2023年湖北省武汉市华中科技大学附中中考数学二调模拟试卷（含解析）

2023年湖北省武汉市华中科技大学附中中考数学二调模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图案中，不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  布袋里有个红球、个白球，从中同时摸出个，下列事件中必然事件是(    )

A. 至少摸出个白球 B. 摸出个红球，个白球
C. 摸出个红球 D. 摸出个白球

3.  已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系(    )

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切

4.  用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，可得到的抛物线是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将，，，四个字母分别写在张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片则小青和小云抽中不同字母的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知、、都是抛物线图象上的点，则下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，若将如图所示的正方形剪成四块，恰能拼成如图所示的长方形，设，则的值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，一个较大的圆内有个半径为的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  点关于坐标原点对称的点的坐标为______．

12.  有张扑克牌正面朝下扣于桌面，每次抽出一张记下花色再放回，洗牌后再抽，多次试验后，记录抽到红桃的频率为，则红桃大约有        张

13.  如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米为的中点，为弧的中点则桥拱所在圆的半径为        米

14.  已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则关于的方程的解是______．

15.  如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则的长为______．

16.  二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：；；若方程有两个根和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为其中正确结论的是______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
关于的方程有两个相等的实数根，求的值及此时方程的根．

18.  本小题分
如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长．

19.  本小题分
一只不透明的袋中装有标号分别为、、、的个球，这些球除标号外都相同．
从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是        ；
先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．

20.  本小题分
如图，已知是的外接国，是的直径，是延长线的一点，交的延长线于，于，且．
求证：是的切线；
若，，求的长．

21.  本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
在图中画的中点；
在图中的上画一点，连接，使；
如图，延长至格点处，连接．
直接写出的度数；
为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，画出线段．

22.  本小题分
有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面的宽为米，拱顶离水面的距离为米，建立如图所示的平面直角坐标系．
直接写出此抛物线的解析式；
一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形．
如果限定矩形的长为米，那么要使船通过拱桥，矩形的高不能超过多少米？
若点，都在抛物线上，设，当的值最大时，求矩形的高．

23.  本小题分
如图，在和中，，，且，则可证明得到≌．

【初步探究】如图，为等边三角形，过点作的垂线，点为上一动点不与点重合，连接，把线段绕点逆时针方向旋转得到，连请写出与的数量关系并说明理由；
【深步探究】如图，在的条件下，连接并延长交直线于点当点运动到时，若，求的长；
【拓展探究】如图，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，则长为______．
 

24.  本小题分
抛物线：交轴于点，且与抛物线关于轴对称．
求点的坐标及抛物线的解析式；
已知抛物线经过点，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的点恰好落在抛物线上，求，的值；
如图，点在抛物线上横坐标为点与点关于轴对称，且过点的直线与抛物线有且仅有一个交点，平移直线与抛物线交于，两点，直线，与轴分别交于，两点，设点横坐标为，点横坐标为，试求和之间的等量关系式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：只有选项C连接相应各点后是正三角形，绕中心旋转度后所得的图形与原图形不会重合．
故选：．
根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．
此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、至少摸出个白球，是必然事件；
C、是不可能事件．
B、是随机事件；
故选：．
必然事件指在一定条件下一定发生的事件．根据定义解答．
解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：的半径为，圆心到直线的距离为，
，，
，
直线与相离，
故选：．
根据的半径为，圆心到直线的距离为得，可得，即可得．
本题考查了直线与圆的位置，解题的关键是掌握直线与圆的位置关系．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
首先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
本题考查了解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的步骤是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：原抛物线的顶点为，向左平移个单位，再向上平移个单位，那么新抛物线的顶点为；
可设新抛物线的解析式为，代入得：，
故选：．
易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
【解答】
解：，
根据根与系数的关系得，，
所以．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：由题意，列表如下：

共有种等可能的结果，其中小青和小云抽中不同字母的结果有种，
所以小青和小云抽中不同字母的概率为，
故选：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数，再找出其中某一事件所出现的可能数，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题可以先求得抛物线对称轴为直线，根据抛物线的性质，开口向上的抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，由取、、时，取时所对应的点离对称轴最远，取时所对应的点在对称轴上，即可得到答案．
【解答】

解：抛物线，
，
抛物线的开口向上，对称轴是直线，
抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，
取时所对应的点离对称轴最远，取时所对应的点在对称轴上，
．
故选C．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：正方形的边长为，长方形的长为，宽为，
则，即，
，
，
解得：，
，
，
当时，，
故选：．
根据上图可知正方形的边长为，下图长方形的长为，宽为，并且它们的面积相等，由此可列出，解方程即可求得结论．
本题考查了图形的拼接、解一元二次方程、正方形的面积、长方形的面积，正确理解题意，找到隐含的数量关系列出方程是解答的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，为边的高，

所有小圆相切，
，
为等边三角形，

，
，
，
，
与相切，
的半径，
阴影部分的面积，
故选：．
为边的高，利用两圆相切的性质得到，则可判断为等边三角形，则，利用含度角的直角三角形三边的关系得到，再利用圆与圆相切的性质得到的半径，然后用大圆的面积减去个小圆的面积得到阴影部分的面积．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等边三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握切线的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：点关于坐标原点对称的点的坐标为．
故答案为：．
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：抽到红桃的概率为，
红桃有：张；
故答案为：．
利用概率是频率的稳定值，得到抽到红桃的概率是，利用概率公式进行求解即可．
本题考查利用频率估计概率．熟练掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，设圆的半径为米，

