2023高考考点分析 第五节 数学归纳法

这是一份2023高考考点分析 第五节 数学归纳法，共3页。
【考点分析】　第五节 数学归纳法【考点一】  用数学归纳法证明等式【典型例题1】  用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)，从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需要增乘的代数式为(　　)A．2(2k＋1)       B．2k＋1      C．       D．【解析】　当n＝k时，等式左端为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，当n＝k＋1时，等式左端为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋k)(k＋k＋1)(2k＋2)，∴从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需增乘的式子为2(2k＋1)．【答案】　A【考点二】  用数学归纳法证明不等式【典型例题2】  在正项数列{an}中，已知a1＝1，且满足an＋1＝2an－(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)证明：an≥.【解析】  (1)因为在正项数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝2an－(n∈N*)，所以a2＝2×1－＝，a3＝2×－＝.(2)证明：①当n＝1时，由已知a1＝1≥＝1，不等式成立；②假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥，因为f(x)＝2x－在(0，＋∞)上是增函数，所以ak＋1＝2ak－≥2－＝＋－＝＋＝＋，因为k≥1，所以2×－3≥2×－3＝0，所以ak＋1≥，即当n＝k＋1时，不等式也成立．根据①②知不等式对任何n∈N*都成立．【归纳总结】  用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n＞k(k为正整数)，则n0＝k＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前n个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等． 【考点三】  归纳—猜想—证明【典型例题3】  已知数列{an}，a1＝3，an＋1＝(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．【解析】　(1)因为a1＝3，且an＋1＝，所以a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，由此猜想an＝.(2)证明：①当n＝1时，a1＝＝3，满足要求，猜想成立；②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，猜想成立，即ak＝，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝＝，这就表明当n＝k＋1时，猜想成立，根据①②可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即an＝.【归纳总结】  “归纳—猜想—证明”的主要题型①已知数列的递推公式，求通项或前n项和．②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．③给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．