2023高考考点分析 第四节 空间向量及其运算

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【考点分析】　第四节 空间向量及其运算【考点一】  空间向量的线性运算【典型例题1】  如图，在正方体中，，，，O为底面ABCD的中心，G为的重心，则(    )A． B．C． D．【解析】  在正方体中，，，，O为底面ABCD的中心，G为的重心，连接OG，则．故选：A．【答案】  A【考点二】  共线、共面向量定理的应用【典型例题2】  下列命题中正确的是(       )A．是，共线的充分条件B．若，则C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面D．若，，，为空间四点，且有(，不共线)，则是，，三点共线的充分不必要条件【解析】  由，可得向量，的方向相同，此时向量，共线，所以A正确；若，则或A，B，，四点共线，所以B不正确；由A，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，即有，，，四点共面，故C正确；若，，，为空间四点，且有(，不共线)，当时，即可得，即，所以，，三点共线，反之也成立，即是A，，三点共线的充要条件，所以D不正确，故选：AC．【答案】  AC【归纳总结】(1)证明空间三点P、A、B共线的方法①＝λ(λ∈R)；②对空间任一点O，＝＋t(t∈R)；③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．(2)证明空间四点P、M、A、B共面的方法①＝x＋y；②对空间任一点O，＝＋x＋y；　 ③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；④∥(或∥或∥)．【考点三】  空间向量的数量积【典型例题3】  (2022•河南省杞县高中模拟)正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为(       )A． B．C． D．【解析】  分别取BC，AD的中点E，F，则，所以，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，又，所以，，所以的取值范围为．故选：D．【答案】  D【归纳总结】(1)空间向量数量积计算的两种方法①基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．②坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．(2)利用数量积解决有关垂直、长度、夹角问题①a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0．②|a|＝．③cos〈a，b〉＝．　 【考点四】  空间向量的坐标运算【典型例题4】  已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．(1)求以，为边的平行四边形的面积；(2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．【解析】  (1)由题意可得：＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，∴cos〈，〉＝＝＝＝．∴sin〈，〉＝，∴以，为边的平行四边形的面积为S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7．(2)设a＝(x，y，z)，由题意得解得或∴向量a的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．【答案】  (1) 7     (2) (1，1，1)或(－1，－1，－1)【考点五】  利用空间向量证明平行问题【典型例题5】  如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点．求证：平面；【解析】  如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系由题得，由题得，设平面的法向量为，所以．所以，因为平面，所以平面． 【考点六】  利用空间向量证明垂直问题【典型例题6】  如图所示，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2．(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3．试证明平面AMC⊥平面BMC．【证明】　(1)如图所示，以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立空间直角坐标系O­xyz．则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)．于是＝(0，3，4)，＝(－8，0，0)，所以·＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0，所以⊥，即AP⊥BC．(2)由(1)知AP＝5，又AM＝3，且点M在线段AP上，所以＝＝，又＝(－4，－5，0)，所以＝＋＝，则·＝(0，3，4)·＝0，所以⊥，即AP⊥BM，又根据(1)的结论知AP⊥BC，所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC．又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC．【归纳总结】(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系；②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系；④根据运算结果解释相关问题．(2)空间线面位置关系的坐标表示设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．①线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2．②线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．③线面平行(l⊄α)：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0．④线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3．⑤面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4．⑥面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0．　 【考点七】  利用空间向量解决探索性问题【典型例题7】  如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，点E为线段AA1上的点，且AE＝．(1)求证：BE⊥平面ACB1；(2)求二面角D1－AC－B1的余弦值；(3)判断棱A1B1上是否存在点F，使得直线DF∥平面ACB1，若存在，求线段A1F的长；若不存在，说明理由．【解析】  (1)因为A1A⊥底面ABCD，所以A1A⊥AC．又因为AB⊥AC，所以AC⊥平面ABB1A1，又因为BE⊂平面ABB1A1，所以AC⊥BE．因为＝＝，∠EAB＝∠ABB1＝90°，所以Rt△ABE∽Rt△BB1A．所以∠ABE＝∠AB1B．因为∠BAB1＋∠AB1B＝90° ，所以∠BAB1＋∠ABE＝90° ．所以BE⊥AB1．又AC∩AB1＝A，所以BE⊥平面ACB1．(2)如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，－2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(2，0，2)，D1(1，－2，2)，E．由(1)知，＝为平面ACB1的一个法向量，设n＝(x，y，z)为平面ACD1的法向量．因为＝(1，－2，2)，＝(2，0，0)，则即不妨设z＝1，可得n＝(0，1，1)．因此cos〈n，〉＝＝．因为二面角D1－AC－B1为锐角，所以二面角D1－AC－B1的余弦值为．(3)设A1F＝a，则F(0，a，2)，＝(－1，a＋2，2)．·＝(－1，a＋2，2)·＝a＋2－1＝0，所以a＝－1(舍)．即直线DF的方向向量与平面ACB1的法向量不垂直，所以，棱A1B1上不存在点F，使直线DF∥平面ACB1．【答案】  见解析