2023年河南省信阳市息县中考数学适应性试卷（二）（含解析）

2023年河南省信阳市息县中考数学适应性试卷（二）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  中国在年人口达到亿人，此数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  数据，，，，，的平均数和众数是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4.  下列几何体的三视图中一定没有三角形的是(    )

A. 圆锥 B. 三棱锥 C. 四棱锥 D. 圆柱

5.  不等式组的整数解的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列函数的图象与坐标轴没有交点的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，等腰的底角为，以为圆心，长为半径画弧，与底边交于点，连接，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，，为的中位线，下列添加的条件不能使四边形为菱形的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在中，，点，分别从点，出发，以每秒个单位长度的速度向，移动，当点到达点时，点也停止移动，的面积随时间的变化情况如图所示，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请写出一个图象经过点的二次函数的表达式：______ ．

12.  关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．

13.  某同学手中有张扑克牌，张扑克牌上的数字依次为，，，，，若从中同时取出两张牌，则牌面数字均为偶数的概率是______ ．

14.  如图，等边的边长为，的内切圆与三边的切点分别为，，，以点为圆心，为半径作，则阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，边长为的正方形的边的中点为，正方形所在平面内有一个到点的距离始终为的动点，以为直角边作等腰直角，则斜边的最大值为______ ，最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
现有名同学参加解方程竞赛，竞赛同时开始，完成后即可交卷，同分数时用时短的排名靠前下表是以用时进行分组的频数分布表：

根据以上信息，回答下列问题．
频数分布表中 ______ ；
本次竞赛中，完成试卷用时的中位数落在第______ 组填序号；
请计算用时不到分钟的人数占参赛总人数的百分比．

18.  本小题分
如图，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面组数据：

该同学经过分析数据发现，不同重物的质量数值加上后得到的数值与对应的距离数值成反比请你根据数据求出 ______ ．
在上面组数据的基础上，该同学以的值作为一个点的横坐标，的值作为该点的纵坐标，得到个点的坐标．
将这个点的坐标填入下表；
将这个点描在如图所示的平面直角坐标系中，并用平滑曲线连接；
给出所得曲线对应的函数表达式．

要使活塞到筒底的距离大于，请直接写出在托盘中放入重物的质量的取值范围．

19.  本小题分
如图，小刚和小敏发现天空中悬停了一个大型飞艇，他们想测量飞艇的悬停高度小刚在处测得飞艇的仰角为，小敏在处测得飞艇的仰角为，已知，和飞艇处在同一个平面内，测得之间相距，求飞艇距离地面的高度精确到整数参考数据：，，

20.  本小题分
年春节，各地暂停的庙会重新焕发了生机某摊贩的货品中有，两款兔玩偶受到消费者的喜爱，款玩偶和款玩偶进货单价之和为元，该摊贩购进款玩偶个，款玩偶个共花费元．
款玩偶和款玩偶的进货单价分别是多少？
摊主发现款玩偶售价为元时，每小时可以卖出个摊主为扩大销量，决定降价销售若售价每降低元，则每小时多卖出个若不考虑库存，按当天摆摊小时计算，试求当天出售款玩偶获得利润最大为多少．

21.  本小题分
如图，某滑雪比赛滑道分为四段区域，运动员从助滑区的台端点出发，在助滑道上获得高速度，至跳台区依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，最后落在着陆区斜坡上，并在终点区上停留等待裁判根据运动员的飞行距离和动作完美情况来评分．
已知着陆区斜坡的坡度均匀，的垂直高度为，水平距离为某位运动员的一次动作中，在离开跳台末端点后水平前进了时，高度恰好升高了达到抛物线的最高点．

请你建立合适的平面直角坐标系，并写出抛物线的表达式；
运动员在着陆区斜坡上着陆，可以利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若在终点区上着陆，则会增加受伤风险请你判断这位运动员此次动作会在哪个区域着陆，并说明理由．

