专题05 导数及其应用-学易金卷：高考数学一模试题分项汇编（上海专用）

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一模汇编
一、填空题
1.【静安5】已知函数，则函数的导数____________．
【答案】
2.【青浦6】已知函数，则在点处的切线的倾斜角为_______.
【答案】 【提示】，倾斜角为
3.【金山6】已知，则曲线在处的切线方程是___________.
【答案】 【提示】，，
4.【虹口7】设曲线的斜率为3的切线为l，则l的方程为_________.
【答案】 【提示】
5.【闵行8】若曲线和直线的某一条平行线相切，则切点的横坐标是______．
【答案】1 【提示】，令，解得
6.【崇明9】已知函数，则曲线在点处的切线方程是____________.
【答案】 【提示】曲线在点处的切线的斜率为
7.【奉贤12】已知某商品的成本和产量满足关系，该商品的销售单价和产量满足关系式，则当产量等于__________时，利润最大.【答案】200
【解析】利润
，当时，；时，；
即在上单调递增，上单调递减，所以当时，利润最大
8.【嘉定12】已知抛物线，动点A自原点出发，沿着轴正方向向上匀速运动，速度大小为. 过A作轴的垂线交抛物线于B点，再过B作轴的垂线交轴于C点. 当A运动至时，点C的瞬时速度的大小为___________.【答案】 【分析】根据进行求解.
【解析】不妨取点B为第一象限的点，则点C位于x轴正半轴，
由可得：，，
当A运动至时，B点的纵坐标为100，将其代入上式，
，即点的瞬时速度的大小为.
9.【宝山12】对于正整数n，设是关于x的方程的实数根，记，其中表示不超过x的最大整数，则 .
【答案】2021
【解析】设，则，
当时，，因此为严格增函数，
又时，
，且，所以当时，方程有唯一的实数根，且，所以，
因此
10.【静安12】已知函数，若只有一个零点，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
①当时，令，解得，所以函数有两个零点，不符合题意；
②当时，要使函数只有一个零点，只需的极大值小于0或的极小值大于0.
令，解得或.


0




+
0
-
0
+

增
极大值
减
极小值
增
列表：





所以极大值不符合题意；
极小值，解得；
③当时，要使函数只有一个零点，只需极大值小于0或的极小值大于0.
令，解得或.




0


-
0
+
0
-

减
极小值
增
极大值
减
列表：





所以极大值不符合题意；极小值，解得. 综上所述：实数的取值范围为.
二、选择题
11.【闵行15】已知函数与它的导函数的定义域均为R，现有下述两个命题：
①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件；
②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件.
则说法正确选项是（ ）
A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题
C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题
【答案】B
【解析】对于命题①：充分性：为奇函数 为奇函数，
对两边求导可得： ，即，
又的定义域为R，它关于原点对称，所以函数是R上的偶函数，所以充分性成立；
必要性不成立，反例：是R上的偶函数，其原函数为，若，则是非奇非偶函数.
所以命题①为真命题；
对于命题②：充分性不成立，反例：函数是R上严格的增函数，
而其导函数是常数函数，在R上不是严格的增函数；
必要性不成立，反例：函数，是R上严格的增函数，
而原函数为二次函数，在R上不是严格的增函数.
所以命题②为假命题；
综上，选B.
三、解答题
12.【徐汇18】（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间.
【答案】（1）；
（2）当时，函数的单调增区间为及，单调减区间为；
当时，函数单调增区间为．
【分析】（1）由导数的几何意义求解；（2）由导数与单调性的关系求解.
【解析】（1）当时，，
所以，，所以函数在点处的切线方程为；
（2）因为，定义域为，
所以．
①当时，与在上的变化情况如下：













↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数在及内严格增，在内严格减；
②当时，令，解得，所以函数在时有唯一的驻点.
但是，由于永远成立，驻点两侧导数值的正负没有发生变化，因此该驻点不是单调区间的分界点，所以此函数的单调增区间为．
综上，当时，函数的单调增区间为及，单调减区间为；
当时，函数单调增区间为．
13.【黄浦19】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
某展览会有四个展馆，分别位于矩形的四个顶点A、B、C、D处，现要修建如图中实线所示的步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中百米，百米，且．
（1）试从各段步道的长度与图中各角的弧度数中选择某一变量作为自变量，并求出步道的总长(单位：百米)关于的函数关系式；
（2）求步道的最短总长度（精确到0.01百米）．
【答案】（1）；（2）最短总长度约为百米
【解析】（1）设直线与分别交于点，若设百米，
则……2 分 ，……4 分
………………………6 分
(若设则
……4 分
………………6 分）
（2）设 ，令 ，
可得，……10 分 ，且当 时， 严格减；
且当时，严格增. ………………12 分
故当时，取得极小值（最小值） (百米).
所以步道的最短总长度约为百米. ………………………14 分
（设，令 ，
可得，…10 分 ，且当时， 严格减；
且当时， 严格增.……12 分
故当时，取得极小值（最小值） (百米).
所以步道的最短总长度约为百米.……14 分
14.【崇明19】（本题满分15分）本题共有3个小题，第1小题3分，第2小题5分，第3小题7分
某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在线段或曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于米.设米，游乐场的面积为平方米.
（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；
（2）求面积关于的函数解析式；
（3）试确定点的位置，使得游乐场的面积最大.（结果精确到0.1米）
【答案】（1）；
（2）；
（3）当点在曲线段上且其到的距离约为米时，游乐场的面积最大.
【分析】（1）先以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可；（2）分别求出在不同线段的解析式，然后计算面积；
（3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定的位置.
【解析】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，设曲线段BC所在抛物线的方程为，
由题意可知，点B(0，100)和C(50，50)在此抛物线上，故，，
所以曲线段的方程为：；..........................4分
（2）由题意，线段的方程为，
当点在曲线段上时，；
当点在线段上时，；
所以； ...................................4分
（3）当时，，
令，得，（舍去），
当时，；当时，；
因此当时，是极大值，也是最大值；...........4分
当时，，
当时，是最大值； ........................6分
因为，所以当时，取得最大值，此时
所以当点在曲线段上且其到的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大...7分
15.【松江19】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线（在上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；山谷右侧的轮廓曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；已知点到的距离为40米.
（1）求谷底到桥面的距离和桥的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为 80米，其中C、E在AB上（不包括端点），桥墩EF每米造价为k（万元）、桥墩CD每米造价为（万元）（）. 问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
【答案】（1）谷底到桥面的距离为160米，桥的长度为120米；
（2）当为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
【分析】（1）作出辅助线，将代入解析式，求出，从而得到到桥面的距离为米，由，求出，从而求出的长度为120米；
（2）建立平面直角坐标系，表达出，，设桥墩CD与EF的总造价为万元，得到的解析式，求导后得到的单调性及极值，最值情况，求出为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
【解析】（1）设都与垂直，是相应的垂足，
当米时，米，即米， ……2分
所以到桥面的距离为米，由，解得米， ……2分
所以米，所以桥的长度为120米； ……2分
（2）法一：设总造价为万元，，设，
则 ……4分
(0舍去)
当时，；当时，，
因此当时，取最小值. ……4分
答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
法二：以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设，，则，
，
因为，所以，
设，则，
所以，
设桥墩CD与EF的总造价为万元，
则，
，
令，得，当时，，当时，，
故在处取得极小值，也是最小值，所以当为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
16.【杨浦21】（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数，其中为正整数，且为常数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）若对于任意，函数在内均存在唯一零点，求的取值范围；
（3）设是函数大于0的零点，其构成数列. 问：是否存在实数a使得中的部分项：、、、、、，（其中当时，）构成一个无穷等比数列，若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在.
【分析】（1）由题知，再根据导数求解即可得答案；
（2）由题知，函数在上单调递增，进而转化为，再解不等式得对一切成立，进而得；
（3）根据得，再证明时是恒为1的常数列，符合题意，和时不满足题意即可.
【解析】（1）令， .................2分
则，所以函数的单调增区间为；.............2分
（2）当时，恒成立，得函数在上严格增，
因为函数在内均存在唯一零点， .................2分
所以 .....2分
，即； .................2分
（3）令，则，下面证明时满足题意.
①当时，则．
由（2）知是上的严格增函数，所以．
从而是恒为1的常数列，符合题意；.................4分
②当时，，
由于是上的严格增函数，所以．
，
由于是上的严格增函数，所以．
从而是严格增数列，那么无穷等比数列也为严格增数列，故．
当时，．但这与矛盾，故不符合题意．..............3分
③当时，同理不符合题意； .................1分
证明：，由于是上的严格增函数，所以．
，
由于是上的严格增函数，所以．
所以，是严格减数列，那么无穷等比数列也为严格减数列，所以，．
当时，．但这与矛盾，故不符合题意．
综上，使数列部分项可以构成等比数列的充要条件是．
【点睛】本题第3问解题的关键在于根据得，进而分，，分别说明时成立，其它范围不成立．
17.【长宁21】（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题① 4分，② 6分，第2小题8分
已知函数的定义域为.
（1）若.
① 求曲线在点处的切线方程；
② 求函数的单调减区间和极小值；
（2）若对任意（），函数在区间上均无最小值，且对于任意，当时，都有. 求证：当时，.
【答案】（1）①；②单调减区间为，极小值为；（2）证明见解析.
【分析】（1）①导数几何意义求解；②求导判断单调性求解.
（2）首先证明对于任意，；其次证明；再证明；最后证明：当时，.
【解析】（1）①因为，所以，
由点斜式方程得切线方程为：，即；
②函数，
令，得，，
列表如下：








