第十四讲不规则及组合立体图形的表面积和体积——2022-2023学年小升初数学典型题（原卷版+解析版）

2022-2023学年小升初数学典型例题系列之

第十四讲不规则及组合立体图形的表面积和体积

（解析版）

编者的话：

《2022-2023学年小升初数学典型例题系列》是基于教材知识点和历年真题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分主要分为计算篇和应用篇两大篇章，每篇章皆按讲次顺序进行编辑，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和小升初真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第十四讲不规则及组合立体图形的表面积和体积。本部分内容是求不规则及组合立体图形的表面积和体积，题目综合性强，难度较大，一共划分十个考点，欢迎使用。

【考点一】求与长方体、正方体有关的不规则立体图形的表面积。

【方法点拨】

在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。

【典型例题】

如下图，在棱长是1分米的正方体的一个顶角锯下一个棱长1厘米的小正方体，剩下部分的表面积是(        )平方分米。

解析：

根据题图可知，从正方体的一个顶角锯下一个小正方体后，表面积减少了3个小正方形的面，同时又增加了3个小正方形的面，所以表面积不变，据此解答即可。

1×1×6＝6（平方分米）

【对应练习1】

如图，把一个长方体切去一个小正方体，剩下图形的表面积与原长方休表面积相比较，（       ）。

A．增加了          B．减少了        C．不变

解析：C

【对应练习2】

如图，一个棱长3分米的正方体。在它的一个顶点处挖掉一个棱长1分米的小正方体。求剩下部分的表面积。

解析：

32×6＝54（平方分米）

答：剩下部分的表面积是54平方分米。

【对应练习3】

一个正方体，它的棱长为5厘米，在它的上、下、前、后、左、右的正中位置各挖去一个棱长为2厘米的正方体，问现在的表面积是多少？

解析：观察图形可知，在它的上、下、前、后、左、右的正中位置各挖去一个棱长为2厘米的正方体后，这个图形的表面积在原来的基础上增加了4×6=24个边长为2厘米的小正方形的面的面积，由此利用正方体的表面积公式求出这个正方体原来的表面积，再加上24个边长为2厘米的小正方形的面积即可。

