专题16 特殊的平行四边形-5年（2018~2022）中考1年模拟数学分项汇编（北京专用）

专题16  特殊的平行四边形

一、填空题

1．（2021·北京·中考真题）如图，在矩形中，点分别在上，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是______________（写出一个即可）．

2．（2019·北京·中考真题）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．

3．（2019·北京·中考真题）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个四边形MNPQ是矩形；

③存在无数个四边形MNPQ是菱形；

④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．

所有正确结论的序号是______．

4．（2018·北京·中考真题）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．

二、解答题

5．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得

(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；

(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

6．（2022·北京·中考真题）如图，在中，交于点，点在上，．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)若求证：四边形是菱形．

7．（2021·北京·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，，垂足为．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若平分，求和的长．

8．（2020·北京·中考真题）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．

（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；

（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

9．（2020·北京·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

（1）求证：四边形OEFG是矩形；

（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

10．（2018·北京·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．

（1）求证：GF=GC；

（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．

11．（2018·北京·中考真题）如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求的长．

一、填空题

1．（2022·北京·东直门中学模拟预测）如图，正方形ABCD中，将线段BC绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接BE、DE，若正方形边长为2，则图中阴影部分的面积是 _____．

2．（2022·北京师大附中模拟预测）下面是六个推断：

①因为平角的两条边在一条直线上，所以直线是一个平角．

②因为周角的两条边在一条射线上，所以射线是一个周角．

③因为扇形是圆的一部分，所以圆周的一部分是扇形．

④因为平行的线段没有交点，所以不相交的两条线段平行．

⑤因为正方形的边长都相等，所以边长相等的四边形是正方形．

⑥因为等腰三角形有两个内角相等，所以有两个内角相等的三角形是等腰三角形．

其中正确的结论有_____个，其序号是_____．

3．（2022·北京丰台·二模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，只需添加一个条件即可证明四边形EFCB是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）．

4．（2022·北京顺义·一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则_______．

5．（2022·北京·北理工附中模拟预测）如图，正方形，是上一点，，于，则的长为______．

6．（2022·北京·东直门中学一模）如图将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD翻折，点C的对应点为C′，AD与BC′交于点E，若∠ABE＝30°，BC＝3，则DE的长度为_____．

7．（2022·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校一模）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12 、宽为6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数．

甲：如图2，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n=14．

乙：如图3，思路是当为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n=14．

丙：如图4，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n=13．

甲、乙、丙的思路和结果均正确的是___________ ．

8．（2022·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校一模）如图1，将矩形和正方形分别沿对角线和剪开，拼成如图2所示的平行四边形，中间空白部分的四边形是正方形．如果正方形和正方形的面积分别是16和1，则矩形的面积为_______．

9．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，正方形是由四个全等的直角三角形围成的，若，，则的长为___．

二、解答题

10．（2022·北京房山·一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，过点C作CFEB交AB的延长线于点F．

(1)求证：四边形BFCE是矩形；

(2)连接AC，若AB=BE=2，，求AC的长

11．（2022·北京四中模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF⊥AE于点F．

(1)求证：四边形AECD是菱形；

(2)若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长．

12．（2022·北京·清华附中一模）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连结DE交AC于点F，连结BF.   

(1)求证：FB=FD；

(2)如图2，连结CD，点H在线段BE上（不含端点），且BH=CE，连结AH交BF于点N.

①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；

②连接CN．若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值.

13．（2022·北京一七一中一模）如图，在中，AE⊥BC于点E，过点D作DF∥AE，交BC的延长线于点F，连接AF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）若AD＝8，tanB，CF，求AF的长．

14．（2022·北京房山·二模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝3，tan∠CAB＝时，求AE的长．

15．（2022·北京·模拟预测）已如，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O．

（1）求证：四边形ADBE是矩形；

（2）若BC=8，AO=，求四边形AEBC的面积．

16．（2022·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校一模）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．

（1）求证：四边形BCEF是矩形；

（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．

17．（2022·北京市师达中学模拟预测）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．

（1）依题意补全图1；

（2）直接写出∠FBE的度数；

（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．

18．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、作CEBD，DEAC，CE和DE交于点E

(1)求证：四边形ODEC是矩形；

(2)当∠ADB＝60°，AD＝10时，求CE和AE的长．

19．（2022·北京·模拟预测）如图，▱ABCD的两条对角线相交于O点，过O点作OE⊥AB，垂足为E，已知∠DBA=∠DBC，AB=5．

(1)求证：四边形ABCD为菱形；

(2)若sin∠ADB=，求线段OE的长．

20．（2022·北京海淀·一模）如图，在中，，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且．

(1)求证：四边形BECF是菱形；

(2)若，，求菱形BECF的面积．

21．（2022·北京西城·一模）如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的长．

22．（2022·北京市师达中学模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE =2，求EG的长．

23．（2022·北京石景山·一模）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得EF=DE，连接CD，CF，BF．

(1)求证：四边形BFCD是菱形；

(2)若cosA=，DE=5，求菱形BFCD的面积．

24．（2022·北京东城·一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（），连接BE，DE．

(1)求证：；

(2)过点E作交BC于点F，延长BC至点G，使得，连接DG．

①依题意补全图形；

②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．

25．（2022·北京房山·二模）如图，点P是正方形内一动点，满足且，过点D作交的延长线于点E．

(1)依题意补全图形；

(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明；

(3)连接，若，请直接写出线段长度的最小值．

26．（2022·北京昌平·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为1．对角线AC、BD相交于点O，P是BC延长线上的一点，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F，且EF与AC平行．

（1）求证：EF⊥BD．

（2）求证：四边形ACPD为平行四边形．

（3）求OF的长度．

27．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC．

(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE的面积为______；

(2)当点E在正方形ABCD的外部时，

①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；

②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．