△ABD≌△ACD，得出∠BAD＝∠CAD，由等腰三角形的性质可得出结论；
（3）连结CD，证出∠DBE＝45°，∠BEC＝30°，过点D作DH⊥BE，垂足为H，求出BH的长，根据三角形面积公式可得出答案．
【解答】（1）解：∵线段BC绕点B逆时针旋转60° 得到线段BD，
∴∠DBC＝60°，
∵AB＝AC，∠BAC＝α，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠ABC＝∠ACB＝a，
∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，
∴∠ABD＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α；
（2）证明：连接CD，
∵线段BC绕B逆时针旋转 60° 得到线段BD，
∴BC＝BD，∠DBC＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD （SSS），
∴∠BAD＝∠CAD
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC；
（3）解：连结CD，
∵∠BCD＝60°∠BCE＝150°，
∴∠DCE＝150°﹣60°＝90°，
∴∠DEC＝45°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DC＝CE＝BC，
∴∠CBE＝∠BEC
∵∠BCE＝150°，
∴∠CEB＝∠EBC＝，
∴∠DBE＝∠DBC﹣∠CBE＝60°﹣15＝45°，∠BEC＝∠DEC﹣∠BCE＝45°﹣15°＝30°，
过点D作DH⊥BE，垂足为H，
∴BH＝DH，DE＝2DH，
在Rt△BDH和Rt△DEH中．
BD2＝BH2+DH2，ED2＝EH2+DH2，BC＝BD＝2，
∴BH＝DH＝EH＝，
∴BE＝DH+EH＝+，
∴S△DBE＝（+）×＝1+．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质以及等边的性质，熟练掌握定理及性质是解题的关键．
2022-2023学年福建省三明市建宁县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）2023年癸卯年（兔年）春节即将来临．春节期间，贴春联，送祝福一直是我们的优良传统．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列不等式的解集中，不包括﹣3的是（ ）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣4 D．x＞﹣4
3．（4分）若等腰三角形两边长分别是2和4，则它的第三条边长是（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．6
4．（4分）a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式的变形正确的是（ ）
A．a+m＞b+m B．﹣a+2＜﹣b+2 C．2a＞2b D．
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的周长为（ ）
A．9 B．12 C．6 D．15
6．（4分）如图，直线y1＝kx+b与直线y2＝mx﹣n交于点P（1，m），则不等式mx﹣n＞kx+b的解集是（ ）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1
7．（4分）已知点P（1，a）与Q（b，2）关于y轴对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，AC＝6，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（4分）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）不等式﹣3x＞1的解集为 ．
12．（4分）已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，用不等式可表示为 ．
13．（4分）如图，将△ABC沿着射线BC向右平移4个单位，平移后所得图形是△DEF，AD＝2CE，那么BC的长是 ．
14．（4分）如图所示图案，绕它的中心至少旋转 后可以和自身重合．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为 ．
16．（4分）若不等式组的解集为﹣1＜x＜3，则（a+2）（b﹣3）的值是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或
17．（8分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（8分）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件： （写出一个条件即可），
求证：△ABC≌△ABD．
19．（8分）解不等式组：，并把解集用数轴表示出来．
20．（8分）某学校八年级学生在参加综合实践活动中，看到工人师傅在材料的边角处
画直角时，有时用“三弧法”，如图所示，方法是：
（1）画线段AB，分别以A、B为圆心，AB为半径画弧，两弧交于C点；（2）在BC延长线上截取CD＝CB；
（3）连接AD，则得到直角∠BAD．你知道这是为什么吗？请说明理由．
21．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）在图中画出对称中心O的位置，并以O为坐标原点，单位长度为1，建立平面直角坐标系．
（2）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（3）在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C1，并结合建立的平面直角坐标系，写出M点的坐标．
22．（10分）如图，已知，线段a，b．
（1）求作等腰三角形ABC，使得AB＝AC＝a，BC＝b（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，点D，E，分别在边AC，AB上，若∠ABC＝n∠ABD，∠ACB＝n∠ACE，求证：BD＝CE．
23．（10分）为庆祝两会的胜利召开，某中学举行了以“两会”为主题的知识竞赛，现决定购买同一品牌的钢笔和自动铅笔作为获奖学生的奖品，到文教店查看定价后发现，购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
（1）求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元；
（2）经协商，文教店给予该校购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅笔的优惠，如果学校需要自动铅笔的支数是钢笔的支数的2倍还多8支，且学校购买钢笔和自动铅笔的总费用少于670元，那么学校最多可购买多少支该品牌的钢笔？
24．（12分）已知直线y1＝ax+b经过点A（3，0），并且与直线y2＝3x交于点B（1，m）．
（1）求直线y1的解析式；
