专题05 一元二次方程-5年（2018~2022）中考1年模拟数学分项汇编（北京专用）

专题05  一元二次方程

一、单选题

1．（2022·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到∆=0，建立关于m的方程，解答即可．

【解析】∵一元二次方程有两个相等的实数根，

∴∆=0，

∴，

解得，故C正确．

故选：C．

二、填空题

2．（2020·北京·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．

【答案】1

【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．

【解析】解：一元二次方程有两个相等的实数根，

可得判别式，

∴，

解得：．

故答案为：

三、解答题

3．（2021·北京·中考真题）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．

【答案】（1）见详解；（2）

【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；

（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．

【解析】（1）证明：由题意得：，

∴，

∵，

∴，

∴该方程总有两个实数根；

（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，

∵，

∴，

解得：，

∵，

∴．

4．（2019·北京·中考真题）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

【答案】，此时方程的根为

【分析】直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案．

【解析】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，

∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，

解得：m≤1，

∵m为正整数，

∴m=1，

∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，

则（x-1）2=0，

解得：x1=x2=1．

5．（2018·北京·中考真题）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．

（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．

【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1．

【解析】分析：（1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况.

（2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即可.

详解：（1）解：由题意：．

∵，

∴原方程有两个不相等的实数根．

（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：

解：令，，则原方程为，

解得：．

点睛：考查一元二次方程根的判别式，

当时，方程有两个不相等的实数根.

当时，方程有两个相等的实数根.

当时，方程没有实数根.

一、单选题

1．（2022·北京西城·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（       ）

A．1 B．-1 C．-5 D．-6

【答案】D

【分析】根据根的判别式得到，然后解关于m的不等式，即可求出m的取值范围，并根据选项判断．

【解析】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴，

∴，

∴m+1>4，m>3，或m+1<-4，m<-5．

故选D ．

2．（2022·北京朝阳·模拟预测）一元二次方程x2+5x+3=0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

【答案】B

【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

【解析】∵，，，

∴，

∴方程有两个不相等实数根．

故选：B．

二、填空题

3．（2022·北京朝阳·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___．

【答案】m＜5

【分析】由题意得判别式为正数，得关于m的一元一次不等式，解不等式即可．

【解析】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴．

解得：m<5．

故答案为：m<5．

4．（2022·北京顺义·二模）如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是______．

【答案】

【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

【解析】解：∵方程有两个实数根，

∴，

解得：．

故答案为．

5．（2022·北京房山·二模）若已知关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________．

【答案】

【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解．

【解析】解：∵关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根，

∴．

解得．

故答案为：．

6．（2022·北京房山·一模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______．

【答案】

【分析】由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出a的范围即可．

【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴，

整理得：，

解得：．

故答案为：．

7．（2022·北京朝阳·一模）若关于x的一元二次方程有一个根是，则___________．

【答案】-1

【分析】根据一元二次方程和一元二次方程根的定义，可得，且，即可求解．

【解析】解：根据题意得：，

解得：或，

∵，即，

∴．

故答案为：-1．

8．（2022·北京通州·一模）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是______，方程的根是______．

【答案】     9     -3

【分析】由一元二次方程根的判别式与其根的关系可知： ，代入列方程，求出m值，再求根即可．

【解析】∵关于的方程有两个相等的实数根，

∴可得∶ ，

即： ，

解得：m=9，

则原方程为：，

，

，

故答案为：m=9，方程的根为-3．

9．（2022·北京丰台·二模）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．

【答案】m＜1

【分析】关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，即判别式Δ＝b2﹣4ac＞0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围．

【解析】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝m，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，

解得：m＜1．

故答案为m＜1．

10．（2022·北京十一学校一分校模拟预测）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________．

【答案】2或

由题意可得根的判别式等于0，从而得到关于m的方程，进一步可得m的值．　

【解析】解：由题意可得：

（m+2）2-4×1×4=0，

即（m+2）2=16，

∴m+2=4或m+2=-4，

∴m=2或m=-6，

故答案为2或-6．

11．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）关于的一元二次方程总有两个实数根，则常数的取值范围是________．

【答案】且

【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系及一元二次方程的定义即可得答案．

【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，

∴△=[-(2k+1)]2-4kk≥0，且k≠0，

解得：且k≠0．

故答案为：且k≠0．

12．（2022·北京海淀·一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是_____．

【答案】m＞4

【分析】根据根的判别式即可求出答案．

【解析】解：由题意可知：△＜0，

∴，

∴m＞4

故答案为m＞4

13．（2022·北京·东直门中学模拟预测）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．

【答案】k＜1．

【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．

【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，

∴△=，

解得：，

故答案为.