0

0



极大值

极小值

所以函数的单调减区间为，
函数在处取得极小值上；
（2）首先证明对于任意，，
对于任意，当时，都有.
，当时等号成立，
即时取等，可知介于和之间.
若存在，使得，则当时，，
此时在上有最小值，与已知矛盾，所以对任意，都有，
即对任意，都有；
若存在，使得，则当时，，与已知矛盾，
所以对任意，都有，
当时，，
由，得.
18.【静安21】（本题满分18分，其中第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分）
已知函数，其中.
（1）若是函数f(x)的驻点，求实数的值；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若存在（为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.
【分析】（1）根据是函数的驻点得到，然后列方程求即可；
（2）求导，分、和三种情况讨论单调性即可；
（3）将存在，使得不等式成立转化为，然后利用单调性求最值即可.
【解析】（1）若是函数的驻点，则，可得，即得；
（2）函数的定义域为，
，
当时，令，可得或，
①当，即时，对任意的，，此时，函数的单调增区间为；
②当，即时，令，得或；令，得；
此时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
③当，即时，令，得或；令，得；
此时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
（3）由，可得，即，其中，
令，，若存在，使得不等式成立，则，
，令，得，
当时，；当时，；
∴函数在上严格增，在上严格减，
∴函数在端点或处取得最小值．
∵，，∴，
∴，∴，即实数的取值范围是.
【点睛】对于存在问题，常用到以下两个结论：
（1）存在；（2）存在.
19.【奉贤21】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分
已知函数，其中.
（1）求函数在点的切线方程；
（2）函数是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由；
（3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2），不存在极值点；，存在一个极小值点，无极大值点；（3）.
【分析】（1）对求导，求出切点斜率，再根据切点求出切线方程即可；
（2）令，对进行求导，再讨论及时导函数的正负及极值点即可；
（3）将代入，先讨论时的取值范围，再全分离，构造新函数，求导求单调性求最值，即可得出的取值范围.
【解析】（1）因为 1分
1分
所以在点的切线方程为，即； 2分
（2）设，定义域为， 1分
则， 1分
①当时，恒成立，
所以在严格增，所以不存在极值点； 2分
②当时，令，则，
当时，；当时，；
所以在上严格减，在上严格增， 2分
所以函数存在一个极小值点，无极大值点； 1分
（3）原不等式，当时，恒成立； 1分
当时，， 2分
由（2）知在有最小值，故，所以 ，
2分
. 3分
【点睛】该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下:
（1）若，恒成立，则只需；
（2） 若，恒成立，则只需；
（3） 若，恒成立，则只需；
(4) 若，恒成立，则只需；
(5) 若，恒成立，则只需；
(6) 若，恒成立，则只需；
(7) 若，恒成立，则只需；
(8) 若，恒成立，则只需.
20.【虹口21】(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 )
设，已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）对于函数的极值点存在，使得，试问对任意的正数a， 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）若函数在区间上的最大值为40， 试求a的取值集合.
【答案】（1）单调增区间为：与，单调减区间为：；（2）x1 + 2x0 = 6；（3）
【解析】 （1）由f ( x ) = (x2)3a x ，可得f ' (x) = 3 (x2)2a.
因a > 0 ，由f '(x) = 0， 解得x = ……2分
当x变化时， f '(x)， f (x)的变化情况如下表:
x





