2023年湖北省武汉市华中科技大学附属中学九年级数学二调模拟卷

2022—2023学年度九年级二调模拟卷

一、单选题

1. 下列图案中，不是中心对称图形的是（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 布袋里有1个红球、2个白球，从中同时摸出2个，下列事件中必然事件是（　　）

A. 至少摸出1个白球 B. 摸出1个红球，1个白球

C. 摸出2个红球 D. 换出2个白球

3. 已知的半径为3，圆心O到直线的距离为5，则直线与的位置关系（    ）

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切

4. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　）

A.  B.  C.  D.

5. 将函数图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（　　）

A.  B.

C.  D.

6. 已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，则的值为（    ）

A.  B. 1 C. 5 D.

7. 将A，B，C，D四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片．则小青和小云抽中不同字母的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知点（1，y1）、（-2，y2）、（-4，y3）都是抛物线y=-2ax2-8ax+3（a＜0）图象上的点，则下列各式中正确的是（　　）

A. y1＜y3＜y2 B. y3＜y2＜y1 C. y2＜y3＜y1 D. y1＜y2＜y3

9. 如图，若将如图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成如图2所示的长方形，设，则b的值为（　　）

A.  B.  C.  D.

10. 如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为（　　）

A.  B.  C.  D.

二、填空题

11. 点关于坐标原点对称的点的坐标为______．

12. 有25张扑克牌正面朝下扣于桌面，每次抽出一张记下花色在放回，洗牌后再抽，多次试验后，记录抽到红桃的频率为，则红桃大约有___________张．

13. 如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米（为的中点，为弧的中点）．则桥拱所在圆的半径为_____________米．

14. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和5，则关于的方程 的解是____________________．

15. 如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则的长为__________．

16. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确结论的是 _____．

三、解答题

17. 关于的方程有两个相等的实数根，求的值及此时方程的根.

18. 如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长．

19. 一只不透明的袋中装有标号分别为1、2、3、5的4个球，这些球除标号外都相同．

（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是        ；

（2）先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．

20. 如图，已知是的外接国，是的直径，是延长线的一点，交的延长线于，于，且．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

21. 如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

（1）在图（1）中画的中点D；

（2）在图（1）中的⊙O上画一点E，连接BE，使∠ABE＝45°；

（3）如图（2），延长BA至格点F处，连接CF．

①直接写出∠F的度数；

②P为CF上一点，连接BP，将PB绕点B顺时针旋转90°得到QB，画出线段QB．

22. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面的宽为18米，拱顶离水面的距离为9米，建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形.

①如果限定矩形的长为12米，那么要使船通过拱桥，矩形的高不能超过多少米？

②若点，都在抛物线上，设，当的值最大时，求矩形的高.

23. 如图1，在和中，，，且，则可证明得到．

（1）【初步探究】如图2，为等边三角形，过点作的垂线，点为上一动点（不与点重合），连接，把线段绕点逆时针方向旋转60°得到，连．请写出与的数量关系并说明理由；

（2）【深入探究】如图3，在（1）条件下，连接并延长交直线于点．当点运动到时，若，求的长；

（3）【拓展探究】如图4，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，则长为______．

24. 抛物线C1：交y轴于点M，且与抛物线C2关于y轴对称．

（1）求点M坐标及抛物线C2的解析式；

（2）已知抛物线C1经过点(m，n)，将点(m，n)向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的点恰好落在抛物线C2上，求m，n的值；

（3）如图，点A在抛物线C1上横坐标为．点B与点A关于y轴对称，且过点B的直线l1与抛物线C2有且仅有一个交点，平移直线l1与抛物线C2交于C，D两点，直线CM，DM与x轴分别交于H，E两点，设点H横坐标为h，点E横坐标为e，试求h和e之间的等量关系式．

2022—2023学年度九年级二调模拟卷

一、单选题

1. 下列图案中，不是中心对称图形的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；对于图A，分析可知，其绕着图形的圆心旋转180°后与原来的图形重合，故是中心对称图形，同理再分析其他选项即可．

【详解】解：根据中心对称图形的概念可知，A、C、D都是中心对称图形，不符合题意；

B不是中心对称图形，符合题意.