（2）在所给出的平面直角坐标系中，画出直线y1，y2的图象，并结合画出的图象写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围；
（3）若点P（n，1）在△ABO内部（不包括边界），求n的取值范围．
25．（14分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连结AD．
（1）求∠ABD的度数（用含α的式子表示）；
（2）证明：AD⊥BC；
（3）如图2，E为直线AC右侧一点，连结EC，EB，ED，若∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，∠CED＝45°，BC＝2，求△DBE的面积．
2022-2023学年福建省三明市建宁县八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）2023年癸卯年（兔年）春节即将来临．春节期间，贴春联，送祝福一直是我们的优良传统．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可．
【解答】解：根据中心对称图形的定义可得：B选项图为中心对称图形，A，C，D都不是．
故选：B．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，充分理解中心对称图形的定义是解题的关键．
2．（4分）下列不等式的解集中，不包括﹣3的是（ ）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣4 D．x＞﹣4
【分析】不包括﹣3即﹣3不在解集内，由此可得出答案．
【解答】解：根据题意，不包括﹣3即﹣3不在解集内，
只有C选项，x≤﹣3，不包括﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的解集，比较基础，观察各选项即可．
3．（4分）若等腰三角形两边长分别是2和4，则它的第三条边长是（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．6
【分析】分情况讨论：①等腰三角形的腰为2，②等腰三角形的腰为4，分别求解即可．
【解答】解分情况讨论：
①等腰三角形的腰为2，
∵2+2＝4，不能构成三角形，
∴等腰三角形的腰不能为2；
②等腰三角形的腰为4，
∵4+4＞2，能构成三角形，
∴第三边长为4，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键．
4．（4分）a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式的变形正确的是（ ）
A．a+m＞b+m B．﹣a+2＜﹣b+2 C．2a＞2b D．
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵a＜b，
∴a+m＜b+m，故此选项不符合题意；
B、∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴﹣a+2＞﹣b+2，故此选项不符合题意；
C、∵a＜b，
∴2a＜2b，故此选项不符合题意；
D、∵a＜b，
∴﹣，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的周长为（ ）
A．9 B．12 C．6 D．15
【分析】首先利用勾股定理得AB＝5，再根据AB＝AD＝BD＝5可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∵分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，
∴AB＝AD＝BD＝5，
∴△ABD的周长为3×5＝15，
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．（4分）如图，直线y1＝kx+b与直线y2＝mx﹣n交于点P（1，m），则不等式mx﹣n＞kx+b的解集是（ ）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1
【分析】利用函数图象，写出直线y2＝mx﹣n在直线y1＝kx+b上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：不等式mx﹣n＞kx+b的解集为x＞1．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7．（4分）已知点P（1，a）与Q（b，2）关于y轴对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出横坐标互为相反数，纵坐标相同，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（1，a）与Q（b，2）关于y轴对称，
∴b＝﹣1，a＝2，
∴a+b＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，AC＝6，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】连接BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD＝AD，再根据等边对等角求出∠ABD＝∠A＝30°，然后求出∠CBD＝30°，故可得出CD＝BD＝AD，根据AC＝6即可得出结论．
【解答】解：连接BD，∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠CBD＝180°﹣90°﹣30°×2＝30°，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴CD＝BD＝AD，
∵AC＝6，
∴3CD＝6，
∴CD＝2．
故选：B．
【点评】本题考查的是含30角的直角三角形，熟知直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
9．（4分）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】张力平均每天读x页，则李永每天读（x+3）页，根据张力读了一周（7天）还没读完可得不等式7x＜98，根据李永不到一周就已读完可得不等式7（x+3）＞98，再联立两个不等式即可．
【解答】解：设张力平均每天读x页，由题意得：
，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，选准不等号．
10．（4分）如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．
【解答】解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝α，
在△ABC中，∠ABC＝（180°﹣α），
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，
∴β+（180°﹣α）＝90°，
整理得，α＝2β．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）不等式﹣3x＞1的解集为 x＜﹣ ．