f '(x)
+
0

0
+
f (x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以，f (x)的单调增区间为：与；
单调减区间为：. ……4分
（2）方法1： 因为f (x)存在极值点x0， 所以由（1）知：a >0，且x0 ≠ 2.
因为f (x0) = ( x02)3a x 0，f (x1) = ( x12)3a x1，故由f (x1) = f (x0)，得
( x12)3a x1= ( x02)3a x 0即( x1x0) [( x12)2+( x12) ( x02)+ ( x02) 2 a] =0.
因为x1 ≠ x0 ，所以( x12)2 + ( x12) ( x02) + ( x02) 2 a = 0 （*）
由题意，得f '(x0) = 3(x02)2a = 0，即( x02 )2 ……6分
当 x0 = 2时，由（*）可得 ( x12)2 ( x12) a = 0，
解得x12 = 2，即x1 = 2 + 2，此时x1 + 2x0 =（2 + 2）+2（2）= 6. ……8分
当 x0 = 2 + 时，由（*）可得 ( x12)2 + ( x12) a = 0，
解得x12 =2，即x1 = 2 - 2，此时x1 + 2x0 =（2- 2）+2（2+）= 6.
综上，可得结论成立. ……10分
方法2： 因为f (x)存在极值点x0， 所以由（1）知：a >0，且x0 ≠ 2.
因为f (x0) = ( x02)3a x 0，f (x1) = ( x12)3a x1，故由f (x1) = f (x0)，得
( x12)3a x1= ( x02)3a x 0即( x1x0) [( x12)2+( x12) ( x02)+ ( x02) 2 a] =0.
因为x1 ≠ x0 ，所以( x12)2 + ( x12) ( x02) + ( x02) 2 a = 0 （*） ……6分
由题意，得f '(x0) = 3(x02)2a = 0，即a = 3 ( x02 )2 ， 将其代入（*）， 得
( x12)2 + ( x12) ( x02) 2 ( x02) 2 = 0 （**） ……8分
即[( x12) ( x02)] [( x12) + 2 ( x02)] = 0
亦即( x1x0) ( x1 + 2x06) = 0.由于x1 ≠ x0 ，因此x1 + 2x0 = 6. ……10分
（3）因函数g(x) = | (x2)3a x | 在区间[0， 6]上的最大值只有可能在0， 6，2 -，2 +这4处取得.又g(0) = 8， g( 6) = ， g( 2-) = ，
g(2+) = g( 2-)（因）. ……. 12分
①若g ( 2+) = 为g(x) 在区间[0， 6]上的最大值(等于40)， 令
则由得
设则恒成立，故上严格递增，
于是在上存在唯一的易知进而相应的
而此时g( 6) = 因此符合题意. ……. 15分
②若g( 6) = 为g(x) 在区间[0， 6]上的最大值(等于40)， 则
（i）当时， g( 2+) =
g( 6) = = 40为g(x) 在区间[0， 6]上的最大值，因此符合题意.
（ii）当时，
g (2 +) = 于是不符合题意，舍去.
综上所述， 符合条件的a的取值集合为 ……. 18分
21.【宝山21】（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数，.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；
（3）记（是自然对数的底数）. 若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）时，为偶函数；时，为非奇非偶函数；（2）；（3）.
【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；
（2）根据极值，求出，得到，利用导数的性质，判断有3个不同的实根时，的取值范围；
（3）根据的单调性，问题转化为，整理得，分别判断函数和函数在上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出的取值范围.
【解析】（1），因为的对称轴为，故当时，的对称轴为轴，此时为偶函数；时，为非奇非偶函数； …………………4分
（2），
，故，……………………6分
，.
当，即或时，函数严格增；
当，即时，函数严格减； ……………………8分
从而函数的极大值为，极小值为，………9分
当时，直线与的图像有3个交点，
即时方程有3个不同实根； ……………………10分
（3）因为函数在上严格减，且，所以，…………11分
所以对任意的，且恒成立，
等价于对任意的，且恒成立，
即对，且恒成立， ……………13分
所以在上是严格增函数，在上是严格减函数，
①函数在上单调递增，即在上恒成立，
得在恒成立， …………15分
②函数在上单调递减，即在上恒成立，
得在上恒成立，
令，则
因为，从而在上严格增，在上严格减，
所以在取得最大值，故； ………………17分
综上，实数a的取值范围为. ………………18分
22.【21普陀】（本题满分18分，第1小题满分4分，第2题满分6分，第3小题满分8分）
若函数（）同时满足下列两个条件，则称在上具有性质.
①在上的导数存在；
②在上的导数存在，且（其中）恒成立.
（1）判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由；
（2）设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值.
【答案】（1）函数在区间上有性质；（2）存在实数，其范围为；（3）的最大值为
【解析】（1）记（），则，
且在上恒成立，故函数在区间上有性质；……4分
（2）根据题设条件，对于任意，均有，
即对任意实数都成立，故. ……6分
于是，，
因为当时，函数取得极值，故，解得. ……8分，
，解得. ……9分
假设存在实数，使得函数在区间上具有性质，
则必有，故. 所以存在实数，其范围为； ……10分
（3）当时， ……12分
记，下面求函数在区间上的最小值：