平分弧，且，
圆心在的延长线上，
平分，
，
连接，在中，，，，
，
，
解得，
即拱桥所在圆的半径米．
故答案为：．
设圆的半径为米，由于平分弧，且，根据垂径定理的推论得到圆心在的延长线上，再根据垂径定理得到平分，则，在中，利用勾股定理可计算出半径．
本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．
 

14.【答案】和 

【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，
即或，
关于的一元二次方程没有实数根，关于的一元二次方程的实数根为和，
关于的方程的解是和．
故答案为：和．
由关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，可得出关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，进而可得出或，解之即可得出关于的方程的解．
本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，找出的值是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，则，
根据题意，得，
解得．
故答案为：．
设，则，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向上，则，对称轴在轴的左侧，则，交轴的负半轴，则，
，错误；
抛物线的顶点坐标，
，，
，，
抛物线的解析式为，
，正确；
抛物线交轴于，，
若方程有两个根和，且，则，正确；
若方程有四个根，设方程的两根分别为，，
则，可得，
设方程的两根分别为，，则，可得，
所以这四个根的和为，正确．
故答案为：．
根据抛物线图象判断参数符号判断，由顶点坐标可得、，进而判断；由有两个根和，且，即可判断；讨论，结合根与系数关系求四个根的和判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．
 

17.【答案】解：根据题意得，
解得，
此时方程为，即，
解得． 

【解析】利用判别式的意义得到，再解关于的方程得到的值，然后解原方程．
本题考查了根的判别式，正确记忆一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题关键．
 

18.【答案】解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到，
，
又，
是等边三角形，
，
． 

【解析】由旋转的性质可得，可证是等边三角形，可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率；
故答案为：；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中组成的两位数是奇数的结果数为种，
所以组成的两位数是奇数的概率为．
直接利用概率公式求解；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出组成的两位数是奇数的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

20.【答案】证明：连接；
，，又，
．
，
，．
．
．
是的切线．
解：，，，
．
，
，
即，
，
，
，
在和中，，，
≌，
． 

【解析】要证是的切线，只要连接，再证即可；
由切线的性质及勾股定理可得的长，再根据三角形面积公式及勾股定理可得的长，最后由全等三角形的判定与性质可得答案．
本题考查了切线的判定，和解直角三角形．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．
 

21.【答案】解：如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求；
，，，
，且，
是等腰直角三角形，
；
如图中，线段即为所求．
 

【解析】取的中点，连接，延长交于点，点即为所求；
作出的中点，连接即可；
利用等腰直角三角形的性质判断即可；
取格点，连接，延长交于点，作直径，连接，延长交点，线段即为所求．
本题考查作图旋转变换，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外心等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】解：根据题意，设抛物线解析式为：，
将点代入，得：，
解得：，
故抛物线解析式为：；
当时，，
矩形的高不能超过米，才能使船通过拱桥；
设米，则米，
当时，，
，
则，
当时，取得最大值，
当时，矩形的高米，
矩形的高是米． 

【解析】根据题意设抛物线的解析式为把已知坐标代入解析式求得，故抛物线的解析式为；
已知，把已知坐标代入函数关系式可求解；
设米，可得米、，根据求得的值最大时的值，代入可得．
本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的应用，根据已知条件得出的函数关系式及其最值情况是解决问题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：，理由如下：

在等边中，，，
由旋转可得，，，
，
，即，
≌，
；
连接，，如图：

由旋转可得，，，
是等边三角形，
，
，
是的垂直平分线，
，
在等边中，，，
，
，即，
，
≌，
，，
，
，
，
在中，，
，，
，，
，
，
，
，
；
在的上方作等腰直角，使得，，连接，如图：

是等腰直角三角形，，
，，
，
，
在中，，
，
，
即，
，，
≌，
，
，
故答案为：．
由“”证得≌可得；
连接，，由旋转可得，，，可得是等边三角形，根据，可知是的垂直平分线，，证明≌，得，，即得，可得，在中，，，由，，可得，故BD，从而；
在的上方作等腰直角，使得，，连接，由是等腰直角三角形，，可得，，又，知，，证明≌，即得．
本题主要考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，全等三角形判定与性质，直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

24.【答案】解：在函数中，令，得，
，
抛物线：与抛物线关于轴对称，
将代入得：
，
物线的解析式为：；
将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点的坐标为，且点在上，在上，
，
，
解得：，，
，；
点在抛物线上横坐标为，
将代入得：，
，
点与点关于轴对称，
，
设直线的函数关系式为，将代入得，
，得：，
直线的函数关系式为：，
直线与抛物线有且仅有一个交点，
，
即中，
，
解得：，
直线的函数关系式为，
设平移直线，后的函数关系式为：，
，两点在直线上，
设，，
直线过，
设直线函数关系式为：，将代入得：
，
直线过，
设直线的函数关系式为，将代入得：
，
平移直线与抛物线交于，两点，
，
整理得：，
，，
，
将，代入得：
 ，
直线与直线关于轴对称，
点与点关于轴对称，
． 

【解析】将代入，求出点的坐标，将代入求出的函数关系式；
先求出点平移后的点的坐标，再分别将这两点代入两个二次函数关系中，再求出，的值；
设直线的函数关系式为，求出它与二次函数只有一个交点时的关系式，再设平移直线后的函数关系式为：，再与二次函数联立方程组，运用根与系数关系解决．
本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到一次函数的性质．二次函数的解析式和性质，一次函数的平移及一次函数与二次函数的交点等知识点，其中要注意用待定系数法来确定函数关系式