【分析】两边都除以﹣3即可得出答案．
【解答】解：∵﹣3x＞1，
∴x＜﹣，
故答案为：x＜﹣．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12．（4分）已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，用不等式可表示为 a＜﹣b＜b＜﹣a ．
【分析】观察数轴，可知：a＜0＜b，且|a|＞b，进而可得出a＜﹣b＜b＜﹣a．
【解答】解：观察数轴，可知：a＜0＜b，且|a|＞b，
∴a＜﹣b＜0＜b＜﹣a，
∴a＜﹣b＜b＜﹣a．
故答案为：a＜﹣b＜b＜﹣a．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式以及数轴，观察数轴，找出a，b之间的关系是解题的关键．
13．（4分）如图，将△ABC沿着射线BC向右平移4个单位，平移后所得图形是△DEF，AD＝2CE，那么BC的长是 6 ．
【分析】根据平行的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将△ABC沿着射线BC向右平移4个单位，平移后所得图形是△DEF，
∴AD＝4，
∵AD＝2CE，
∴CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离．注意数形结合思想的应用．
14．（4分）如图所示图案，绕它的中心至少旋转 120° 后可以和自身重合．
【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了旋转对称图形以及利用旋转设计图案，正确掌握旋转对称图形的性质是解题关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为 3 ．
【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．判断出∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，判断出∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，即BD＝DF，FE＝CE，然后利用等量代换即可求出线段CE的长．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，
∴BD＝DF＝4，FE＝CE，
∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，平行线段性质的理解和掌握，关键利用两直线平行内错角相等．
16．（4分）若不等式组的解集为﹣1＜x＜3，则（a+2）（b﹣3）的值是 ﹣1 ．
【分析】先解不等式组，再利用已知条件列等式，求出a、b 的值，再计算代数式的值．
【解答】解：，
解得：a+2＜x＜b﹣1，
∵不等式组的解集为﹣1＜x＜3，
∴a+2＝﹣1，b﹣1＝3，
∴a＝﹣3，b＝4，
∴（a+2）（b﹣3）
＝（﹣3+2）×（4﹣3）
＝（﹣1）×1
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握多项式乘多项式，解一元一次不等式组的解法．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或
17．（8分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化成1即可求得不等式的解集，再把它的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：去分母得：2（x﹣2）＞5（x+4）﹣30，
去括号得：2x﹣4＞5x+20﹣30，
移项得：2x﹣5x＞20﹣30+4，
合并同类项得﹣3x＞﹣6，
解得：x＜2，
不等式的解集在数轴上表示如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
18．（8分）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件： AC＝AD（答案不唯一） （写出一个条件即可），
求证：△ABC≌△ABD．
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【解答】解：添加条件：AC＝AD（答案不唯一），
证明：∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ABC和△ABD是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．（8分）解不等式组：，并把解集用数轴表示出来．
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＜1，
不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，
在数轴上表示为：
．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确计算出两个不等式组的解集．
20．（8分）某学校八年级学生在参加综合实践活动中，看到工人师傅在材料的边角处
画直角时，有时用“三弧法”，如图所示，方法是：
（1）画线段AB，分别以A、B为圆心，AB为半径画弧，两弧交于C点；（2）在BC延长线上截取CD＝CB；
（3）连接AD，则得到直角∠BAD．你知道这是为什么吗？请说明理由．
【分析】由作图得AC＝BC＝AB＝CD，再根据等边对等角和三角形的内角和证明．
【解答】解：由作图得：AC＝BC＝AB＝CD，
∴∠CAB＝∠CBA，∠D＝∠CAD，
∵∠CAD+∠D+∠CBA+∠CAB＝180°，
∴2（∠DAC+∠BAC）＝180°，
∴∠DAC+∠CAB＝90°，
即：∠BAD＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握直角三角形的判定定理是解题的关键．
21．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）在图中画出对称中心O的位置，并以O为坐标原点，单位长度为1，建立平面直角坐标系．
（2）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（3）在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C1，并结合建立的平面直角坐标系，写出M点的坐标．
【分析】（1）连接BF，AD，交点即为对称中心O，再建立平面直角坐标系即可．
（2）根据平移的性质作图即可．
（3）由图可得，△A1B1C1为等腰直角三角形，取格点M，使A1M⊥B1C1即可，进而可得点M的坐标．
【解答】解：（1）如图，连接BF，AD，交于点O，
则点O即为所求．
建立平面直角坐标系如图所示．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
（3）由图可知，A1B1＝A1C1，且∠C1A1B1＝90°，
∴△A1B1C1为等腰直角三角形，
如图，点M即为所求．