，
构造函数，则，因为，所以，
故在区间上为严格增函数.
且，则存在使得，
即； ……14分
所以时，，且，故.
于是 ……16分
要使得原不等式恒成立，只需，其中，
故满足条件的正整数的最大值为. ……18分
23.【青浦21】(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记 （）.
（1）求对任意实数，都有成立的最小整数的值（）；
（2）设函数，若对任意，都存在极值点，求证：点（）在一定直线上，并求出该直线方程；
（3）是否存在正整数和实数，使且对于任意，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）该直线方程为，证明见解析；（3）存在，满足条件.
【分析】（1）按照给定定义，依次求导，再观察规律即可判断作答；
（2）由（1）求出函数，求出的导数，再利用已知结合极值点的意义推理作答；
（3）由（1）结合已知，确定或，再分类讨论极值点的情况作答.
【解析】（1）依题意，
，
因此时，，即；
（2）由（1）知，，，

，
，因为是非零常数，所以函数单调，
仅当时，有唯一零点，
当时，；当时，，
因此当时，函数都存在唯一极值点，依题意，
即，两边同时加上，得，
即，所以点在定直线上；
（3）当，时，方程无解，因此要使，必有，
①当时，，即，解得，
故当时，，函数单调递减，无极值点；
而严格减，无极值点，且，
当时，；当时，；
故在上严格增，
在上严格减，有一个极值点，又，则恒成立，
得单调递减，无极值点. 综上，存在，满足条件；
②当时，，即，解得或，
，与是非零常数矛盾；或，解得
严格减，
当时，，
当，，
当时，，
得在上严格增，
在上严格减，
而，，
则存在，使得，在上，，
在上，
在上，，
则在上严格减，在上严格增，
在上严格减，
得有两个极值点，不符合题意，因此.
综上，所以存在，满足条件．
【点睛】可导函数y=f(x)在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧值的符号不同．
24.【嘉定21】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分
已知.
（1）求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数e为自然对数的底）；
（2）根据（1），判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；
（3）已知a、b是正整数，，，求证：，是满足条件的唯一一组值.
【答案】（1），证明见解析；（2），一般结论：对于实数，若，则；（3）证明见解析.
【分析】（1）求导，有导函数正负得到函数的单调性，从而得到在上是严格减函数；
（2）在第一问的基础上，得到，变形后得到，写出一般的结论；
（3）先得到满足要求，再证明唯一性，在第二问的基础上，得到若，可知，与矛盾；若，求出，与矛盾；若，则，即，容易验证，成立，当，得到，于是，矛盾，故是满足条件的唯一一组值.
【解析】（1）的导函数为，令，得驻点为，----2分
列表：