5×5×6+2×2×24

=150+96

=246（平方厘米）

答：现在的面积是246平方厘米。

【考点二】求与长方体、正方体有关的组合立体图形的表面积。

【方法点拨】

在求与长方体、正方体有关的组合立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。

【典型例题】

下图是两个正方体，大正方体棱长为6cm，小正方体棱长为2cm，求它的表面积和体积。

解析：

6×6×6＋2×2×4

＝216＋16

＝232（cm2）

6×6×6＋2×2×2

＝216＋8

＝224（cm3）

【对应练习1】

计算下面立体图形的体积和表面积。（单位：cm）

解析：

体积：

25×10×4＋8×8×8

＝1000＋512

＝1512（cm3）

表面积：

（25×10＋25×4＋10×4）×2＋8×8×4

＝（250＋100＋40）×2＋256

＝390×2＋256

＝780＋256

＝1036（cm2）

【对应练习2】

计算如图图形的表面积和体积。（单位：厘米）

解析：

体积：7×5×8＋4×4×8

＝35×8＋16×8

＝280＋128

＝408（立方厘米）

表面积：7×5×2＋7×8×2＋5×8×2＋4×4×2＋4×8×2

＝70＋112＋80＋32＋64

＝182＋80＋32＋64

＝294＋64

＝358（平方厘米）

【对应练习3】

分别求出下面图形的表面积和体积。（单位：cm）

解析：

表面积：

12×12×4＋（25×12＋25×6＋12×6）×2

＝576＋1044

＝1620（cm²）

体积：12×12×12＋25×12×6

＝1728＋1800

＝3528（cm³）

【考点三】求与长方体、正方体有关的不规则及组合立体图形的体积。

【方法点拨】

求组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加，或用图形整体的体积减去空白部分的体积。

【典型例题1】

有一个形状如下图所示的零件，求它的体积。（单位：cm）

解析：

正方体：3×3×3=27（立方厘米）

长方体：5×12×6=360（立方厘米）

组合图形：27+360=387（立方厘米）

答：略。

【典型例题2】

下面是某一零件，你能求出它的体积吗？（单位：厘米）

解析：2×8×6-1×4×3=84（立方厘米）

答：略。

【对应练习1】

一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？（单位：厘米）

解析：4×10×2+（6-2）×2×10=160（立方厘米）

答：略。

【对应练习2】

有一个形状如下图的零件，求它的体积。（单位：厘米）

解析：2×2×2+4×2×6=56（立方厘米）

答：略。

【对应练习3】

如图，在棱长是8dm的正方体的上面挖去一个棱长4dm的正方体，求挖去以后图形的表面积和体积。

解析：表面积：4×4×4+8×8×6=448（平方分米）

体积：8×8×8-4×4×4=448（立方分米）

【对应练习4】

如图，求下面零件的体积。（单位：厘米）

解析：8×12×4-4×4×4

=384-64

=320（立方厘米）

【考点四】求不规则圆柱体的表面积。

【方法点拨】

求不规则圆柱体的表面积，注意分析图形是由哪几个面组合而成的，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。

【典型例题】

如图，一根长2米，底面周长为12.56分米的圆木，沿着它的两条半径，截去部分，该图形的表面积是多少平方分米？

解析：

2米=20分米

底面半径：12.56÷3.14÷2=2（分米）

圆柱两个底面积之和：3.14×22×2=25.12（平方分米）

圆柱侧面积：12.56×20=251.2（平方分米）

截去后的表面积：（25.12+251.2）×（1-）=207.24（dm2）

207.24+2×20×2=287.24（平方分米）

答：该图形的表面积是287.24平方分米。

【对应练习1】

如图，是一个圆柱体沿着底面直径切割剩下的部分，求该图形的表面积。（单位：cm）

解析：

原来圆柱的表面积：

3.14×（6÷2）2×2+3.14×6×8

=56.52+150.72

=207.24（平方厘米）

切割一半后的表面积：207.24×=103.62（平方厘米）

103.62+6×8=151.62（平方厘米）

答：该图形的表面积是151.62平方厘米。

【对应练习2】

从下面这根长方体木料中削掉一个最大的半圆柱，求剩余木料的表面积。

解析：

上面表面积：3.14×6×10÷2

＝18.84×10÷2

＝188.4÷2

＝94.2（平方厘米）

前后面的面积：[6×4－3.14×（6÷2）2÷2]×2

＝[24－3.14×9÷2]×2

＝[24－28.26÷2]×2

＝[24－14.13]×2

＝9.87×2

＝19.74（平方厘米）

左右面积：10×4×2

＝40×2

＝80（平方厘米）

下面：6×10＝60（平方厘米）

94.2＋19.74＋80＋60

＝113.92＋80＋60

＝193.92＋60

＝253.92（平方厘米）

答：剩余木料的表面积是253.92平方厘米。

【对应练习3】

如图是一个圆柱体从中间劈开后得到的图形，这个图形的表面积是多少？

（单位：cm）

解析：

由图可得，圆柱体底面积直径为8cm，高为16cm，原圆柱体的表面积为：

（cm2）

故劈开后的图形表面积为：

（cm2）

答：这个图形的表面积为cm2。

【考点五】求与圆柱有关的组合立体图形的表面积。

【方法点拨】

求组合立体图形的表面积，注意分析图形是由些图形组合而成的，组成该图形的表面有哪些，是什么形状，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。