故选:B．

【点睛】本题考查了中心对称图形的判断，解题的关键是掌握中心对称图形定义．

2. 布袋里有1个红球、2个白球，从中同时摸出2个，下列事件中必然事件是（　　）

A. 至少摸出1个白球 B. 摸出1个红球，1个白球

C. 摸出2个红球 D. 换出2个白球

【答案】A

【解析】

【分析】必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，据此作答即可．

【详解】A.至少摸出1个白球，是必然事件，符合题意；

B.摸出1个红球，1个白球，是随机事件，不符合题意；

C.摸出2个红球，是不可能事件，不符合题意；

D.换出2个白球，是随机事件，不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了必然事件，随机事件和不可能事件，准确理解概念是解题的关键．

3. 已知的半径为3，圆心O到直线的距离为5，则直线与的位置关系（    ）

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切

【答案】C

【解析】

【分析】根据的半径为3，圆心O到直线的距离为5得，，可得，即可得．

【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线的距离为5，

∴，，

∴，

∴直线与相离，

故选：C．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置，解题的关键是掌握直线与圆的位置关系．

4. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．

【详解】解：，

，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

5. 将函数的图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数图像平移的规律直接判断即可得到答案．

【详解】解：∵函数的图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位，

∴，

故选D．

【点睛】本题考查二次函数图像平移规律：左加右减，上加下减．

6. 已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，则的值为（    ）

A.  B. 1 C. 5 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得，，进一步求解即可．

【详解】解∵关于的一元二次方程的两实数根分别为，

∴根据根与系数的关系得，，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系公式是解题的关键．

7. 将A，B，C，D四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片．则小青和小云抽中不同字母的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】画树状图，共有16中等可能的结果，其中小青和小云抽中不同卡片的结果有12种，再由概率公式求解即可．

【详解】解：画树状图如下：

共有16种可能的结果，其中小青和小云抽中不同卡片的结果有12种，所以小青和小云抽中不同卡片的的概率为：，

故选：C．

【点睛】本题考查用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，注意放回实验还是不放回实验是解题的关键．

8. 已知点（1，y1）、（-2，y2）、（-4，y3）都是抛物线y=-2ax2-8ax+3（a＜0）图象上的点，则下列各式中正确的是（　　）

A. y1＜y3＜y2 B. y3＜y2＜y1 C. y2＜y3＜y1 D. y1＜y2＜y3

【答案】C

【解析】

【详解】试题解析：∵抛物线

∴抛物线的开口向上,对称轴是直线

∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，

∵取时所对应的点离对称轴最远，取-2时所对应的点离对称轴最近，

故选C.

【点睛】二次函数的对称轴是：.

二次项系数抛物线的开口方向.

开口向上.

开口向下.

9. 如图，若将如图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成如图2所示的长方形，设，则b的值为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据上图可知正方形的边长为a+b，下图长方形的长为a+b+b，宽为b，并且它们的面积相等，由此可列出，解方程即可求得结论．

【详解】解：根据题意得：正方形的边长为a+b，长方形的长为a+b+b，宽为b，

则，即，

∵ab≠0，

∴，

解得：，

∵＞0，

∴，

∴当a=1时，，

故选：B．

【点睛】本题考查了图形的拼接、解一元二次方程、正方形的面积、长方形的面积，正确理解题意，找到隐含的数量关系列出方程是解答的关键．

10. 如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】为边的高，利用两圆相切的性质得到，则可判断为等边三角形，则，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，再利用圆与圆相切的性质得到的半径，然后利用大圆的面积减去15个小圆的面积得到阴影部分的面积．