极大值

所以函数在上是严格减函数； ---2分
（2）判断， -----------2分
下面证明：由（1），，即，
在上严格增 . ---------3分
推广：对于实数，若，则，即（*）； ----------1分
（3）因为，所以满足，--2分
下面证明唯一性：①若，由*可知，与矛盾； --------2分
②若，则，即，与矛盾； --------2分
③若，则，即，容易验证，成立，
若，由（1）知在上严格减，得，则，
于是，与矛盾. 综合①②③，是满足条件的唯一一组值. --------2分
25.【金山21】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分
若函数是其定义域内的区间上的严格增函数，而是上的严格减函数，则称是上的“弱增函数”.若数列是严格增数列，而是严格减数列，则称是“弱增数列”.
（1）判断函数是否为上的“弱增函数”，并说明理由（其中是自然对数的底数）；
（2）已知函数与函数图像关于坐标原点对称，若是上的“弱增函数”，求的最大值；
（3）已知等差数列是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数. 记的前项和为，设是正整数，常数，若存在正整数和，使得且，求所有可能的值.
【答案】（1）是上的“弱增函数”，理由见解析；
（2）的最大值为1；（3）所有可能的值为和.
【分析】（1）根据“弱增函数”的定义，分析和在上的单调性即可；
（2）由函数与函数的图像关于坐标原点对称，求出函数，因为是上的“弱增函数”，根据二次函数和对勾函数的图像性质分别求出的增区间和的减区间，得到，即可求出的最大值；
（3）由等差数列是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数，解得，即可求出，通过分析的单调性，可得，从而赋值别求得符合题意的的值.
【解析】（1）显然，是上的严格增函数， ……1分
对于函数，， ……2分
当时，恒成立，故是上的严格减函数， ……3分
从而是上的“弱增函数”； ……4分

（2）记，
由题意得：， ……6分
函数图像的对称轴为，且是区间上的严格增函数，
函数图像在第一象限的最低点的横坐标为2，且是区间上的严格减函数，
由是上的“弱增函数”，得，所以， ……9分
所以的最大值为1； ……10分
（3），
由是“弱增数列”可知，，，即，又因为d是偶数，所以，
从而， ……12分
故，
由知，，所以当时，，即，
故若，则不存在k和m，使得，从而，． ……14分
若，即，满足；
若，，满足；
若，，不满足． ……16分
当时，，故不存在大于5的正整数，使得．
综上，λ所有可能的值为和． ……18分
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法.




26.【松江21】（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列前项和为.
（1）求函数的解析式；
（2）已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式；
（3）设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有，设称为集合的一个“阈度”；记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由可求得、的值，进而可得出函数的解析式；
（2）对分奇数和偶数两种情况讨论，求出表达式，根据可得出的表达式；
（3）分为奇数、偶数两种情况讨论，求出、关于的表达式，求出的取值范围，可得出的取值范围，即可得出集合“阈度”的取值范围.
【解析】（1）则，
由，得=恒成立，所以， …………………2分
因为，可得，因此，； ………………………2分
（2）数列的奇数项依次够成以为首项，以为公比的等比数列，
偶数项依次够成以为首项，以为公比的等比数列， …………………………2分
所以 …………2分
即，
即； 2分
（3），
①当为偶数时，， ………1分
所以，
此时关于是递增的，其取值在区间内，
即在区间内； ……………………………………2分
②当为奇数时，， …………………1分
所以，此时关于也是递增的，
其取值在区间内，即在区间内；
所以，时的取值在区间内， …………………………3分
所以，集合H“阈度”的取值范围为. ……………………1分
【点睛】本题第（3）问考查集合“阈度”的取值范围，解题的关键在于对分奇数、偶数两种情况讨论，求出关于的表达式，结合数列的单调性求出的取值范围，进而根据题中定义求出集合“阈度”.