14．（2022·北京昌平·模拟预测）当____时，一元二次方程（为常数）有两个相等的实数根．

【答案】4

【解析】解：因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以，即，解得m=4

故答案为：4．

15．（2022·北京·模拟预测）对于实数，，定义运算“”如下：．若，则________．

【答案】-3或4

【分析】根据新定义的运算方式建立方程等式，再解出m即可．

【解析】根据新定义的运算方式，得：

．

∵，

∴

解得x=-3或4．

故答案为：-3或4．

三、解答题

16．（2022·北京四中模拟预测）已知关于 的一元二次方程

(1)若这个方程有两个不相等的实数根， 求 的取值范围；

(2)当 时， 求方程的两个根

【答案】(1)m的取值范围为m＜且m≠0；

(2)x1=0，x2=．

【分析】（1）利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ=（2m+1）2-4m（m+2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；

（2）利用根与系数的关系解得m=-2，解方程即可求解．

(1)解：根据题意得m≠0且Δ=（2m+1）2-4m（m+2）＞0，

解得m＜且m≠0，

所以m的取值范围为m＜且m≠0；

(2)解：∵，

∴=0，

解得m=-2，

∴原方程为即-2x2+3x=0，

解得：x1=0，x2=．

17．（2022·北京东城·一模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．

【答案】(1)

(2)k=2，方程的两个根为，

【分析】(1)根据题意和一元二次方程根的判别式得到，解不等式即可求得；

(2)首先根据(1)可知，k的值只能是1或2，分别代入方程，解方程，再根据方程的两个根均为整数，即可解答．

(1)解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根

解得

故k的取值范围为

(2)解：且k为正整数

k的值只能是1或2

当k=1时，方程为

解得

方程的两个根均为整数

k=1不合题意，舍去

当k=2时，方程为

解得，   

方程的两个根均为整数，符合题意

故k=2，方程的两个根为，

18．（2022·北京石景山·一模）已知：关于x的一元二次方程．

(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)选择一个你喜欢的整数m的值代入原方程，并求出这个方程的解．

【答案】(1)证明过程见详解

(2)，．（答案不唯一）

【分析】（1）求出方程的判别式即可证明；

（2）m的值越简单越好，令m=0，即可求解．

(1)证明：方程的判别式，

∴方程总有两个不相等的实数根；

(2)令m=0，则方程变为，

解得，．（答案不唯一）

19．（2022·北京大兴·一模）已知关于x的方程．

(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；

(2)设此方程的两个根分别为，，若，求m的值．

【答案】(1)见解析

(2)3

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；

（2）利用根与系数的关系可得即可找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．

(1)根据题意可知：，

∴方程有两个不相等的实数根；

(2)有题意得：

∴，解得

20．（2022·北京丰台·一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0．

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程的两个实数根互为相反数，求m的值．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质判断Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝m+2，则由方程的两个实数根互为相反数得到m+2＝0，然后解得m的值即可．

(1)证明：∵Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（m+1）＝m2+4m+4﹣4m－4

＝m2≥0，

∴无论m取何值，此方程总有两个实数根；

(2)解：根据题意得x1+x2＝m+2，

∵方程的两个实数根互为相反数，

∴m+2＝0，

解得m＝﹣2，

即m的值为﹣2．

21．（2022·北京市燕山教研中心一模）已知关于的方程总有两个不相等的实数根．

(1)求的取值范围；

(2)写出一个的值，并求此时方程的根．

【答案】(1)

(2)答案不唯一，见解析

【分析】（1）根据根的判别式＞0，求出的取值范围；

（2）根据（1）中的的取值范围，代入符合要求的k值，进而求解.