【典型例题】

如图，一个物体由三个圆柱组成，它们的半径分别为0.5分米，2分米，5分米，而高都是2分米，则这个物体的表面积是多少平方分米？

解析：

大圆柱的表面积：3.14×52×2+2×3.14×5×2

=157+62.8

=219.8（平方分米）

中圆柱侧面积：2×3.14×2×2=25.12（平方分米）

小圆柱侧面积：2×3.14×0.5×2=6.28（平方分米）

这个物体的表面积：219.8+25.12+6.28=251.2（平方分米）

答：这个物体的表面积是251.2平方分米。

【对应练习1】

某零件如图所示，下面是一个棱长为20cm的正方体，上面是圆柱的一半。求这个零件的表面积。

解析：

[3.14×（20÷2）2×2＋3.14×20×20]÷2＋20×20×5

＝[3.14×100×2＋1256]÷2＋2000

＝[628＋1256]÷2＋2000

＝1884÷2＋2000

＝942＋2000

＝2942（平方厘米）

答：这个零件的表面积是2942平方厘米。

【对应练习3】

优优和妈妈在家做了一个蛋糕（如下图），优优要给这个蛋糕的表面部分涂上一层奶油（下底面不涂），涂奶油部分的面积是多少平方厘米？

解析：

答：涂奶油部分的面积是。

【对应练习4】

工人叔叔要为下面是正方体、上面是圆柱的灯柱（如图，底面不刷）刷上油漆。如果每平方米需要油漆0.3kg，那么至少需要准备多少千克的油漆？

解析：

5dm＝0.5m     8dm＝0.8m

（0.5×0.5×5＋3.14×0.5×0.8）×0.3＝0.7518（kg）

答：至少需要准备0.7518kg的油漆。

【考点六】求空心圆柱体的表面积。

【方法点拨】

空心圆柱体的表面积，一般是由外圆柱的表面积剪掉内圆柱的上下两个底面积，再加上内圆柱的侧面积组合而成的。

【典型例题】

如图，卫生纸的高度是10cm，中间硬纸轴的直径是4 cm，制作100个这样的硬纸轴，至少需要多少平方米的硬纸皮？

解析：

3.14×4=12.56（厘米），长方形的宽是圆柱的高，本题中是10厘米，长方形的面积就等于圆柱侧面积，列式为：3.14×4×10=125.6（平方厘米），100个这样的硬纸轴用纸125.6×100=12560（平方厘米） 12560平方厘米=1.256平方米

【对应练习1】

林叔叔做了一个圆柱形的灯笼（如图）。上下底面的中间分别留出了的口，他用了多少彩纸？（取3.14）

解析：

[3.14×（20÷2）²－78.5]×2＋3.14×20×30

＝ [3.14×100－78.5]×2＋1884

＝ [314－78.5]×2＋1884

＝235.5×2＋1884

＝471＋1884

＝2355（平方厘米）

答：他用了2355平方厘米彩纸。

【对应练习2】

如图，一个圆柱体零件，高10厘米，底面直径6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。

如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

解析：

3.14×（6÷2）×2＋3.14×6×10＋3.14×4×5

＝56.52＋188.4＋62.8

＝307.72（平方厘米）

答：一共要涂307.72平方厘米。

【考点七】求较简单的不规则圆柱体的体积。

【方法点拨】

求不规则圆柱体的体积，注意分析图形，寻找底面半径和高，再根据公式求体积。

【典型例题】

如图，一根长1m，横截面直径为10cm的圆柱形木头浮在水面上，东东发现它正好是一半露出水面，露出水面的木头的体积是多少立方厘米？

解析：

1m＝100cm

3.14×（10÷2）2×100÷2

＝3.14×25×100÷2

＝3925（立方厘米）

答：露出水面的木头的体积是3925立方厘米。

【对应练习1】

求下面个圆柱的体积和表面积。（单位：）

解析：

体积：

＝226.08÷4

＝56.52（立方厘米）

表面积：

＝14.13＋48＋37.68

＝99.81（平方厘米）

【对应练习2】

计算下面图形的和体积。

半圆柱的底面直径是10cm

解析：

V＝15×20×30－×3.14××30

＝9000-1177.5

＝7822.5()

【考点八】求较复杂的不规则圆柱体的体积。

【方法点拨】

求不规则圆柱体的体积，注意分析图形，寻找底面半径和高，再根据公式求体积。

【典型例题】

一个底面积是20平方厘米的圆柱，斜着截去了一段后，剩下的图形如图，截后剩下的图形的体积是多少立方厘米？

解析：根据图形的特点，可以这样理解，用这样两个完全一样的图形拼成一个高是(7＋11)厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式：V＝sh，把数据代入公式求出这样两个图形的体积再除以2即可。