M点的坐标为（3，﹣2）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、中心对称、等腰直角三角形的性质，熟练掌握平移和中心对称的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
22．（10分）如图，已知，线段a，b．
（1）求作等腰三角形ABC，使得AB＝AC＝a，BC＝b（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，点D，E，分别在边AC，AB上，若∠ABC＝n∠ABD，∠ACB＝n∠ACE，求证：BD＝CE．
【分析】（1）先在射线BP上截取BC＝b，然后分别以B点、C点为圆心，a为半径画弧，两弧相交于点A，则△ABC满足条件；
（2）利用等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，再证明∠ABD＝∠ACE，然后证明△ABD≌△ACE，从而得到BD＝CE．
【解答】（1）解：如图，△ABC即为所求；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC＝n∠ABD，∠ACB＝n∠ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD＝CE．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质．
23．（10分）为庆祝两会的胜利召开，某中学举行了以“两会”为主题的知识竞赛，现决定购买同一品牌的钢笔和自动铅笔作为获奖学生的奖品，到文教店查看定价后发现，购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
（1）求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元；
（2）经协商，文教店给予该校购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅笔的优惠，如果学校需要自动铅笔的支数是钢笔的支数的2倍还多8支，且学校购买钢笔和自动铅笔的总费用少于670元，那么学校最多可购买多少支该品牌的钢笔？
【分析】（1）设该品牌的钢笔每支的定价是x元，自动铅笔每支的定价是y元，根据“购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该班级可以购买m支该品牌的钢笔，则可以购买（2m+8﹣m）支该品牌的自动铅笔，利用总价＝单价×数量，结合总价少于670元，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该品牌的钢笔每支的定价是x元，自动铅笔每支的定价是y元，
根据题意得，
解得．
答：该品牌的钢笔每支的定价是25元，自动铅笔每支的定价是5元；
（2）设该校可以购买m支该品牌的钢笔，则可以购买（2m+8）支该品牌的自动铅笔，
根据题意，得：25m+5（2m+8﹣m）＜670，
解得：m＜21，
又∵m为正整数，
m的最大值为20．
答：该校最多可购买20支该品牌的钢笔．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（12分）已知直线y1＝ax+b经过点A（3，0），并且与直线y2＝3x交于点B（1，m）．
（1）求直线y1的解析式；
（2）在所给出的平面直角坐标系中，画出直线y1，y2的图象，并结合画出的图象写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围；
（3）若点P（n，1）在△ABO内部（不包括边界），求n的取值范围．
【分析】（1）先把B（1，m）代入y2＝3x求出m得到B（1，3），然后利用待定系数法求直线y1＝kx+b的解析式；
（2）观察函数图象，写出直线y1＝ax+b在直线y2＝3x上方所对应的自变量的范围即可；
（3）计算函数值为1所对应的自变量的值，从而得到n的范围．
【解答】解：（1）把B（1，m）代入y2＝3x得m＝3，
则B（1，3），
把A（3，0），B（1，3）代入y＝ax+b
得，解得；
∴直线y1的解析式为；
（2）由图象可得，当x＜1时，y1＞y2；
（3）当y＝1时，3x＝1，解得 ，
当y＝1时，，解得 ，
所以点P（n，1）在△ABO内部（不包括边界），n的取值范围为 ．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
25．（14分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连结AD．
（1）求∠ABD的度数（用含α的式子表示）；
（2）证明：AD⊥BC；
（3）如图2，E为直线AC右侧一点，连结EC，EB，ED，若∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，∠CED＝45°，BC＝2，求△DBE的面积．
【分析】（1）由等腰三角形的性质与三角形内角和定理可得∠ABC的大小；
（2）连接CD，由旋转的性质可得BC＝BD，∠DBC＝60°，所以证出△BCD为等边三角形，于是BD＝CD，再根据SSS可得△ABD≌△ACD，得出∠BAD＝∠CAD，由等腰三角形的性质可得出结论；
（3）连结CD，证出∠DBE＝45°，∠BEC＝30°，过点D作DH⊥BE，垂足为H，求出BH的长，根据三角形面积公式可得出答案．
【解答】（1）解：∵线段BC绕点B逆时针旋转60° 得到线段BD，
∴∠DBC＝60°，
∵AB＝AC，∠BAC＝α，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠ABC＝∠ACB＝a，
∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，
∴∠ABD＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α；
（2）证明：连接CD，
∵线段BC绕B逆时针旋转 60° 得到线段BD，
∴BC＝BD，∠DBC＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD （SSS），
∴∠BAD＝∠CAD
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC；
（3）解：连结CD，
∵∠BCD＝60°∠BCE＝150°，
∴∠DCE＝150°﹣60°＝90°，
∴∠DEC＝45°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DC＝CE＝BC，
∴∠CBE＝∠BEC
∵∠BCE＝150°，
∴∠CEB＝∠EBC＝，
∴∠DBE＝∠DBC﹣∠CBE＝60°﹣15＝45°，∠BEC＝∠DEC﹣∠BCE＝45°﹣15°＝30°，
过点D作DH⊥BE，垂足为H，
∴BH＝DH，DE＝2DH，
在Rt△BDH和Rt△DEH中．
BD2＝BH2+DH2，ED2＝EH2+DH2，BC＝BD＝2，
∴BH＝DH＝EH＝，
∴BE＝DH+EH＝+，
∴S△DBE＝（+）×＝1+．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质以及等边的性质，熟练掌握定理及性质是解题的关键．
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