(1)解：∵方程总有两个不相等的实数根，

∴

，

∴，

∴k的取值范围是；

(2)答案不唯一

例如：时，方程可化为

∴，

22．（2022·北京朝阳·一模）已知关于x的一元二次方程．

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．

【答案】(1)见解析

(2)a的值为3

【分析】（1）根据一元二次方程，根的判别式为△=，进行化简即可证明；

（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．

(1)证明：，

 ∵，

∴该方程总有两个实数根．

(2)解：设该方程的一个根为x1，则另外一个根为2 x1，

则，

由①得，

代入②可得：，

解之得，，

又因为该方程的两个实数根都是整数，

所以．

23．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）关于x的一元二次方程有实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)若方程有一根为4，求方程的另一根．

【答案】(1)

(2)-2

【分析】（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；

（2）将x＝4代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程，利用十字相乘法解一元二次方程，即可得出方程的另一个根．

(1)解：∵关于x的一元二次方程有实数根，

∴其根的判别式，即，

解得：．

(2)解：将代入，得：，

解得：，

∴该一元二次方程为．

即，

∴，

∴方程的另一根为-2．

24．（2022·北京顺义·一模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根．

【答案】(1) 且

(2)另一个根为

【分析】（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可．

（2）将x=0代入原方程，求出m，再解方程即可．

(1)解：∵是一元二次方程，

，

∵一元二次方程有两个不相等的实数，

，

即： ，

整理得： ，

，

综上所述： 且．

(2)∵方程有一个根是0，

将x=0代入方程得： ，

，

则原方程为： ，

解得： ，

∴方程的另一个根为 ．

25．（2022·北京十一学校一分校一模）已知关于x的一元二次方程．

(1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；

(2)若的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求k的取值范围．

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【分析】（1）利用根的判别式证明即可；

（2）求出方程的根，利用三角形三边的关系求解即可．

(1)证明：∵

∴无论k取何实数值，方程总有实数根；

(2)解：解方程得到：，，

即，，

根据三角形三边关系可知，，，

解之得： ．

26．（2022·北京市三帆中学模拟预测）关于x的一元二次方程．

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根大于0，求k的取值范围．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出，，根据方程有一根大于0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

(1)证明：∵在方程中，

∴，

∴方程总有两个实数根；

(2)解：∵，

∴，，

∵方程有一根大于0，

∴，

解得：，

∴k的取值范围为．

27．（2022·北京昌平·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2k2＝0．

（1）若x＝1是方程的一个根，求k的值；

（2）求证：不论k取何值，方程总有两个实数根．

【答案】（1），；（2）见解析

【分析】（1）将代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解方程求得k的值即可；

（2）由根的判别式符号进行证明即可．

【解析】（1）解：将代入x2﹣kx﹣2k2＝0，

得：，

∴，

解得，；

（2）证明：，，，

．

，

，

，

不论k取何值，方程总有两个实数根．

28．（2022·北京师大附中模拟预测）已知关于的方程．

（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；

（2）若该方程有一个根-1，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）1或-2

【分析】（1）根据根的判别式即可证明；

（2）把方程的根代入原方程即可求解．

【解析】（1）证明：

所以方程有两个不相等的实数根．

（2）把代入原方程，得

解得．

29．（2022·北京·模拟预测）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根大于3，求的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）根据判别式与一元二次方程根个数的关系，判断判别式的大小即可得到答案；

（2）通过因式分解得到两根，再根据有一个根大于3求解即可得到答案；

【解析】（1）证明：∵

，

∵无论取何值时，，

∴原方程总有两个实数根；

（2）∵原方程可化为，

∴，，

∵该方程有一个根大于3，

∴．

∴．

30．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）已知关于x的方程．

（1）求证：当n=m-2时，方程总有两个实数根；

（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根 ．

【答案】（1）见解析；（2）n=4，m=2，方程的根为x1=x2=1

【分析】（1）先计算判别式得到=，根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；

（2）取m=-2，n=4，则方程化为x2-2x+1=0，然后利用完全平方公式解方程．

【解析】（1）证明：=，

∴方程总有两个实数根；

（2）由题意可知，m≠0，

；

即；

以下答案不唯一，如：当n=4，m=2时，方程为x2-2x+1=0，

解得x1=x2=1．