20×(7＋11)÷2

＝20×18÷2

＝180(立方厘米）

答：截后剩下的图形的体积是180立方厘米。

【对应练习1】

纪念品店加工一种艺术节比赛奖杯（如图）。加工时，一个有机玻璃圆柱正好可以截成两个这样的奖杯。求一个奖杯的体积。

解析：

＝1507.2÷2

＝753.6（立方厘米）

答：一个奖杯的体积为。

【对应练习2】

如图是圆木沿某一平面截去一部分后的剩余部分，请计算剩余部分的体积。（单位：厘米）

解析：

3.14×（）2×13+3.14×（）2×（15﹣13）÷2

=3.14×9×13+3.14×9×2÷2

=367.38+28.26

=395.64（立方厘米）

答：这个立体图形的体积是395.64立方厘米。

【对应练习3】

右图是一个底面半径为3厘米的圆柱木块被削去一半后的形状，请你计算出它的体积。

解析：

7﹣5＝2（ 厘米）

3.14×32×2÷2＝28.26（立方厘米）

3.14×32×5＝141.3（立方厘米）

28.26＋141.3＝169.56（立方厘米）

答：它的体积是169.56立方厘米。

【考点九】求组合圆柱体的体积。

【方法点拨】

求组合立体图形的体积，注意分析该图是由些立体图形组合而成的，再分别求出各图形的体积，最后相加或相减。

【典型例题】

工地运来了一根水泥管（如下图），管壁厚。这根水泥管用了多少立方米的水泥？

解析：

＝7.85－5.024

＝2.826（立方米）

答：这根水泥管用了的水泥。

【对应练习1】

求下面图形的表面积和体积。（单位：cm）

解析：

表面积＝大正方体的表面积＋圆柱的侧面积，

10×10×6＋3.14×4×6

=600+75.36

＝675.36（cm2）

体积＝大正方体体积－圆柱的体积

10×10×10－3.14×（4÷2）2×6

=1000-75.36

＝924.64（cm3）。

【对应练习2】

如图，一个圆柱体零件，高10厘米，底面直径6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。

（1）这个零件的体积是多少立方厘米？

（2）如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

解析：

（1）3.14×（6÷2）×10－3.14×（4÷2）×5

＝3.14×9×10－3.14×4×5

＝282.6－62.8

＝219.8（立方厘米）

答：这个零件的体积是219.8立方厘米。

（2）3.14×（6÷2）×2＋3.14×6×10＋3.14×4×5

＝56.52＋188.4＋62.8

＝307.72（平方厘米）

答：一共要涂307.72平方厘米。

【对应练习3】

计算出下面组合图形的表面积和体积（单位：厘米）

解析：

3.14×4×5+（8×5+8×4+5×4）×2

=62.8+（40+32+20）×2

=62.8+92×2

=62.8+184

=246.8（平方厘米）

3.14×（4÷2）2×5+8×5×4

=3.14×4×5+160

=62.8+160

=222.8（立方厘米）

答：这个组合图形的表面积是246.8平方厘米，体积是222.8立方厘米。

【对应练习4】

图所示的百宝箱，上部是一个圆柱的一半，下部是一个长50cm，宽40cm，高20cm的长方体，这个百宝箱的表面积是多少？它的体积是多少？

解析：

50×40＋50×20×2＋40×20×2＋3.14×（40÷2）＋3.14×40×50÷2

＝2000＋2000＋1600＋1256＋3140

＝9996（平方厘米）

50×40×20＋3.14×（40÷2）×50÷2

＝40000＋3.14×400×25

＝40000＋31400

＝71400（立方厘米）

答：这个百宝箱的表面积是多少9996cm2，它的体积是71400cm3。

【对应练习5】

求下面图形的表面积和体积。

解析：

表面积：

10×10×6+3.14×4×10-3.14×（4÷2）2×2

＝600+125.6-25.12

＝700.48

体积：

10×10×10﹣3.14×（4÷2）2×10

＝1000﹣3.14×4×10

＝1000﹣125.6

＝874.4

答：它的表面积是700.48，体积是874.4。

【考点十】求与圆锥有关的组合立体图形的体积。

【方法点拨】

组合图形的体积等于各规则立体图形的体积之和。

【典型例题】

测量一个粮仓，从里面量得的数据如图所示，如果每立方米的粮食约重800干克，这个粮仓能装粮食多少干克？（π取3.14）

解析：6280千克。

【对应练习1】

计算下面立体图形的体积。

解析：169.56立方厘米。

【对应练习2】

下图的蒙古包是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包所占的空间是多少立方米？

解析:

3.14×（12÷2）²×2＋3.14×（12÷2）²×1×

＝226.08＋37.68

＝263.76（立方米）

答：这个蒙古包所占的空间是263.76立方米。

【对应练习3】

一个陀螺，上部是圆柱形，下部是圆锥形，如下图。这个陀螺的体积是多少立方厘米？

解析：

10÷2＝5（厘米）

3.14×5²×8＋3.14×5²×（11－8）÷3

＝628＋78.5×3÷3

＝628＋78.5

＝706.5（立方厘米）

答：这个陀螺的体积是706.5立方厘米。

【对应练习4】

一种儿童玩具——陀螺（如下图）。上面是圆柱体，下面是圆锥体，经过测试，当圆柱直径4厘米，高6厘米，圆锥的高是圆柱高的时，陀螺旋转得又快又稳，求这时陀螺的体积是多少立方厘米？

解析：

6×＝（厘米）

3.14×（4÷2）²×6＋3.14×（4÷2）²×÷3

＝3.14×4×6＋3.14×4×

＝75.36＋18.84

＝94.2（立方厘米）

答：这时陀螺的体积是94.2立方厘米。