【详解】如图，为边的高

所有小圆相切，

，

为等边三角形，

，

，

，

，

，

与相切，

的半径，

阴影部分的面积

，

故选：A

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等边三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握切线的性质．

二、填空题

11. 点关于坐标原点对称的点的坐标为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．

【详解】点关于坐标原点对称的点的坐标为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解决问题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．

12. 有25张扑克牌正面朝下扣于桌面，每次抽出一张记下花色在放回，洗牌后再抽，多次试验后，记录抽到红桃的频率为，则红桃大约有___________张．

【答案】5

【解析】

【分析】利用概率是频率的稳定值，得到抽到红桃的概率是，利用概率公式进行求解即可．

【详解】解：由题意得：抽到红桃的概率为，

∴红桃有：张；

故答案为：5．

【点睛】本题考查利用频率估计概率．熟练掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键．

13. 如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米（为的中点，为弧的中点）．则桥拱所在圆的半径为_____________米．

【答案】26

【解析】

【分析】根据垂径定理得，设圆的半径为R，根据勾股定理列方程求出R即可.

【详解】解：如图，桥拱所在圆的圆心为O，半径为R，连接
 

∵为的中点，为弧的中点，

∴三点共线，且

,

在Rt中，根据勾股定理得   

解得

故答案为：26

【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.

14. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和5，则关于的方程 的解是____________________．

【答案】

【解析】

【分析】令，将方程化为已知根的方程；从而得到两个关于的一元二次方程，然后分别求解即可；

【详解】解：令

则关于的方程 可化为：；

根据题意可知

或

解方程得：

而方程无实数根；

故答案为：

【点睛】本题考查了用换元法解方程；熟练运用换元法将复杂的方程简单化是解题的关键．

15. 如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则的长为__________．

【答案】cm.

【解析】

【分析】设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．

【详解】解：设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，
根据题意，得

解得x=4．
故选：4cm．

【点睛】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

16. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确结论的是 _____．

【答案】②③④

【解析】

【分析】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得b＝4a、c＝﹣5a，进而判断②；由方程有两个根和，且，即可判断③；讨论，结合根与系数关系求四个根的和判断④．

【详解】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，

∴abc＜0，①错误；

∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），

∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，

∴b＝4a，c＝﹣5a，

∴抛物线解析式为，

∴16a﹣4b+c＝16a﹣16a﹣5a＝﹣5a＜0，②正确；

∵抛物线交x轴于（﹣5，0），（1．0），

∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根和，且，则，③正确；

若方程有四个根，设方程的两根分别为，

则＝﹣2，可得，

设方程的两根分别为，则＝﹣2，可得，

所以这四个根的和为﹣8，④正确．

故答案为：②③④．

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点，熟练掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键．

三、解答题

17. 关于的方程有两个相等的实数根，求的值及此时方程的根.

【答案】，

【解析】

【分析】利用判别式的意义得到，再解关于m的方程得到m的值，然后解原方程．

【详解】解：根据题意得，解得．

此时方程为，即，

解得．

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，也考查了解一元二次方程．

18. 如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意得出是等边三角形，进而根据即可求解．

【详解】解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到，

，

又，

是等边三角形，

，

．

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．

19. 一只不透明的袋中装有标号分别为1、2、3、5的4个球，这些球除标号外都相同．

（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是        ；

（2）先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．

【答案】（1）   

（2）图见解析，组成的两位数是奇数的概率为

【解析】

【分析】（1）直接利用概率公式求解；

（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出组成的两位数是奇数的结果数，然后根据概率公式计算即可．

【小问1详解】

解：从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率为：，

故答案为：；

【小问2详解】

解：根据题意画出树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中组成的两位数是奇数的结果数为9，

组成的两位数是奇数的概率为：，

组成的两位数是奇数的概率为．

【点睛】本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．

20. 如图，已知是的外接国，是的直径，是延长线的一点，交的延长线于，于，且．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）连接，可得，根据，，且，得到，推出，得到，可得，即可得到答案；