27.【闵行21】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分
定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系.
（1）判断函数和是否具有C关系；
（2）若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；
（3）若函数和（）在区间上具有C关系，求实数m的取值范围.
【答案】（1）是；（2）；（3）.
【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，从而得以判断；
（2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与，利用基本不等式即可求得a的取值范围；
（3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解.
【解析】（1）当时，
令，…2分
解得，此时，.
所以函数和图像上分别存在点和关于轴对称，
故和具有关系； ……………………4分
（2）由题意，关于的方程无解， ………………………6分
法一：令，则原方程等价于，
显然不是方程的解，所以方程可变形为，
当时，， ……………………………8分
所以方程无解时，则的范围为； ……………10分
法二：令，
令，则，故，
因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，
又因为开口向下，
所以在上恒为负，即在上恒成立，
①当时，显然成立；②当时，在上恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以； 综上，，即；
（3）令，则. ……………………12分
因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，
1°当，且时，因为，所以，
所以在上是严格增函数，且；
此时在上不存在零点，即函数和在上不具有关系；………14分
2°当时，①当时， 在上是严格增函数；
②当时， 在是严格增函数，
且，，
故在存在唯一零点，设为，即，
且当时，；当时，；
所以在上存在唯一极小值点，
所以在上是严格减函数，在上是严格增函数，…16分
因为，所以，
又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数和在上具有关系.
综上所述，若函数和在上具有关系，
则实数的取值范围为. ………………………18分
【点睛】本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在定义域上存在，使得，从而得解.
28.【浦东21】（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知定义域为的函数. 当时，若（）是严格增函数，则称是一个“函数”.
（1）分别判断函数、是否为函数；
（2）是否存在实数，使得函数是函数？若存在，求实数的取值范围；否则，证明你的结论；
（3）已知，其中. 证明：若是上的严格增函数，则对任意，都是函数.
【答案】（1）不是函数，是函数；
（2）存在实数，使得函数是函数；
（3）证明见解析.
【解析】（1）表示函数图像上的点与点的斜率，
射线虚过点
斜率为常数，故不是函数； …2分
在上严格增，由图知在上严格增，故是函数；…4分







（2）是连续函数，令（）.
①当时，由，得.
在上严格增
，得，从而严格增；…7分
【细则说明】完成作差，写出表达式+1分；正确求出+1分；证明严格增+1分.
②当时，，
严格增当且仅当；
③又因为当时，，故为所求；…………………10分
综上，存在实数，使得函数是函数.
【细则说明】正确写出时的表达式+1分；正确求出时严格增的条件+1分；
考虑的分段表示法衔接处的单调性+1分.
（3）若将“严格增”等同于（或），本小题得2分.
首先证明：“是上的严格增函数”的一个充要条件是“”（*）.
由，
①当时，严格增；
②当时，严格增；
②当或时，存在使得在上严格减；
③当时，，等号成立当且仅当，
故在与上分别严格增，
且当时，；当时，；
故此时也是上的严格增函数.
综上，（*）得证. …………14分
【细则说明】正确得出 +1分；
验证符合要求+1分；得出符合要求 +1分；验证符合要求 +1分.
若是上的严格增函数，则，
对任意，.
令，
则，
前面已证明，等号成立当且仅当，
故知为上的严格增函数，且.
因而，当时，是严格增函数，从而为函数. 18分
【细则说明】正确求出 +1分；考虑或 +1分；
代入的条件并得出相关单调性结论 +1分；导出结论 +1分.