22.  本小题分
如图，已知与外一点，请利用直尺和圆规按要求作图：
连接，利用尺规作出的垂直平分线，与交于点；
以为圆心，长为半径作，与交于，两点；
连接，．
根据所作图形，完成下列题目：
求证：是的切线；
若的半径为，过作的平行线，与所在直线相交于点，恰好是的切线，请求出的长．

23.  本小题分
某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“菱形折叠”研究活动．
第一步：每人制作内角不同，边长都为的菱形若干个，四个顶点为，，，为保持一致，活动中，小组内制作图形各点名称命名规则相同；
第二步：对折找到一条对角线并展开；
第三步：将边折叠到对角线所在直线上，顶点的落点为，所得折痕与边交于点；
第四步：测量，，的度数．

小组长在研究大家测得的数据后仔细分析，发现可以通过的度数，计算得到和的度数如图，若一位同学制作的菱形中，请你给出此时和的度数： ______ ， ______
若，请探究的度数为多少时，为等腰三角形，并说明理由；
请直接写出为直角三角形时的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
故选：．
根据实数的大小得出结论即可．
本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
这组数据的平均数为：；
出现了次，次数最多，所以众数为．
故选：．
根据定义分别求出这组数据的平均数、众数即可．
本题考查了平均数、众数的定义，平均数是所有数据的和除以数据总数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

4.【答案】 

【解析】解：、正立的圆锥的主视图和左视图都是三角形，故本选项不符合题意；
B、正立的三棱锥的主视图和左视图都是三角形，故本选项不符合题意；
C、正立的四棱锥的主视图和左视图都是三角形，故本选项不符合题意；
D、正立的圆柱的主视图和左视图都是矩形、俯视图是圆，故本选项符合题意．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答即可．
本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的整数解是，，，，共个，
故选：．
先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
本题考查了一元一次不等式的整数解和解一元一次不等式组，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据一次函数、二次函数和反比例函数的图象性质，只有反比例函数的图象与坐标轴没有交点，
只有是反比例函数，
只有与坐标轴没有交点．
故选：．
根据一次函数、二次函数和反比例函数的图象性质，只有反比例函数的图象与坐标轴没有交点，即可得出答案．
此题主要考查了一次函数、二次函数和反比例函数的图象性质，熟练区分三种函数的区别是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：等腰的底角为，
，
，
以为圆心，长为半径画弧，与底边交于点，
，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，为的中位线，
，，，，
四边形是平行四边形，
A、，
，
平行四边形为菱形，故选项A不符合题意；
B、，
，
平行四边形为菱形，故选项B不符合题意；
C、，四边形是平行四边形，
平行四边形为矩形，故选项C符合题意；
D、，
，
，
平行四边形为菱形，故选项D不符合题意；
故选：．
先由三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质以及矩形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；

发现规律：旋转次一个循环，
，
则第次旋转结束时，点的坐标为
故选：．
探究规律，利用规律解决问题即可．
本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．
 

10.【答案】 

【解析】解：中，，
是等腰直角三角形，
，
根据题意和图形可知，当点到达点时，的面积最大，
此时，，
过点作于点，如图所示：

，，
，
，
解得或舍去，
，
故选：．
结合图形，当点到达点时，的面积最大，然后利用三角形的面积公式求．
本题考查动点问题的函数图象，等腰直角三角形的性质，结合图形，读取图中信息是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设抛物线的解析式为，
将代入得，
解得，
．
故答案为：．
设抛物线的解析式为，将代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

12.【答案】 

【解析】解：方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式”是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中牌面数字均为偶数的结果有种，
牌面数字均为偶数的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中牌面数字均为偶数的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，，，
是等边三角形，是它的内切圆，
，，，
，
阴影部分的面积为，
故答案为：．
连接，，，根据等边三角形的性质和切线的性质得到，，，求得，根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．
 

15.【答案】  

【解析】解：如图，连接，
点是的中点，
，
，
正方形所在平面内有一个到点的距离始终为的动点，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当点在的延长线上时，有最大值，最大值为，则的最大值为，
当点在线段上时，有最小值，最小值为，则的最小值为，
故答案为：，．
由勾股定理可求的长，由题意可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，即可求解．
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，找到点的运动轨迹是解题的关键．
 