（2）根据，，得到，，根据切线的性质及勾股定理得到，根据，得到，根据勾股定理得到，推出，根据全等三角形性质得到．

【小问1详解】

证明：连接；

∵，，又，

∴．

∵，

∴，．

∴．

∵，

∴．

∴是的切线．

【小问2详解】

∵，，，

∴．

∴，

∵，

∴， 

∴，

∴，

∴，

在和中，，，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了圆的切线，勾股定理，全等三角形．解决问题的关键是熟练掌握圆切线的判定和性质，勾股定理解直角三角形，面积法求三角形的高线，全等三角形的判定和性质．

21. 如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

（1）在图（1）中画的中点D；

（2）在图（1）中的⊙O上画一点E，连接BE，使∠ABE＝45°；

（3）如图（2），延长BA至格点F处，连接CF．

①直接写出∠F的度数；

②P为CF上一点，连接BP，将PB绕点B顺时针旋转90°得到QB，画出线段QB．

【答案】（1）见解析    （2）见解析   

（3）①∠F＝45°；②见解析

【解析】

分析】（1）取的中点，连接，延长交于点，点即为所求；

（2）作出的中点，连接即可；

（3）①利用等腰直角三角形的性质判断即可；

②取格点，连接，延长交于点，作直径，连接，延长交 点，线段即为所求．

【小问1详解】

解：如图1中，点即为所求；

【小问2详解】

解：如图1中，点即为所求；

【小问3详解】

解：①是等腰直角三角形，

；

②如图2中，线段即为所求．

【点睛】本题考查作图旋转变换，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外心等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

22. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面的宽为18米，拱顶离水面的距离为9米，建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形.

①如果限定矩形的长为12米，那么要使船通过拱桥，矩形的高不能超过多少米？

②若点，都在抛物线上，设，当的值最大时，求矩形的高.

【答案】（1）此抛物线的解析式为y=-x2；（2）①要使船通过拱桥，矩形的高DE不能超过5米；②矩形CDEF的高为米.

【解析】

【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为y=ax2（a≠0）．把已知坐标（9，-9）代入解析式求得a即可；

（2）①已知CD=12，把已知坐标代入函数关系式可求解；

②设DM=a米，可得EF=CD=2DM=2a米、DE=FC=9-a2，根据L=EF+DE+CF求得L的值最大时a的值，代入DE=9-a2问题可解．

【详解】解：（1）根据题意，设抛物线解析式为：y=ax2，
将点Ｂ（9，-9）代入，得：81a=-9，
解得：a=-，

此抛物线的解析式为y=-x2；

（2）①当x=6时，y=-×36=-4，
∵9-4=5，
∴矩形的高DE不能超过5米，才能使船通过拱桥；要使船通过拱桥，矩形的高DE不能超过5米；

②设DM=a米，则EF=CD=2DM=2a米，

当x=a时，y=-a2，

∴DE=FC=9-a2，

则L=2a+2（9-a2）=-a2+2a+18=-（a-）2+，

∴当a=时，L取得最大值，矩形CDEF的高为米

【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的应用，根据已知条件得出L的函数关系式及其最值情况是解题关键．

23. 如图1，在和中，，，且，则可证明得到．

（1）【初步探究】如图2，为等边三角形，过点作的垂线，点为上一动点（不与点重合），连接，把线段绕点逆时针方向旋转60°得到，连．请写出与的数量关系并说明理由；

（2）【深入探究】如图3，在（1）的条件下，连接并延长交直线于点．当点运动到时，若，求的长；

（3）【拓展探究】如图4，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，则长为______．

【答案】（1），理由见解析   

（2）   

（3）

【解析】

分析】（1）证明即可；

（2）连接，，结合（1）结论，先证明是等边三角形，再证明垂直平分，，即可得，在中，根据等腰三角形的性质可得，即有，在中，根据，，可得，在中，利用勾股定理可得，即有；

（3）在的上方作等腰直角，使得，，连接，利用勾股定理得到，，即有，进而有，再证明，即可解答．

【小问1详解】

，理由如下：

证明：∵为等边三角形，

∴，，

∵线段绕点逆时针方向旋转得到，

∴，，

∴，

在和中，

∴，

∴；

【小问2详解】

如图，连接，，

由（1）得，，

∵，，

∴是等边三角形，

又∵，

∴垂直平分，，

∴，

∵是等边三角形，

∴，

∴，

在中，

∵，，

∴，

在中，

∵，，，

∴，

∴，

在中，

∵，，，

∴，

∴；

【小问3详解】

在的上方作等腰直角，使得，，连接，如图：

∵是等腰直角三角形，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴在中，，

∵，

∴，

即，

∵，，

∴，

∴，

∴

故答案为：．

【点睛】本题主要考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，全等三角形判定与性质，直角三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．

24. 抛物线C1：交y轴于点M，且与抛物线C2关于y轴对称．

（1）求点M的坐标及抛物线C2的解析式；

（2）已知抛物线C1经过点(m，n)，将点(m，n)向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点恰好落在抛物线C2上，求m，n的值；

（3）如图，点A在抛物线C1上横坐标为．点B与点A关于y轴对称，且过点B的直线l1与抛物线C2有且仅有一个交点，平移直线l1与抛物线C2交于C，D两点，直线CM，DM与x轴分别交于H，E两点，设点H横坐标为h，点E横坐标为e，试求h和e之间的等量关系式．

【答案】（1）M（0，5）；；   

（2）m=-2，n=-3；   

（3）e+h=0

【解析】

【分析】（1）将x=0代入求出点M的坐标，将（-x，y）代入求出C2的函数关系式；

（2）先求出点(m，n)平移后的点的坐标，再分别将这两点代入两个二次函数关系中，再求出m，n的值；

（3）设直线l1的函数关系式为y=kx+b，求出它与二次函数只有一个交点时的关系式，再设平移直线l1后的函数关系式为：y=6x-31+t，再与二次函数联立方程组，运用根与系数关系解决．

【小问1详解】

解：在函数中，令x=0，得y=5，

∴M（0，5），

∵抛物线C1：与抛物线C2关于y轴对称．

∴将（-x，y）代入得：，

∴抛物线C2的解析式为：；

【小问2详解】

∵将点(m，n)向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点的坐标为（m+3，n+3）,且点(m，n)在C1上，（m+3，n+3）在C2上，

∴，

∴，

解得：m=-2，n=4-12+5=-3，

∴m=-2，n=-3；

【小问3详解】

∵点A在抛物线C1上横坐标为，

∴将x=-6代入得：y=5，

∴A（-6，5），

∵点B与点A关于y轴对称，

∴B（6，5），

设直线l1的函数关系式为y=kx+b，将B（6，5）代入得，

6k+b=5得：b=5-6k，

∴直线l1的函数关系式为y=kx+5-6k，

∵直线l1与抛物线C2有且仅有一个交点，

∴即中△=0，

∴

解得：k=6，

∴直线l1的函数关系式为y=6x-31，

设平移直线l1后的函数关系式为：y=6x-31+t，

∵C，D两点在直线l1上，

∴设，

∵直线CH过M（0，5），

∴设直线CH函数关系式为y=px+5，将代入得：

，

∵直线CH过M（0，5），

∴设直线MD函数关系式为y=qx+5，将代入得：

，

∵平移直线l1与抛物线C2交于C，D两点，

∴，整理得：，

∴，

∴p+q=，

将代入得：

p+q=，

∴直线CH与直线DM关于y轴对称，

∴点H与点E关于y轴对称，

∴e+h=0．

【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到一次函数的性质、二次函数的解析式和性质、一次函数的平移及一次函数与二次函数的交点等知识点，其中要注意用待定系数法来确定函数关系式．