16.【答案】解：

；




． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：频数分布表中，
故答案为：；
把名同学的完成试卷用时从小到大排列，排在中间的两个数均落在第组，故本次竞赛中，完成试卷用时的中位数落在第组．
故答案为：；
，
用时不到分钟的人数占参赛总人数的．
用总数分别减去其他五组的频数可得的值；
根据中位数的定义解答即可；
利用用时不到分钟的人数除以总人数可得答案．
本题考查了频数分布表以及中位数，掌握中位数的定义是解答本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：设，
把代入得，，
，
，
把代入得，，
，
故答案为：；
如图，

反比例函数的图象如图所示；

所得曲线对应的函数表达式为；
当时，即，
解得，
重物的质量的取值范围为．
设，把代入得到，把代入即可得到结论；
根据题意求得，的值即可得到结论；根据题意画出反比例函数的图象即可；
把，的对应值代入反比例函数的解析式即可得到结论；
根据题意得到关于的不等式，解不等式即可得到结论．
本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，函数的图象，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
 

19.【答案】解：过作于，
设，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
解得，
答：飞艇距离地面的高度约为． 

【解析】过作于，设，解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：设款玩偶和款玩偶的进货单价分别是元，元，
根据题意得，
解得，
答：款玩偶和款玩偶的进货单价分别是元，元；
设款玩偶每天的销售利润为元，每个售价为元，
根据题意得，，
，
当时，取最大值，
答：玩偶售价为元时，每天的销售利润最大是元． 

【解析】设款玩偶和款玩偶的进货单价分别是元，元，根据款玩偶和款玩偶进货单价之和为元，该摊贩购进款玩偶个，款玩偶个共花费元列方程组即可得到结论；
设款玩偶每天的销售利润为元，每个售价为元，根据题意列出函数解析式，由二次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组及二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
 

21.【答案】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

根据题意可得：，，且为抛物线的顶点坐标，
设抛物线的表达式为，
抛物线过点，
，
解得：，
抛物线的表达式为；
这位运动员此次动作会在斜坡上着陆．理由如下：
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立得：，
解得：或，
抛物线与直线交于点和，
，
这位运动员此次动作会在斜坡上着陆． 

【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据题意得，，且为抛物线的顶点坐标，设抛物线的表达式为，将点的坐标代入解析式中，求出值即可；
设直线的解析式为，根据待定系数法求出其解析式为，联立抛物线解析式和直线的解析式，可求出它们的交点坐标，根据交点坐标即可判断．
本题主要考查二次函数的应用、二次函数与一次函数的交点坐标，解题关键是恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
 

22.【答案】解：如图，

证明：连接，如图，
为的垂直平分线与的交点，
，
为的直径，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：过点作于点，如图，
是的切线，
，
，
，
四边形为正方形，
，
点的中点，
，
，
在中，，
． 

【解析】根据几何语言画出对应的几何图形；
连接，如图，由于为的直径，根据圆周角定理得到，则，然后根据切线的判定方法可得到结论；
过点作于点，如图，根据切线的性质得到，再证明四边形为正方形得到，由于点的中点，所以，则，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的判定与性质．
 

23.【答案】   

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
由折叠得，
，
故答案为：，；
设，
，
，
，
，
当时，，
，解得，
的度数为时，为等腰三角形；
当时，，
，解得不合题意，舍去；
当时，，
，解得不合题意，舍去；
综上，的度数为时，为等腰三角形；
时，如图，

，
，
由折叠得，，
菱形是正方形，
，
；
时，如图，

，
，
设，
，
由折叠得，，
，
，
解得，
，
，，
，
，
解得，
．
综上，为直角三角形时的长为或．
根据菱形的性质和折叠的性质得，，由邻补角的性质以及三角形外角的性质即可求解；
设，利用的方法可得，，由邻补角的性质以及三角形外角的性质得，，根据等腰三角形的性质即可求解；
分两种情况：时，时，根据直角三角形的性质即可求解．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，翻折变换等知识，解题的关键是分类思想的运用．